中考数学第一轮夯实基础《第3讲 整式及因式分解 》（课本回归+考点聚焦+典例题解析）课件 苏科版

第第3讲讲整式及因式分解整式及因式分解 第第3讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 整式的有关概念整式的有关概念 单单项项式式定义定义数与字母的数与字母的_的代数式叫做单项的代数式叫做单项式，单独的一个式，单独的一个_或一个或一个_也是单项式也是单项式次数次数一个单项式中，所有字母的一个单项式中，所有字母的_叫叫做这个单项式的次数做这个单项式的次数系数系数单项式中的数字因数叫做单项式的系数单项式中的数字因数叫做单项式的系数防错提醒防错提醒字母字母x x的次数是的次数是1 1而不是而不是0 0，单项式的系，单项式的系数包括它前面的符号，如数包括它前面的符号，如 的系数的系数为为乘积乘积 数数 字母字母 指数的和指数的和 第第3讲讲 考点聚焦考点聚焦多多项项式式定义定义几个单项式的几个单项式的_叫做多项式叫做多项式次数次数一个多项式中，一个多项式中，_的次数，的次数，叫做这个多项式的次数叫做这个多项式的次数项项多项式中的每个多项式中的每个_叫做多项式的项叫做多项式的项整式整式_统称整式统称整式次数最高的项次数最高的项 和和 单项式单项式 单项式和多项式单项式和多项式 第第3讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 同类项、合并同类项同类项、合并同类项 名称名称概念概念防错提醒防错提醒同类项同类项所含字母所含字母_，并且相，并且相同字母的指数也分别同字母的指数也分别_的项叫做同类项，的项叫做同类项，几个常数项也是同类项几个常数项也是同类项同类项与系数无同类项与系数无关，也与字母的排关，也与字母的排列顺序无关，如列顺序无关，如7 7xyxy与与yxyx是同类项是同类项合并同合并同类项类项把多项式中的同类项合并成把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并一项叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变和，且字母部分不变只有同类项才能合只有同类项才能合并，如并，如x x2 2x x3 3不能合不能合并并相同相同 相同相同 考点考点3 3 整式的运算整式的运算 第第3讲讲 考点聚焦考点聚焦类别类别法则法则整式整式的加的加减减整式的加减实质就是整式的加减实质就是_一般地，几个整式相加一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，再合并同类项减，如果有括号就先去括号，再合并同类项幂幂的的运运算算同底数幂同底数幂相乘相乘底数不变，指数相加底数不变，指数相加. . 即：即：a am ma an n_( (m m，n n都是整数都是整数) )幂的乘方幂的乘方底数不变，指数相乘底数不变，指数相乘. . 即：即：( (a am m) )n n_( (m m，n n都是整数都是整数) )积的乘方积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即：幂相乘即：( (abab) )n n_(_(n n为整数为整数) )同底数幂同底数幂相除相除底数不变，指数相减底数不变，指数相减. . 即：即：a am ma an n_(_(a a00，m m、n n都为整数都为整数) )合并同类项合并同类项 amn amn anbn amn 整整式式的的乘乘法法单项式与单单项式与单项式相乘项式相乘把它们的系数、相同字母分别相乘，对于把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式它的指数作为积的一个因式单项式与多单项式与多项式相乘项式相乘就是用单项式去乘多项式的每一项，再把就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即所得的积相加，即m m( (a ab bc c) )mamambmbmcmc多项式与多多项式与多项式相乘项式相乘先用一个多项式的每一项乘另一个多项式先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即的每一项，再把所得的积相加，即( (m mn