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第第3 3讲不等式与线性规划讲不等式与线性规划考向分析考向分析核心整合核心整合热点精讲热点精讲考向分析考向分析考情纵览考情纵览年份年份考点考点2011201120122012201320132014201420152015不等式的解法不等式的解法111115151212简单的线性规简单的线性规划问题划问题131314149 99 99 915151414基本不等式的基本不等式的应用应用20(2)20(2)17(2)17(2) 16,20(2)16,20(2) 21(1)21(1)真题导航真题导航B B 解析解析: :画出可行域如图所示画出可行域如图所示, ,目标函数目标函数z=2x-yz=2x-y斜率为斜率为k=2,k=2,如图当直线过点如图当直线过点A(5,2)A(5,2)时时,z,z最大最大, ,所以所以z zmaxmax=2=25-2=8.5-2=8.故选故选B.B.B B 3.(20153.(2015新课标全国卷新课标全国卷,理理12)12)设函数设函数f(xf(x) )是奇函数是奇函数f(x)(xf(x)(xR R) )的导函的导函数数,f(-1)=0,f(-1)=0,当当x0 x0时时,xf(x)-f(x,xf(x)-f(x)0,)0)0成立的成立的x x的取值范围是的取值范围是( ( ) )(A)(-,-1)(0,1)(A)(-,-1)(0,1)(B)(-1,0)(1,+)(B)(-1,0)(1,+)(C)(-,-1)(-1,0)(C)(-,-1)(-1,0)(D)(0,1)(1,+)(D)(0,1)(1,+)A A答案答案: :3 3备考指要备考指要1.1.怎么考怎么考(1)(1)高考对不等式的解法考查主要与函数图象、性质、导数等相结合考查高考对不等式的解法考查主要与函数图象、性质、导数等相结合考查. .多以选择、填空题形式出现多以选择、填空题形式出现, ,难度中等或偏上难度中等或偏上. .(2)(2)线性规划主要考查直接求目标函数的最值线性规划主要考查直接求目标函数的最值( (或范围或范围) )和已知目标函数最和已知目标函数最值求参数的值值求参数的值( (或范围或范围),),常以选择、填空题形式出现常以选择、填空题形式出现, ,难度中等或偏下难度中等或偏下. .(3)(3)高考对基本不等式一般不单独考查高考对基本不等式一般不单独考查, ,有时在其他知识有时在其他知识( (如数列、解三角如数列、解三角形、解析几何、导数的应用等形、解析几何、导数的应用等) )中求最值时常用到中求最值时常用到. .2.2.怎么办怎么办(1)(1)不等式的性质是解不等式的性质是解( (证证) )不等式的基础不等式的基础, ,要弄清条件和结论要弄清条件和结论, ,不等式的解不等式的解法法“三个二次三个二次”之间的联系的综合应用要加强训练之间的联系的综合应用要加强训练. .(2)(2)对线性规划问题要注重目标函数的几何意义的应用对线性规划问题要注重目标函数的几何意义的应用, ,准确作出可行域是准确作出可行域是正确解题的关键正确解题的关键. .(3)(3)复习备考中应突出利用基本不等式求最值的方法复习备考中应突出利用基本不等式求最值的方法, ,注意注意“拆拆”“”“拼拼”“凑凑”等技巧的强化训练及等价转化、分类讨论、逻辑推理能力的培养等技巧的强化训练及等价转化、分类讨论、逻辑推理能力的培养. .核心整合核心整合1.1.不等式的解法不等式的解法(1)(1)一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法先化为一般形式先化为一般形式axax2 2+bx+c0(a0),+bx+c0(a0),再求相应一元二次方程再求相应一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0(a0)(a0)的根的根, ,最后根据相应二次函数图象与最后根据相应二次函数图象与x x轴的位置关系轴的位置关系, ,确定一元二次确定一元二次不等式的解集不等式的解集. .