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第第3课时充分条件、必要条课时充分条件、必要条件与命题的四种形式件与命题的四种形式第一章集合与常用逻辑用语第一章集合与常用逻辑用语教材回扣教材回扣 夯实双基夯实双基基础梳理基础梳理1.充分条件、必要条件与充要条充分条件、必要条件与充要条件件(1)“若若p,则则q”为真命题为真命题,记作：记作：p q , 则则 _ _ _ _ _ _ 的 充 分 条的 充 分 条件件,_ 的必要条件的必要条件.p是是qq是是p(2)如果既有如果既有pq,又有又有qp,记作：记作：pq,则则_的充要条件的充要条件,q也是也是p的的_.2.命题的四种形式命题的四种形式(1)四种命题四种命题若原命题为若原命题为“若若p,则则q”,则其逆命题是则其逆命题是_;否命题是否命题是_;逆否命逆否命题是题是_.p是是q充要条件充要条件若若q,则则p若若p,则则q若若q,则则p(2)四种命题间的关系四种命题间的关系思考探究思考探究“否命题否命题”与与“命题的否定命题的否定”有何不同有何不同?提示：提示：“否命题否命题”与与“命题的否定命题的否定”是两是两个不同的概念个不同的概念,如果原命题是如果原命题是“若若p,则则q”,那么这个原命题的否定是那么这个原命题的否定是“若若p,则非则非q”,即只否定结论即只否定结论,而原命题的否命题是而原命题的否命题是“若若p,则则q”,即既否定命题的条件即既否定命题的条件,又否定又否定命题的结论命题的结论.课前热身课前热身1.(2011高考福建卷高考福建卷)若若aR,则则“a1”是是“|a|1”的的()A.充分而不必要条件充分而不必要条件B.必要而不充分条件必要而不充分条件C.充要条件充要条件 D.既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件解析：选解析：选A.由由a1得到得到|a|1,但由但由|a|1,得到得到a1,而不是而不是a1,“a1”是是“|a|1”的充分而的充分而不必要条件不必要条件.2.命题命题“若若m2,则则m3”以及它的以及它的逆命题、否命题、逆否命题中逆命题、否命题、逆否命题中,正确命正确命题的个数为题的个数为()A.1 B.2C.3 D.4答案：答案：B3.(2010高考陕西卷高考陕西卷)“a0”是是“|a|0”的的()A.充分不必要条件充分不必要条件 B.必要不充分条件必要不充分条件C.充要条件充要条件 D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件答案：答案：A4.“a1”是是“直线直线yax1与与y(a2)x3垂直垂直”的的_条件条件.答案：充要答案：充要5.与命题与命题“若若aM,则则b M”等价的一等价的一个命题是个命题是_.答案：若答案：若bM,则则a M6.(2012济南调研济南调研)命题命题“若若a0,则则a20”的否命题是的否命题是_.答案：若答案：若a0,则则a20考点探究考点探究 讲练互动讲练互动考点考点1四种命题及其关系四种命题及其关系在判断四种命题之间的关系时在判断四种命题之间的关系时,首先要首先要分清命题的条件与结论分清命题的条件与结论,再比较每个命再比较每个命题的条件与结论之间的关系题的条件与结论之间的关系,要注意四种命题关系的相对性要注意四种命题关系的相对性,一旦一一旦一个命题定为原命题个命题定为原命题,也就相应地有了它也就相应地有了它的的“逆命题逆命题”、“否命题否命题”和和“逆否命逆否命题题”. 分别写出下列命题的逆命题、否分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题命题、逆否命题,并判断它们的真假并判断它们的真假.(1)面积相等的两个三角形是全等三角面积相等的两个三角形是全等三角形形;(2)若若q1,则方程则方程x22xq0有实根有实根;(3)若若x2y20,则实数则实数x、y全为零全为零;(4)若若x、y都是奇数都是奇数,则则xy是偶数是偶数.例例1【思路分析思路分析】写成写成“若若p,则则q”的形的形式式写出逆命题、否命题、逆否命题写出逆命题、否命题、逆否命题判断真假判断真假.【解解】(1)逆命题：全等三角形的面逆命题：全等三角形的面积相等积相等,真命题真命题.