n)()(a ab b) )mama mbmbnananbnb第第3讲讲 考点聚焦考点聚焦第第3讲讲 考点聚焦考点聚焦整式整式的除的除法法单项式除以单单项式除以单项式项式把系数与同底数幂分别相除，作为商把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因母，则连同它的指数作为商的一个因式式多项式除以单多项式除以单项式项式先把这个多项式的每一项分别除以这先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加个单项式，然后把所得的商相加乘法乘法公式公式平方差公式平方差公式 ( (a ab b)()(a ab b) )_完全平方公式完全平方公式( (a ab b) )2 2_常用恒等变换常用恒等变换(1)(1)a a2 2b b2 2_(2)(2)(a ab b) )2 2( (a ab b) )2 24 4ababa2b2 a22abb2 (ab)22ab (ab)22ab考点考点4 4 因式分解的相关概念及分解基本方法因式分解的相关概念及分解基本方法 第第3讲讲 考点聚焦考点聚焦公因式公因式定义定义一个多项式各项都含有的公共的因式，一个多项式各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式叫做这个多项式各项的公因式提取公提取公因式法因式法定义定义一般地，如果多项式的各项都有公因一般地，如果多项式的各项都有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式的乘积形式，即将多项式写成因式的乘积形式，即mamambmbmcmc_应用注应用注意意(1)(1)提公因式时，其公因式应满足：提公因式时，其公因式应满足： 系数是各项系数的最大公约数；字母系数是各项系数的最大公约数；字母取各项相同字母的最低次幂；取各项相同字母的最低次幂；(2)(2)公因公因式可以是数字、字母或多项式；式可以是数字、字母或多项式；(3)(3)提提取公因式时，若有一项全部提出，括号取公因式时，若有一项全部提出，括号内的项应是内的项应是“1”1”，而不是，而不是0 0m(abc) 第第3讲讲 考点聚焦考点聚焦运用公式运用公式法法平方差公式平方差公式a a2 2b b2 2_完全平方公完全平方公式式a a2 22 2ababb b2 2_ a a2 22 2ababb b2 2_二次三项式二次三项式x2 2+ +( (p+ +q)q)x+ +pq=_因式分解的一般步骤因式分解的一般步骤一提一提( (提取公因式提取公因式) )；二套二套( (套公式法套公式法) )；一直分解到不能分解为止一直分解到不能分解为止(ab)(ab) (ab)2 (ab)2 (x+p)(x+q) 第第3讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一同类项类型之一同类项 命题角度：命题角度：1.1.单项式单项式. .多项式的概念；多项式的概念；2. 2. 同类项的概念；同类项的概念；3. 3. 由同类项的概念通过列方程组求解同类项的指由同类项的概念通过列方程组求解同类项的指数中字母的值数中字母的值 例例1 1 20132013上海上海 在下列代数式中，次数为在下列代数式中，次数为3的单项的单项式是式是()Axy2 Bx3y3Cx3y D3xyA A 解析解析 由单项式次数的概念可知次数为由单项式次数的概念可知次数为3的单项式是的单项式是xy2. 所以本题选项为所以本题选项为A. 第第3讲讲 归类示例归类示例例例2 2 20132013雅安雅安 如果单项式如果单项式 是同类项，是同类项，那么那么a a，b b的值分别为的值分别为( () )A A2 2，2 B2 B3 3，2 C2 C2 2，3 D3 D3 3，2 2D D 解析解析 依题意知两个单项式是同类项，根据相同字母的依题意知两个单项式是同类项，根据相同字母的指数相同列方程，得指数相同列方程，得 第第3讲讲 归类示例归类示例 (1)(1)同类项必须符合两个条件：第一所含字母同类项必须符合两个条件：第一所含字母相同，第二相同字母的指数相同，两者缺一不可相同，第二相同字母的指数相同，两者缺一不可 (2) (2)根据同类项概念根据同类项概念相同字母的指数相同相同字母的指数相同列方程列方程( (组组) )是解此类题的一般方法是解此类题的一般方法 类型之二整式的运算类型之二整式的运算 命题角度：命题角度：1. 