中考数学 第九单元 圆 第29课时 圆的有关性质复习课件

第九单元第九单元 圆圆第第29课时课时 圆的有关性质圆的有关性质A2C B4BC4A DBC小题热身小题热身图图291A22014台州台州从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是断圆弧为半圆的是( )32015杭州杭州圆内接四边形圆内接四边形ABCD中，已知中，已知A70，则，则C( )A20 B30C70 D110BD42015长沙长沙如图如图292，AB是是 O的直径，的直径，点点C是是 O上的一点，若上的一点，若BC6，AB10，ODBC于点于点D，则，则OD的长为的长为 _图图2924一、必知一、必知8 知识点知识点1圆的有关概念圆的有关概念定义：在同一平面内，线段定义：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点绕它固定的一个端点O旋转一旋转一周，另一个端点周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆，定点所经过的封闭曲线叫做圆，定点O叫做叫做_，线段，线段OP叫做叫做_圆的集合定义：圆是到定点的距离等于圆的集合定义：圆是到定点的距离等于_的点的集合的点的集合圆的有关概念：连结圆上任意两点的线段叫做圆的有关概念：连结圆上任意两点的线段叫做_；经；经过圆心的弦叫做过圆心的弦叫做_；圆上任意两点间的部分叫做；圆上任意两点间的部分叫做_；大于半圆的弧叫做；大于半圆的弧叫做_；小于半圆的弧叫；小于半圆的弧叫做做_；圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，；圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做每一条弧都叫做_考点管理考点管理圆心圆心圆的半径圆的半径定长定长弦弦直径直径弧弧优弧优弧劣弧劣弧半圆半圆2点和圆的位置关系点和圆的位置关系如果圆的半径是如果圆的半径是r，点到圆心的距离为，点到圆心的距离为d，那么：，那么：(1)点在圆外点在圆外_；(2)点在圆上点在圆上 _；(3)点在圆内点在圆内 _.3确定圆的条件确定圆的条件确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点确定确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点确定_个个圆圆三角形的外接圆：经过三角形各个顶点的圆；三角形的外接圆：经过三角形各个顶点的圆；三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫圆的内三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫圆的内接三角形接三角形drdrdr一一【智慧锦囊智慧锦囊】三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，锐角三角形的三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，锐角三角形的外心在三角形的外心在三角形的_，直角三角形的外心是，直角三角形的外心是_ _，钝角三角形的外心在三角形的，钝角三角形的外心在三角形的_内部内部直角三角形直角三角形外部外部斜边的中点斜边的中点4圆的对称性圆的对称性圆既是一个轴对称图形又是一个圆既是一个轴对称图形又是一个_对称图形，圆还对称图形，圆还具有旋转不变性具有旋转不变性5垂径定理及其推论垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的的_推论：推论：(1)平分弦平分弦(非直径非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；对的两条弧；(2)平分弧的直径垂直平分弧所对的弦平分弧的直径垂直平分弧所对的弦中心中心弧弧【智慧锦囊智慧锦囊】用垂径定理进行计算或证明时，常常连结半径或作出弦心用垂径定理进行计算或证明时，常常连结半径或作出弦心距，构造直角三角形求解距，构造直角三角形求解6圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_，所对的弦，所对的弦_；推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等各对量都相等7圆周角圆周角圆周角：顶点在圆上，它的两边都和圆相交的角；圆周角：顶点在圆上，它的两边都和圆相交的角；圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上圆心角度数圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上圆心角度数的的_相等相等相等相等一半一半推论：推论：(1)半圆半圆(或直径或直径)所对的圆周角是所对的圆周角是_角；角；(2)90的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是_；(3)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧的圆周角所对的弧_8圆内接四边形圆内接四边形圆内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，圆内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的那么这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆外接圆性质：圆内接四边形的对角互补性质：圆内接四边形的对角互补直直直径直径相等相等二、必会二、必会2 方法方法1添加辅助线添加辅助线(1)有关弦的问题，常作其弦心距，构造直角三角形，如图有关弦的问题，常作其弦心距，构造直角三角形，如图293；(2)有关直径的问题，常作直径所对的圆周角，如图有关直径的问题，常作直径所对的圆周角，如图294.