否命题：面积不相等的两个三角形不是否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形全等三角形,真命题真命题.逆否命题：两个不全等的三角形的面积逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等不相等,假命题假命题.(2)逆命题：若方程逆命题：若方程x22xq0有实有实根根,则则q1,真命题真命题.否命题：若否命题：若q1,则方程则方程x22xq0无实根无实根,真命题真命题.逆否命题：若方程逆否命题：若方程x22xq0无实无实根根,则则q1,真命题真命题.(3)逆命题：若实数逆命题：若实数x、y全为零全为零,则则x2y20,真命题真命题.否命题：若否命题：若x2y20,则实数则实数x、y不全不全为零为零,真命题真命题.逆否命题：若实数逆否命题：若实数x、y不全为零不全为零,则则x2y20,真命题真命题.(4)逆命题：若逆命题：若xy是偶数是偶数,则则x、y都是都是奇数奇数,假命题假命题.否命题：若否命题：若x、y不都是奇数不都是奇数,则则xy不不是偶数是偶数,假命题假命题.逆否命题：若逆否命题：若xy不是偶数不是偶数,则则x、y不不都是奇数都是奇数,真命题真命题.【名师点评名师点评】(1)“都是都是”的否定是的否定是“不都是不都是”,而不是而不是“都不是都不是”,因为因为“x、y不都是奇数不都是奇数”包含包含“x是奇数是奇数y不是奇不是奇数数”、“x不是奇数不是奇数y是奇数是奇数”、“x、y都不是奇数都不是奇数”三种情况三种情况;(2)“x0或或y0”的否定是的否定是“x0且且y0”,而不是而不是“x0或或y0”,因为因为“x0或或y0”包含包含“x0且且y0”、“x0且且y0”、“x0且且y0”三种情况三种情况.考点考点2充分条件与必要条件的判定充分条件与必要条件的判定判断一个命题是另一个命题的什么条件判断一个命题是另一个命题的什么条件,关键是利用定义关键是利用定义.如果如果pq,则则p叫做叫做q的充分条件的充分条件,原命题原命题(或逆否命题或逆否命题)成立成立,命题中的条件是充分的命题中的条件是充分的,也可称也可称q是是p的的必要条件必要条件;如果如果qp,则则p叫做叫做q的必要的必要条件条件,逆命题逆命题(或否命题或否命题)成立成立,命题中的命题中的条件为必要的条件为必要的,也可称也可称q是是p的充分条件的充分条件;如果既有如果既有pq,又有又有qp,记作记作pq,则则p叫做叫做q的充分必要条件的充分必要条件,简称充要条件简称充要条件,原命题和逆命题原命题和逆命题(或逆否命题和否命题或逆否命题和否命题)都成立都成立,命题中的条件是充要的命题中的条件是充要的.例例2【思路分析思路分析】先判断先判断pq是否成立是否成立,再判断再判断qp是否成立是否成立.【解解】(1)若若AB,则则sinAsinB,即即pq.又若又若sinAsinB,则则2RsinA2RsinB,即即ab.AB,即即qp.所以所以p是是q的充要条件的充要条件.(2)其逆否命题为：其逆否命题为：对于实数对于实数x、y,若若x2且且y6,则则xy8,显然当显然当x2,y6时时,xy8成立成立;但当但当xy8时时,x2且且y6不一定成不一定成立立,故故pq,q p,p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件.【名师点评名师点评】(1)要分清充分性和必要分清充分性和必要性要性;(2)注意两种说法注意两种说法“p是是q的必要不充分的必要不充分条件条件”与与“q的必要不充分条件是的必要不充分条件是p”是等价的是等价的;(3)从集合的角度理解从集合的角度理解,小范围可以推出小范围可以推出大范围大范围,大范围不能推出小范围大范围不能推出小范围.考点考点3充分条件与必要条件的应用充分条件与必要条件的应用涉及求参数的取值范围又与充分、必要涉及求参数的取值范围又与充分、必要条件有关的问题条件有关的问题,常常借助集合的观点常常借助集合的观点来考虑来考虑.若涉及参数问题解决起来较为若涉及参数问题解决起来较为困难时困难时,注意运用等价转化注意运用等价转化. 已知已知Px|x28x200,Sx|1mx1m.(1)是否存在实数是否存在实数m,使使“xP”是是“xS”的充要条件的充要条件?