1. 整式的加减乘除运算；整式的加减乘除运算；2. 2. 乘法公式乘法公式 第第3讲讲 归类示例归类示例例例3 3 20122012淮安淮安 下列运算中，正确的是下列运算中，正确的是( () )Aa2a3a6 Ba3a2aC(a3)2a9 Da2a2 a5B 解析解析 因为因为a2a3a23a5，a3a2 a32a，(a3)2a32a6，a2a2 2a2a2 2. .故选故选B.第第3讲讲 归类示例归类示例 (1)(1)进行整式的运算时，一要注意合理选择幂的运算进行整式的运算时，一要注意合理选择幂的运算法则，二要注意结果的符号法则，二要注意结果的符号(2)(2)不要把同底数幂的乘法和整式的加减法混淆，如不要把同底数幂的乘法和整式的加减法混淆，如a a3 3a a5 5 a a8 8和和a a3 3a a3 32 2a a3 3. (. (a am m) )n n和和a an na am m也容易混淆也容易混淆(3)(3)单项式的除法关键：注意区别单项式的除法关键：注意区别“系数相除系数相除”与与“同底数幂相除同底数幂相除”的含义，如的含义，如6 6a a5 53 3a a2 2(6(63)3)a a5 52 22 2a a3, 3, 一定不能把同底数幂的指数相除一定不能把同底数幂的指数相除第第3讲讲 归类示例归类示例例例4 4 20132013山西山西 先化简，再求值：先化简，再求值：(2(2x x3)(23)(2x x3)3)4 4x x( (x x1)1)( (x x2)2)2 2，其中，其中x x3. . 解析解析 按运算法则化简代数式，再代入求值按运算法则化简代数式，再代入求值第第3讲讲 归类示例归类示例 整式的运算顺序是：先计算乘除，再做整式的加整式的运算顺序是：先计算乘除，再做整式的加减，整式加减的实质就是合并同类项，其中能运用乘减，整式加减的实质就是合并同类项，其中能运用乘法公式计算的应采用乘法公式进行计算法公式计算的应采用乘法公式进行计算 类型之三类型之三 因式分解因式分解 第第3讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1 1因式分解的概念；因式分解的概念；2 2提取公因式法因式分解；提取公因式法因式分解；3 3运用公式法因式分解：运用公式法因式分解：(1)(1)平方差公式；平方差公式；(2)(2)完全平方完全平方公式公式 例例5 5 20122012无锡无锡 分解因式分解因式( (x x1)1)2 2 2(2(x x1)1)1 1的的结果是结果是( () )A A( (x x1)(1)(x x2) B. 2) B. x x2 2C C( (x x1)1)2 2 D. ( D. (x x2)2)2 2D 解析解析 首先把首先把x x1 1看做一个整体，观察发现符合完全看做一个整体，观察发现符合完全平方公式，直接利用完全平方公式进行分解平方公式，直接利用完全平方公式进行分解(x1)22(x1)1(x11)2(x2)2. (1)(1)因式分解时有公因式的要先提取公因式，再考虑是因式分解时有公因式的要先提取公因式，再考虑是否应用公式法或其他方法继续分解否应用公式法或其他方法继续分解 (2) (2)提公因式时，若括号内合并的项有公因式应再次提提公因式时，若括号内合并的项有公因式应再次提取；注意符号的变换取；注意符号的变换y yx x( (x xy y) )，( (y yx x) )2 2( (x xy y) )2 2. . (3) (3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完全应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完全平方式及其特点平方式及其特点 (4) (4)因式分解要分解到每一个多项式不能再分解为止因式分解要分解到每一个多项式不能再分解为止第第3讲讲 归类示例归类示例 类型之四类型之四 因式分解的应用因式分解的应用 命题角度：命题角度：1. 1. 利用因式分解进行计算与化简；利用因式分解进行计算与化简；2. 2. 