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专题一 函数与导数专题八 数学思想与方法函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，如与方程、数列、不等式、平面解析几何等内容相关的非函数问题，都往往可利用函数思想，转化为函数问题，通过对函数的研究，使问题得以解决方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分析问题和解决问题如含参数方程的讨论、方程与曲线的相互转化等都要利用到方程思想函数与方程的思想，既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想 22232cos0_4log5()A B|0C|1 12 D|2xxxxaaxxx xx xx xR已知关于 的方程有唯一解，则 的值为不等式的解例一、函数思想及应用集1为 222232cos.00.00204log(0)(0)1C12.5211.xfxxxaxfxfxfxfxyfxxfafxxxxfxffxfax R令，因为，所以为偶数从而的图象关于 轴对称，而题设方程有唯一解，从而此解必为所以令，易判断在，单调递增，又，所以原不等式可化为，所以解，故选析： 12通过构建函数，然后利用函数的性质，解决有关方程或不等式问题，这就是函数思想题通过构造一个函数，借助函数的单调性解不等式，巧【点评】妙简捷1,02212lxCAByxABCllC过点的直线 与中心在原点，焦点在 轴上且离心率为的椭圆 相交于 、 两点，直线过线段的中点，同时椭圆 上存在一点二、方程与右焦点关于直线 对称，试求直线 与椭圆思想及例用2应的方程2222222221222 1.22cabeaaabcbxyb由，得，从而，解设椭圆的方程为方法 ：析：，1122222222112222221212121212120000000000()()2222()2()0.2().211()221121.ABABA xyB xyxybxybyyxxxxyyxxyyxABxykyxyyxyxxkylyx ，在椭圆上，则，两式相减得，即设线段的中点为，则又，在直线上，所以，于是，故，所以直线 的方程为222222,0()11.11221,112 1299.1688161991.blxyyxxbybyxbbbbbaxCyxyl 设右焦点关于直线 的对称点为，则，解得由点在椭圆上，得，则，故所以所求椭圆 的方程为，直线 的方程为22222222222222122121212221222.221124220412112 2.12cabeaaabcbxyblyk xlCkxk xkbkxxkyyk xk xkk xxkk 由，得，从而，设椭圆的方程为，直线 的方程为将直线 的方程代入椭圆 的方程，得，方则故法2：12122221()2221201.122111200,0011.xxyyyxABkkkkkkklyF clFCkxyklyx 又直线过线段的中点，则，解得或若，则直线 的方程为，焦点关于直线 的对称点就是 点本身，不可能在椭圆上，所以舍去，从而，故即，以下同直线 的方程方法为，“”yxyxl由题设情境中点在直线上，联想“点差法”，从而应用点差法及点在直线上而求得直线 的方程，进一步应用对称的几何性质求得 对称点 ，利用“对称点”在椭圆上求得椭圆方程，同时应注意，涉及弦的中点与弦的斜率问题常常可应用“点差法【点评】”求解 2ln e()sin1,111,112xfxaag xfxxag xttxt R已知函数为常数 是实数集 上的奇函数，函数是区间上的减函二、函数与方程思想的综数求 的值；若在上恒成立，求 的取合应用例3值范围 2maxln eln eln eee11ee1ee0().1,1cos0cos1,111sin211xxxxxxxxxf xaaaaaaaaaaxg xg xxxxg xga R是奇函数，则恒成立，所以，所以，亦即恒成立，因为在上单调递减，又，则对恒成立，所以，解故析：， 222222211,1sin111sin1 10(1)( )1sin1 1(1)101.1sin1 10sin10sin10.1g xttxtttthttttttttttt 又在上恒成立，所以只需，所以其中恒成立令，则，所以而恒成所以立，本题是函数方程、不等式的综合题，涉及函数的奇偶性、单调性、最值等知识点，问题分析求解须理解函数的性质，充分运用函数与方程思想，通过构造函数，将恒成立问题和方程问题转化为函数的单调性、最值问【点评】题研究 12123122222cos1212710111925xFFFFyyxCyxCxyrrr定义：图形 上的任一点与图形上的任一点的距离中的最小值，叫做图形 与图形 的距离求图形与图形备选题 的距离；已知曲线 ：与圆：的距离为，求 的值 1322222223322cos0,1()1121()2731,1|111 214()27311 421)2(.2730 xyyxPM xyCyxxCCf xC Mf xxyxxxxxxx 由于与的图象均过点，所以这两个图形的距离为设， 是曲线上任意一点，则点是圆的圆心，设，则解析， 2min11122212()()32110.331103310.31 11)3 33120( )327fxxxxxfxxxxfxxfxf xf xf 令，且，得当时，；当时，所以在， 上是减函数；在，上是增函数所以，2min31212222222 15|.92 151121)927302 159|.C MryxCCrCCNCC MCQC MMNC NQMMNNQQMMN所以若，由在，上是增函数可知与有公共点，它们的距离为 ，与已知矛盾故，即曲线在圆外设 为圆上任一点，线段与圆交于点 ，则，即当 与 重合时，2minminmin15|.9 2 151515 999 .rMNMQC Mr 所以 本题运用函数与方程思想建立目标函数后研究其最值，最后使问题获解，在求最值时发挥了导数的工具【评】性作用点 ()001(0)()f xyf xxf xf xyf x函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题 例如：求函数的零点 可以转化为方程问题来解决；同时方程和不等式问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程，就是求函数与 轴的交点，即零点；解不等式或，就是求函数值为正 或负所对应的区间2函数与方程的转化常见问题：(1)函数与其图象可视为方程与曲线的关系(2)方程中的参变量有时可视为其中某个量的函数,从而利用函数特性研究(3)解方程或不等式时可视其结构联想到相关函数图象或性质给予解决(4)数列的相关问题可视为函数问题或转化为方程和不等式解决
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