若存在若存在,求出求出m的范围的范围;(2)是否存在实数是否存在实数m,使使“xP”是是“xS”的必要条件的必要条件?若存在若存在,求出求出m的范围的范围.例例3【误区警示误区警示】(2)中中“xP”是是“xS”的必要条件的必要条件,是由是由SP即即S是是P的子集的子集,并不一定是真子集并不一定是真子集.互动探究互动探究本例中条件不变本例中条件不变,若若(2)小题中小题中“xP”是是“xS”的必要不充分条件的必要不充分条件,如何求解如何求解?方法技巧方法技巧1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结否命题的关键是分清原命题的条件和结论论,然后按定义来写然后按定义来写;在判断原命题及其在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时逆命题、否命题以及逆否命题的真假时,要借助原命题与其逆否命题同真或同假要借助原命题与其逆否命题同真或同假,逆命题与否命题同真或同假来判定逆命题与否命题同真或同假来判定.2.充要关系的几种判断方法充要关系的几种判断方法(1)定义法：直接判断若定义法：直接判断若p则则q、若、若q则则p的真假的真假.(2)等价法：即利用等价法：即利用AB与与BA;BA与与AB;AB与与BA的等价关系的等价关系,对于条件或结论是对于条件或结论是否定形式的命题否定形式的命题,一般运用等价法一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断：设利用集合间的包含关系判断：设Ax|p(x),Bx|q(x),若若AB,则则p是是q的充分条件或的充分条件或q是是p的必要条件的必要条件;若若AB,则则p是是q的充要条件的充要条件.失误防范失误防范1.否命题是既否定命题的条件否命题是既否定命题的条件,又否定又否定命题的结论命题的结论,而命题的否定是只否定命而命题的否定是只否定命题的结论题的结论.要注意区别要注意区别.2.判断判断p与与q之间的关系时之间的关系时,要注意要注意p与与q之间关系的方向性之间关系的方向性,充分条件与必要充分条件与必要条件方向正好相反条件方向正好相反,不要混淆不要混淆.考向瞭望考向瞭望 把脉高考把脉高考命题预测命题预测从近几年高考题来看从近几年高考题来看,命题及其关系命题及其关系,此此部分知识高考命题以选择题和填空题部分知识高考命题以选择题和填空题的形式出现的形式出现,主要考查基本概念主要考查基本概念,四种命四种命题中互为等价的命题是考查的重点题中互为等价的命题是考查的重点.常以本节知识作为载体考查函数、立体常以本节知识作为载体考查函数、立体几何、解析几何等内容几何、解析几何等内容;以逻辑推理知以逻辑推理知识为命题背景的解答题也会出现识为命题背景的解答题也会出现.充要充要条件是每年高考必考内容条件是每年高考必考内容,试题以选择试题以选择题、填空题为主题、填空题为主,考查的知识面非常广考查的知识面非常广泛泛,如：数列、向量、三角函数、立体如：数列、向量、三角函数、立体几何、解析几何等基本概念的考查都能几何、解析几何等基本概念的考查都能以充要条件的形式出现以充要条件的形式出现.预测预测2013年高考仍将以充要条件年高考仍将以充要条件,命题命题及其关系作为主要考点及其关系作为主要考点,重点考查考生重点考查考生对基础知识的掌握及应用能力对基础知识的掌握及应用能力.典例透析典例透析 (2010高考天津卷高考天津卷)命题命题“若若f(x)是奇函数是奇函数,则则f(x)是奇函数是奇函数”的否命题的否命题是是()A.若若f(x)是偶函数是偶函数,则则f(x)是偶函数是偶函数B.若若f(x)不是奇函数不是奇函数,则则f(x)不是奇函不是奇函数数 例例C.若若f(x)是奇函数是奇函数,则则f(x)是奇函数是奇函数D.若若f(x)不是奇函数不是奇函数,则则f(x)不是奇函不是奇函数数【解析解析】条件的否定是条件的否定是“f(x)不是奇不是奇函数函数”,结论的否定是结论的否定是“f(x)不是奇函不是奇函数数”,故该命题的否命题是故该命题的否命题是“若若f(x)不是不是奇函数奇函数,则则f(x)不是奇函数不是奇函数”. .故选故选B.【答案答案】B
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