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二次函数及其图象 1定义：形如函数 叫做二次函数2利用配方，可以把二次函数yax2bcc表示成 .要点梳理要点梳理yax2bxc(其中其中a、b、c是常数，是常数，且且a0)ya 2 xb2a 4acb24a 3图象与性质： 二次函数的图象是抛物线，当 时抛物线的开口 ，这时当 时，y的值随x的增大而 ；当 时，y的值随x的增大而 ；当x 时，y有 .当 时抛物线开口 ，这时当 时，y的值随x的增大而 ；当 时，y的值随x的增大而 ； 当x 时，y有 . 抛物线的对称轴是直线x ，抛物线的顶点 是 .a0向上向上xb2a 减小减小xb2a 增大增大b2a 最小值最小值a0 B. b0 Cc0 Dabc0 解析：当x1时，对应的点(1 , y)在 第一象限内，yabc0.D4(2011威海)二次函数yx22x3的图象如图所示当y0时，自变量x的取值范围是() A1x3 Bx1 Cx3 Dx3或x3 解析：如图，可知x1或3时， y0；当1x3时，y0时，x的取值范围是1x0，抛物线有最低点，其坐标为(1,2)，选B.B题型三利用二次函数解决实际应用题【例3】 我市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元， 则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去 (1)设每间包房收费提高x(元)，则每间包房的收入为y1(元)，但会减少y2间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式； (2)为了投资少而利润大，每间包房提高x(元)后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y(元)，请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由解：(1)y1100 x，y2 x. (2)y(100 x)(100 x) x250 x10000 (x50)211250， 因为提价前包房费总收入为10010010000， 当x50时，可获得最大包房收入11250元， 因为1125010000，又因为每次提价为20元， 所以每间房费应提高40元或60元 所以为了投资少而利润大，每间房费应提高60元探究提高 解决最值问题的关键是根据已知条件建立二次函数模型，利用二次函数的最大值或最小值来解12 12 12 12 知能迁移3某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元 (1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？解：(1)y(21010 x)(50 x40) 10 x2110 x2100(0 x15，且x为整数) (2)y10(x5.5)22402.5. a100， 当x5.5时，y有最大值2402.5. 0 x15，且x为整数， 当x5时，50 x55，y2400. 当x6时，50 x56，y2400. 当售价定为每件55元或56元，每个月的利润最大，最大利润是2400元(3)当y2200时，10 x2110 x21002200， x211x100，解之得x11，x210. 当x1时，50 x51；当x10时，50 x60. 当售价定为每件51元或60元时，每个月的利润为2200元 当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元. (或当售价分别为51,52,53,54,55,56,57,58,59,60元时，每个月的利润不低于2200元)题型四结合几何图形的函数综合题【例4】 如图，已知直线y x1交坐标轴于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E. (1)请直接写出点C、D的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若正方形以每秒个单位长度的 速度沿射线AB下滑，直至顶点D 落在x轴上时停止设正方形落 在x轴下方部分的面积为S，求S 关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；(4)在(3)的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时D落在x轴上时停止，求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：(1)C(3,2)，D(1,3) 2分 (2)设抛物线为yax2bxc，抛物线过(0,1)，(3,2)，(1,3)， 解得 y x2 x1. 6分c1,abc3,9a3bc2.a ,b ,c1.56 176 56 176 (3)当点A运动到点 F 时，t1， 当0t1时，如图1， OFAGFB， tanOFA ， tanGFB ， GB t， SFBG FBGB t t2； 8分图图1 1OAOF 12 GBFB GB5t 12 52 12 12 5 52 当点C运动到x轴上时，t2， 当1t2时，如图2， ABAB ， AF t ， AG ， BH ， S梯形ABHG (AGBH)AB t ； 10分图图2 22212 5 5 5 5t 52 5t2 12 5t 525t2 12 5 52 54 当点D运动到x轴上时，t3， 当20时，函数图象开口向上，当x 时，函数有最小值y ；当a0时，函数图象开口向下，当x 时，函数有最大值y .当涉及到实际问题时，一定要符合实际问题的意义和条件要求. 方法与技巧 1. 对于二次函数的解析式，要根据不同条件选用不同形式的解析式： (1)已知图象上三点，选一般式：yax2bxc(a0)； (2)已知顶点或对称轴，选顶点式：ya(xh)2k(a0)； (3)已知图象与x轴的两个交点(x1,0)，(x2,0)，选交点式：ya(xx1)(xx2)(a0) 2. 字母a、b、c的符号a的符号决定抛物线的开口方向；c的符号决定图象与y轴的交点的纵坐标；a、b的符号共同决定对称轴，当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧，当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧，当b0时，对称轴是y轴思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 3. 二次函数与一元二次方程的关系： 二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点横坐标就是y0时自变量x的取值，即是一元二次方程ax2bxc0(a0)的根 4. 抛物线的顶点常见的几种变动方式： (1)开口反向(或旋转180)，此时顶点坐标不变，只是a的符号相反； (2)两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a的符号相反； (3)两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称，a的符号不变失误与防范1在考查二次函数概念的有关问题上，常常忽略a0这个条件，对二次函数几种不同形式不能正确运用在解决二次函数有关增减性、最值等问题时，忽略二次项系数的符号就造成了错误，比如：二次函数yax2bxc(a0)在对称轴左侧y随x的增大而减小；在对称轴右侧y随x的增大而增大2利用二次函数yax2bxc图象的位置与a、b、c的取值关系，解决a、b、c的关系式的符号问题3在解决与二次函数有关的实际问题时，常犯以下错误：一是不能建立正确的函数关系，缺乏建模思想；二是对自变量取值范围的忽略完成考点跟踪训练 14
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