温馨提示温馨提示 解形如一元二次不等式解形如一元二次不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0时时, ,易忽视系数易忽视系数a a的讨论导致的讨论导致漏解或错解漏解或错解, ,要注意分要注意分a0,a0,a0(0(或或Ax+By+CAx+By+C0)0)所表示的区域所表示的区域. .(2)(2)解决线性规划问题首先要找到可行域解决线性规划问题首先要找到可行域, ,再注意目标函数所表示的几何意再注意目标函数所表示的几何意义义, ,数形结合找到目标函数取到最值时可行域的顶点数形结合找到目标函数取到最值时可行域的顶点( (或边界上的点或边界上的点),),但要但要注意作图一定要准确注意作图一定要准确, ,整点问题要验证解决整点问题要验证解决. .温馨提示温馨提示 (1)(1)求解线性规划问题时求解线性规划问题时, ,作图一定要准确作图一定要准确, ,边界的虚、实要搞清边界的虚、实要搞清楚楚, ,区域是否是封闭的一定要明确区域是否是封闭的一定要明确. .3.3.五个重要的不等式五个重要的不等式(1)|a|0,a(1)|a|0,a2 20(a0(aR R);(2)a);(2)a2 2+b+b2 22ab(a,b2ab(a,bR R););(2)(2)连续使用基本不等式求最值时连续使用基本不等式求最值时, ,应特别注意检查等号是否能同时成立应特别注意检查等号是否能同时成立. .热点精讲热点精讲热点一热点一 不等式的解法不等式的解法【例【例1 1】 (1)(2015(1)(2015厦门市厦门市3 3月质检月质检) )已知已知f(xf(x) )是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,且且f(x-2)f(x-2)=f(x+2),=f(x+2),当当0 x20 x2时时,f(x,f(x)=1-log)=1-log2 2(x+1),(x+1),则当则当0 x40 x0(x-2)f(x)0的的解集是解集是( () )(A)(0,1)(2,3)(A)(0,1)(2,3)(B)(0,1)(3,4)(B)(0,1)(3,4)(C)(1,2)(3,4)(C)(1,2)(3,4)(D)(1,2)(2,3)(D)(1,2)(2,3)解析：解析：(2)(2)由不等式恒成立问题求参数由不等式恒成立问题求参数, ,综合性较强综合性较强, ,考查分类讨论与数形结合思想考查分类讨论与数形结合思想. .当当x0 x0时时,f(x,f(x)=-x)=-x2 2+2x=-(x-1)+2x=-(x-1)2 2+10,+10,所以所以|f(x)|ax|f(x)|ax, ,即为即为x x2 2-2xax.-2xax.当当x0 x0时时, ,得得ax-2,ax-2,即即a-2a-2验证知验证知a-2a-2时时,|f(x)|ax(x0),|f(x)|ax(x0)恒成立恒成立. .当当x0 x0时时,f(x,f(x)=ln(x+1)0,)=ln(x+1)0,所以所以|f(x)|ax|f(x)|ax化简为化简为ln(x+1)axln(x+1)ax恒成立恒成立, ,由函数图象可知由函数图象可知a0,a0,综上综上, ,当当-2a0-2a0时时, ,不等式不等式|f(x)|ax|f(x)|ax恒成立恒成立. .故选故选D.D.方法技巧方法技巧 解不等式的常见策略解不等式的常见策略(1)(1)解一元二次不等式解一元二次不等式, ,一是图象法一是图象法: :利用利用“三个二次三个二次”之间的关系之间的关系, ,借助相借助相应二次函数图象应二次函数图象, ,确定一元二次不等式的解集确定一元二次不等式的解集; ;二是因式分解法二是因式分解法: :利用利用“同同号得正号得正, ,异号得负异号得负”这一符号法则这一符号法则, ,转化为一元一次不等式组求解转化为一元一次不等式组求解. .(2)(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式式不等式( (一般为一元二次不等式一般为一元二次不等式) )求解求解. .