利用几何图形验证因式分解公式利用几何图形验证因式分解公式第第3讲讲 归类示例归类示例例例6 6 20132013绵阳绵阳 图图31是一个长为是一个长为2m，宽为，宽为2n(mn)的长方形，用剪刀沿图中虚线的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴对称轴)剪开剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图后按图31那样拼成一个正方形，则中间空的部那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是分的面积是() A2mn B(mn)2C(mn)2 Dm2 n2图图31C第第3讲讲 归类示例归类示例 解析解析 中间空的部分的面积是中间空的部分的面积是(mn)22m2n(mn)24mn(mn)2. (1)通过拼图的方法可验证平方差公式和完全平方公通过拼图的方法可验证平方差公式和完全平方公式，关键要能准确计算阴影部分的面积式，关键要能准确计算阴影部分的面积(2)利用因式利用因式分解进行计算与化简，先把要求的代数式进行因式分分解进行计算与化简，先把要求的代数式进行因式分解，再代入已知条件计算解，再代入已知条件计算第第3讲讲 归类示例归类示例 类型之五类型之五 整式的创新应用整式的创新应用 命题角度：命题角度：1. 1. 整式的有关规律性问题；整式的有关规律性问题；2. 2. 利用整式验证公式或等式；利用整式验证公式或等式；3. 3. 新定义运算；新定义运算；第第3讲讲 归类示例归类示例例例7 7 20122012宁波宁波 用同样大小的黑色棋子按如图用同样大小的黑色棋子按如图31所示的规律摆放：所示的规律摆放：图图32第第3讲讲 归类示例归类示例(1)(1)第第5 5个图形有多少颗黑色棋子？个图形有多少颗黑色棋子？(2)(2)第几个图形有第几个图形有20132013颗黑色棋子？请说明理由颗黑色棋子？请说明理由 解析解析 (1) (1)根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，即可得出答案；根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，即可得出答案；(2)(2)根据根据(1)(1)所找出的规律，列出式子，即可求出答案所找出的规律，列出式子，即可求出答案解：解：(1)(1)第一个图需棋子第一个图需棋子6 6颗，颗，第二个图需棋子第二个图需棋子9 9颗，颗，第三个图需棋子第三个图需棋子1212颗，颗，第四个图需棋子第四个图需棋子1515颗，颗，第五个图需棋子第五个图需棋子1818颗，颗，第第n n个图需棋子个图需棋子3(3(n n1)1)颗颗答：第答：第5 5个图形有个图形有1818颗黑色棋子颗黑色棋子(2)(2)设第设第n n个图形有个图形有20132013颗黑色棋子，颗黑色棋子，根据根据(1)(1)得得3(3(n n1)1)20132013，解得，解得n n670670，所以第所以第670670个图形有个图形有20132013颗黑色棋子颗黑色棋子 解决整式的规律性问题应充分发挥数形结合的作用，解决整式的规律性问题应充分发挥数形结合的作用，从分析图形的结构入手，分析图形结构的形成过程，从分析图形的结构入手，分析图形结构的形成过程，从简单到复杂，进行归纳猜想，从而获得隐含的数学从简单到复杂，进行归纳猜想，从而获得隐含的数学规律，并用代数式进行描述规律，并用代数式进行描述第第3讲讲 归类示例归类示例第第3讲讲 回归教材回归教材完全平方式大变身完全平方式大变身回归教材回归教材教材母题教材母题江苏科技版七下江苏科技版七下P80T9已知已知(ab)27，(ab)23.求：求：(1)ab的值；的值；(2)a2b2的值的值 第第3讲讲 回归教材回归教材 点析点析 完全平方公式的一些主要变形有：完全平方公式的一些主要变形有：(ab)2(ab)22(a2b2)；(ab)2(ab)24ab；a2b2(ab)22ab(ab)22ab.在四个量在四个量a ab b，a ab b，a a2 2b b2 2，abab中，知道其中，知道其中任意两个量，就能求出中任意两个量，就能求出( (整体代换整体代换) )其余的两其余的两个量个量 12013云南云南若若a2b20.25，ab0.5，则，则ab的值的值为为()A0.5 B.0.5 C1 D2 22012南昌南昌 已知已知(mn)28，(mn)22，则，则m2n2()A10 B6 C5 D3 第第3讲讲 回归教材回归教材中考变式B C