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专题一 函数与导数专题八 数学思想与方法1数学研究的对象是数量关系和空间形式，即“数”与“形”两个方面“数”与“形”两者之间并非是孤立的，而是有着密切的联系在一维空间，实数与数轴上的点建立了一一对应的关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立了一一对应的关系，进而可以使函数解析式与函数图象、方程与曲线建立起一一对应的关系，使数量关系的研究可以转化为图形性质的研究这种解决数学问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，即是数形结合的思想 2321数形结合的主要解题方式有：数转化为形，即根据所给出的“数”的特点，构造符合条件的几何图形，用几何方法去解决形转化为数，即根据题目特点，用代数方法去研究几何问题数形结合，即用数研究形，用形研究数，相互结合，使问题变得简捷、直观、明了数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，尤其是某些选择题、填空题，数形结合非常有效 063033446()A.B.C.1“”“”D.一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示某天 点到 点，该水池的蓄水量如图丙所示给出以下 个论断： 点到 点只进水不出水； 点到 点只出水不进水； 点到 点不进水不出水，则一、由 形 到 数 的转化例1一定正确的是 (0)(0)0()A.3,00,3 B.(3)0,3 C.(3)(3)2D.3,0(3)fxfxx fxfx 函数的图象如图所示，为奇函数，其定义域为，则不等式的解集是 ， 0334.46020.00300003.1A.A.2 xfxfxxfxxfxxxfxx由甲、乙图知：进水速度比出水速度要快，所以 点到 点只进水不出水， 点到 点也可能进水，但总畜水量降低 点到 点也可能进、出水量相当，一定正确的是，即当时，则，由图象知；当时，则，由解图象故知析：选故选在题设情境为图象时，常需进行“形”向“数”的转化、即将形所含的信息转化为数和式的表达式或关系式，然后推【评】理求解点 20,1log 11,2()A0B0C0D02303301020)2(1f xf xxf xxf xf xf xf xf xxyxyxyyzaxya R定义在 上的函数，既是奇函数又是周期函数，若的最小正周期为 ，且当时，则在区间上是 增函数且增函数且减函数且减函数且已知变量 、 满足约束条件，若二、由“数”到目标函数其“形”的中转化例仅3,0_a在点处取得最大值，则 的取值范围为 0,101,0021,202303111,0B.222fxfxfxfxfxfxfxfxaaxya 由已知易知，在上单调递增，且 ，又为奇函数，在上单调递增，且 ，由于是周期为 的周期函数，由周期函数的图象特征知，在上单调递增，且，作出可行域如图中阴影部分因为 是目标函数的等值线的斜率的相反数，由图可知此斜率小于直线的斜率时，目标函数仅在点取选项 正确解析：所以，大即值，得最问题涉及与周期函数、函数的零点、三角函数、不等式、线性规划、解析几何等有关的含参变量综合问题时，利用数形结合思想与方法探究“即快【点评】又准”22111,11935xyAFPPFPA已知为椭圆内一点， 为椭圆左焦点三、数形结合综合应用例， 为椭圆上一动点，求的最大值和最小值2212122139552.2,02,026xyabcFFPFaPFPF由可知，左焦点，右焦点由椭圆定义，解析，：1222222221222166.|2 10 1262622.22. 2PFPAPFPAPAPFPAPFAFPAPFPAFPPAFPPAPFPFPA 所以由，知当 在的反向延长线的 处时，取左“ ”号；当 在的延长线上的 处，取右“ ”号即的最大、最小值分别为、于最大值为，最小值是是的22PAPFPAPF【点评一是二解答本题的关键利用定义等价转化为求的最值；结是合几何图形求】的最值 21212001211(0).24121422fxaxbxabRafxxxxxxfxxxxxxxb 已知二次函数，设方程的两个实根分别为 ，若，设函数的对称轴为，求证：；若，求 的取例值范围 22121220110.1102411224204210126304016430164301f xxf xxaxbxg xaxbxaf xxxxxxg xaxbxxgababgabab 证明：由方程得，即设，由题知，方程的两根 ， 满足，所以函数的图象是开口向上，与 轴的两个交点分别在 的左侧和 与 之间，所以有，即解析：， 021.2420121021babaaxxaxbb 得，所以，对于方程即，121222112122212112221.1244144 .2266166136bxxax xaxxxxx xbaaxxxxxbbaa由韦达定理得因为，所以，故因为，所以，即，222271.413644089144146aaaaabaabb所以则由得，由或此解得 12一元二次方程的根的分布问题既是高考的热点知识之一，解决根的分布问题的一般方法是：根据题意作出符合根的分布的图象，由图象的形象直观得出它所必须满足的充要条件，从而确定相关参数的取值范围如本例，在的解析中，运用了函数图象特点， 的解法中运用了韦达定理，将所求问题转化成根的分布情况进行讨论借助函数的图象特点，充分运用根的分布的充要条件逐一分析求解，是解决此类问题的关【点评】键所在 0ln()(2010)10502f xxf xxax af xxf xaRRR已知定义域为 的偶函数，当时，方程在 上恰有 个不同的实数解求时，函数的解析式；求实数湖备选的取南模拟题 值范围 0ln120.f xfxxxf xfaxxx设，则因为为偶函数，所以【解因为为析】偶函数， 00055000ln0ln10.lnf xxf xxf xxxf xyxyaxayxyaxayx所以的根关于对称由恰有 个不同的实数解知，个实根中有两个正根，两个负根，一个零根，且两个正根和两个负根互为相反数，所以原命题可转化为：当时，的图象与 轴恰有两个不同的交点下面研究时的情况：的零点个数与直线交点的个数所以当时，递增，直线下降，故交点的个数为 ，不合题意，所以由几何意义知2yax与直线交点的个数为 时，ln1(ln )ln|1ln111(0)ln1ex tyaxxyxttkxtytxttyaxatttaeae 直线的变化应是从 轴到与相切之间的情形设切点 ，所以切线方程为由切线与重合知，故实数 的取值，范围为数形结合的原则：(1)等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的向导(2)双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的例如：在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化(3)简单性原则就是找到解题思路之后，至于是用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单，而不是去刻意追求代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法
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