(3)(3)解含解含“f”f”的函数不等式的函数不等式, ,首先要确定首先要确定f(xf(x) )的单调性的单调性, ,然后根据函数的单然后根据函数的单调性去掉调性去掉“f”f”转化为通常的不等式求解转化为通常的不等式求解. .(4)(4)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类, ,关键是找到对参数进关键是找到对参数进行讨论的原因行讨论的原因, ,确定好分类标准确定好分类标准, ,有理有据、层次清楚地求解有理有据、层次清楚地求解. .解析解析: :(1)(1)因为奇函数在因为奇函数在(0,+)(0,+)上是减函数上是减函数, ,所以在所以在(-,0)(-,0)上也是减函数上也是减函数, ,且且f(-2)=-f(2)=0,f(-2)=-f(2)=0,即即f(2)=0.f(2)=0.作出函数作出函数f(xf(x) )的大致图象的大致图象. .由于不等式由于不等式x xf(xf(x)0)0 x0时时,f(x,f(x)0,)2;x2;当当x0 x0,)0,此时此时x-2,x-2,综上综上, ,不等式的解集为不等式的解集为(-,-2)(2,+),(-,-2)(2,+),故选故选A.A.热点二热点二 简单的线性规划问题简单的线性规划问题解析：解析：(2)(2)画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示, ,因为目标函数因为目标函数z=ax+yz=ax+y的最大值为的最大值为4,4,即目标函数对应直线与可行域有公共点时即目标函数对应直线与可行域有公共点时, ,在在y y轴上的截距的最大值为轴上的截距的最大值为4,4,作出过点作出过点D(0,4)D(0,4)的直线的直线, ,由图可知由图可知, ,目标函数在点目标函数在点B(2,0)B(2,0)处取得最大值处取得最大值, ,故有故有a a2+0=4,2+0=4,解得解得a=2.a=2.故选故选B.B.方法技巧方法技巧 解决线性规划问题应特别关注如下三点解决线性规划问题应特别关注如下三点: :(1)(1)首先要找到可行域首先要找到可行域, ,再注意目标函数所表示的几何意义再注意目标函数所表示的几何意义, ,找到目标函数找到目标函数达到最值时可行域的顶点达到最值时可行域的顶点( (或边界上的点或边界上的点),),但要注意作图一定要准确但要注意作图一定要准确, ,整点整点问题要验证解决问题要验证解决. .(2)(2)画可行域时应注意区域是否包含边界画可行域时应注意区域是否包含边界. .(3)(3)对目标函数对目标函数z=Ax+Byz=Ax+By中中B B的符号的符号, ,一定要注意一定要注意B B的正负与的正负与z z的最值的对应的最值的对应, ,要结合图形分析要结合图形分析. .热点三热点三 基本不等式的应用基本不等式的应用方法技巧方法技巧 利用基本不等式求函数或代数式的最值应关注的三个方面利用基本不等式求函数或代数式的最值应关注的三个方面(1)(1)形式形式: :一般地一般地, ,分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数及含有两个变量的函数, ,特别适合用基本不等式求最值特别适合用基本不等式求最值. .(2)(2)条件条件: :利用基本不等式求最值需满足利用基本不等式求最值需满足“正正”( (即条件要求中字母为正即条件要求中字母为正数数)“)“定定”( (不等式的另一边必须为定值不等式的另一边必须为定值)“)“等等”( (等号能够取得等号能够取得) )的条件才的条件才能应用能应用, ,否则会出现错误否则会出现错误. .举一反三举一反三3-1:(20153-1:(2015江苏淮安市第二次调研江苏淮安市第二次调研) )已知已知a,ba,b为正数为正数, ,且直线且直线ax+by-6=0ax+by-6=0与直线与直线2x+(b-3)y+5=02x+(b-3)y+5=0互相平行互相平行, ,则则2a+3b2a+3b的最小值为的最小值为.答案答案: :2525备选例题备选例题答案答案: :3 3
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