图图293图图2942分类讨论分类讨论在圆中，常涉及到分类讨论，如一条弦所对的弧有优弧和在圆中，常涉及到分类讨论，如一条弦所对的弧有优弧和劣弧两种，则其所对的圆周角不一定相等；另外，有关于劣弧两种，则其所对的圆周角不一定相等；另外，有关于弦的问题也需要分类讨论，如有两条弦时，需要分在同侧弦的问题也需要分类讨论，如有两条弦时，需要分在同侧还是异侧等此类问题是中考的热点考题还是异侧等此类问题是中考的热点考题三、必明三、必明3 易错点易错点1弦和弧的两个端点都在圆上，但弦是线段，弧是曲线；弦和弧的两个端点都在圆上，但弦是线段，弧是曲线；2直径是圆中最长的弦，半径不是弦；半圆不是直径直径是圆中最长的弦，半径不是弦；半圆不是直径3应用圆心角、弦、弧、弦心距的关系时，前提条件是应用圆心角、弦、弧、弦心距的关系时，前提条件是“在同在同圆或等圆中圆或等圆中”，它提供了圆心角、弧、弦、弦心距之间的转，它提供了圆心角、弧、弦、弦心距之间的转化方法如果没有化方法如果没有“在同圆或等圆中在同圆或等圆中”这个前提条件，在应这个前提条件，在应用时推出的结论是错误的用时推出的结论是错误的类型之一点与圆的位置关系类型之一点与圆的位置关系 如图如图295，在，在RtABC中，中，C90，AC3，BC4，CP，CM分别是分别是AB上的高和中线，如果圆上的高和中线，如果圆A是以点是以点A为圆为圆心，半径长为心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的圆，那么下列判断正确的是的是 ( )A点点P，M均在圆均在圆A内内B点点P，M均在圆均在圆A外外C点点P在圆在圆A内，点内，点M在圆在圆A外外D点点P在圆在圆A外，点外，点M在圆在圆A内内C图图295【解析解析】在在RtABC中，中，C90，AC3，BC4，AP1.82，点点P在圆在圆A内，点内，点M在圆在圆A外外【点悟点悟】点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小作出判断距离和圆的半径的大小作出判断2015杭州模拟杭州模拟在一个三角形中，已知在一个三角形中，已知ABAC6 cm，BC8 cm，D是是BC的中点，以的中点，以D为圆心作一个半径为为圆心作一个半径为5 cm的圆，则下列说法正确的是的圆，则下列说法正确的是( )A点点A在在 D外外 B点点B在在 D上上C点点C在在 D内内 D无法确定无法确定【解析解析】BC8 cm，D是是BC的中点，的中点， D的半径的半径r5 cm，且，且54，点点C在在 D内内C类型之二圆心角、弧、弦之间的关系类型之二圆心角、弧、弦之间的关系 2014黄石黄石如图如图296，A，B是圆是圆O上的两点，上的两点，AOB120，C是弧是弧AB的中点的中点(1)求证：求证：AB平分平分OAC；(2)延长延长OA至至P使得使得OAAP，连结，连结PC，若圆若圆O的半径的半径R1，求，求PC的长的长【解析解析】(1)求出等边三角形求出等边三角形AOC和等边三角形和等边三角形OBC，推，推出出OAOBBCAC；(2)求出求出ACOAAP，求出，求出PCO90，P30.图图296解解：(1)证明：连结证明：连结OC，AOB120，C是弧是弧AB的中点，的中点，AOCBOC60，OAOC，ACO是等边三角形，是等边三角形，OAAC，同理，同理OBBC，OAACBCOB，四边形四边形AOBC是菱形，是菱形，AB平分平分OAC；(2)由由(1)知知OAAC，又，又OAAP，APAC，PAC180OAC120，APCACP30，例例2答图答图【点悟点悟】(1)在同圆在同圆(或等圆或等圆)中，圆心角中，圆心角(或圆周角或圆周角)、弧、弧、弦中只要有一组量相等，则其他对应的各组量也分别相弦中只要有一组量相等，则其他对应的各组量也分别相等利用这个性质可以将问题互相转化，达到求解或证明等利用这个性质可以将问题互相转化，达到求解或证明的目的；的目的；(2)注意圆中的隐含条件：半径相等；注意圆中的隐含条件：半径相等；(3)注意分类注意分类讨论思想的应用讨论思想的应用20图图297变式跟进答图变式跟进答图类型之三垂径定理及其推论类型之三垂径定理及其推论 2015六盘水六盘水赵州桥是我国建筑史上赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约的一大创举，它距今约1 400年，历经无年，历经无数次洪水冲击和数次洪水冲击和8次地震却安然无恙如次地震却安然无恙如图图298，若桥跨度，若桥跨度AB约为约为40 m，主拱高，主拱高CD约约10 m，则桥弧，则桥弧AB所在圆的半径所在圆的半径R_m.根据勾股定理，根据勾股定理，得得R2202(R10)2，解得解得R25(m)所以圆的半径为所以圆的半径为25 m.