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第 6 讲对数式与对数函数1理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点3了解指数函数 yax 与对数函数 ylogax 互为反函数(a0，且 a1)1对数的概念(1)如果 axN(a0，且 a1)，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlogaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数(3)以 10 为底的对数叫做常用对数，记作 lgN；以 e 为底的对数叫做自然对数，记作 lnN.0N1logaMlogaN对数函数ylogax(a1)ylogax(0a1)ylogax(0ab1C0ba1a0Dba1解析：令 y1logax，y2logbx，由于 loga2logb2，它们的函数图象可能有如下三种情况由图 D3(1)，(2)，(3)，分别得0a1b，ab1,0ba1.图 D3答案：D【规律方法】本题中两个对数的真数相同，底数不同，利用单调性相同的对数函数图象在直线 x1 右侧“底大图低”的特点比较大小.注意 loga2logb2，要考虑两个对数的底数分别在 1 的两侧、同在 1 的右侧及同在 0 和 1 之间三种情况.【互动探究】2函数 ylog2|x|的图象大致是()AABCDACBD方法二：也可用筛选法求解，f(x)的定义域为x|x0，排除B，D，f(x)0，排除 C.故选 A.答案：A考点 3 对数函数的性质及其应用例 3：(1)(2013 年新课标)设 a log36 ，b log510，clog714，则()AcbaBbcaCacbDabc解析：alog36log3(23)log321；blog510log5(25)log521；clog714log7(27)log721.1log23log25log52log72.abc.答案：DAabcCacbBbacDcba答案：C【规律方法】比较两个对数的大小的基本方法：若底数相同，真数不同，可构造相应的对数函数，利用其单调性比较大小；若真数相同，底数不同，可转化为同底(利用换底公式)或利用函数的图象，利用单调性相同的对数函数图象在直线 x1 右侧“底大图低”的特点比较大小；若底数、真数均不相同，则经常借助中间值“0”或“1”比较大小.【互动探究】B4(2014 年安徽)设 alog37，b21.1，c0.83.1，则()AbacCcbaBcabDacb解析：alog37，log33log37log39，即 1a212，c0.83.11，cab.故选 B.C易错、易混、易漏 探讨复合函数单调性时忽略定义域例题：已知 yloga(2ax)在0,1上是关于 x 的减函数，则a 的取值范围是_错因分析：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了函数定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在0,1上有意义由复合函数关系知，ylogau 应为增函数，a1.又由于 x0,1时，yloga(2ax)有意义，u2ax 是减函数，当 x1 时，u2ax 取最小值，且 umin2a0 即可，a2.综上所述，a 的取值范围是(1,2)答案：(1,2)正解：yloga(2ax)是由 ylogau，u2ax 复合而成，又 a0，且 a1，u2ax 在0,1上是关于 x 的减函数【失误与防范】利用对数函数的性质可研究对数型复合函数的值域及单调性等有关问题必须把握三点：一是定义域；二是底数与 1 的大小关系；三是复合函数由哪些基本初等函数复合而成
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