图图2982512015衢州衢州一条排水管的截面如图一条排水管的截面如图299所示，已知排水管所示，已知排水管的半径的半径OA1 m，水面宽，水面宽AB1.2 m，某天下雨后，水管水，某天下雨后，水管水面上升了面上升了0.2 m，则此时排水管水面宽，则此时排水管水面宽CD等于等于_m.1.6图图299【解析解析】连结连结OC，作，作OEAB，垂足为，垂足为E，与与CD交于交于F点，点，OA1 m，EA0.6 m根据根据勾股定理得勾股定理得OE0.8 m，EF0.2 m，则，则OF0.6 m，在在RtOCF中，中，OF0.6 m，OC1 m，得得CF0.8 m，因此因此CD1.6 m，故答案为，故答案为1.6 m.变式跟进变式跟进1答图答图22014绍兴绍兴把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图其主视图如图2910所示，所示， O与矩形与矩形ABCD的边的边BC，AD分别相切和相交分别相切和相交(E，F是交点是交点)已知已知EFCD8，则，则 O的半径为的半径为_图图29105【解析解析】由题意，由题意， O与与BC相切，记切相切，记切点为点为G，作直线，作直线OG，分别交，分别交AD，劣弧，劣弧EF于点于点H，I，再连结，再连结OF，在矩形在矩形ABCD中，中，ADBC，IGBC，IGAD，设设 O的半径为的半径为r，则，则OH8r，在在RtOFH中，中，r2(8r)242，解得解得r5.变式跟进变式跟进2答图答图【点悟点悟】在已知直径与弦垂直的问题中，常连结半径构在已知直径与弦垂直的问题中，常连结半径构造直角三角形，其中斜边为圆的半径，两直角边是弦长的造直角三角形，其中斜边为圆的半径，两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离，进而运用勾股定理来计算一半和圆心到弦的距离，进而运用勾股定理来计算类型之四圆周角定理及其推论类型之四圆周角定理及其推论 2015德州改编德州改编如图如图2911， O的半径为的半径为1，A，P，B，C是是 O上的四个点，上的四个点，APCCPB60.(1)判断判断ABC的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；(2)试探究线段试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的之间的数量关系，并证明你的结论结论图图2911备用图备用图【解析解析】(1)利用圆周角定理可得利用圆周角定理可得BACCPB，ABCAPC，而，而APCCPB60，所以，所以BACABC60，从而可判断，从而可判断ABC的形状；的形状；(2)在在PC上截取上截取PDAP，则，则APD是等边三角形，然后证是等边三角形，然后证明明APB ADC，从而，从而BPCD.解解：(1)ABC是等边三角形是等边三角形理由如下：在理由如下：在 O中，中，BACCPB，ABCAPC，又又APCCPB60，ABCBAC60，ABC为等边三角形；为等边三角形；(2)PCPAPB，证明：在证明：在PC上截取上截取PDAP，如答图所示，如答图所示，又又APC60，APD是等边三角形，是等边三角形，ADAPPD，ADP60，即即ADC120.又又APBAPCBPC120，例例4答图答图ADCAPB，在在APB和和ADC中，中，APB ADC(AAS)，BPCD，又又PDAP，CPCDPDBPAP.即即PCPAPB.12015深圳深圳如图如图2912，AB为为 O直径，直径，已知已知DCB20，则，则DBA为为( )A50B20C60D70【解析解析】AB为为 O直径，直径，ACB90，ACD90DCB902070，DBAACD70.D图图2912图图2913变式跟进变式跟进2答图答图变式跟进变式跟进2答图答图(2)如答图，连结如答图，连结OP，BC，OP交于交于BC于于D点，连结点，连结PB，P是是BC的中点，的中点，OPBC于于D，BDCD，【点悟点悟】(1)由圆周角与圆心角的关系可知：圆周角定理由圆周角与圆心角的关系可知：圆周角定理是建立在圆心角的基础上的，有了圆周角定理，就多了一是建立在圆心角的基础上的，有了圆周角定理，就多了一种证明角相等关系或倍分关系的方法种证明角相等关系或倍分关系的方法(2)直径所对圆周角为直角，反之亦成立，在圆的有关证明直径所对圆周角为直角，反之亦成立，在圆的有关证明和计算中要创造条件，灵活运用，使问题简单化和计算中要创造条件，灵活运用，使问题简单化 圆的计算中谨防漏解圆的计算中谨防漏解(襄阳中考襄阳中考)圆的半径为圆的半径为13 cm，两弦，两弦ABCD，AB24 cm，CD10 cm，则两弦，则两弦AB，CD的距离是的距离是 ()A7 cmB17 cmC12 cmD7 cm或或17 cm【错解错解】如答图如答图，作，作OECD，交，交AB于于F，CD于于E，连结，连结OB，OD.已知已知CD10 cm，DE5 cm.OD13 cm，利用勾股定理可得利用勾股定理可得OE12 cm.同理可求同理可求OF5 cm，EF7 cm.选择选择A.易错警示答图易错警示答图【错因错因】当已知条件中没有明确图时，要注意分类讨论，错解当已知条件中没有明确图时，要注意分类讨论，错解忽略这一点，造成丢解此题可以分两种情况，即两弦在圆心忽略这一点，造成丢解此题可以分两种情况，即两弦在圆心的一侧时和在两侧时，所以此题的答案有两个的一侧时和在两侧时，所以此题的答案有两个【正解正解】第一种情况：两弦在圆心的一侧时，第一种情况：两弦在圆心的一侧时，即错解结论；第二种情况：如答图即错解结论；第二种情况：如答图，两弦在，两弦在圆心的不同侧，此时圆心的不同侧，此时EFOEOF17 cm.其其他和第一种一样故选他和第一种一样故选D.易错警示答图易错警示答图