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专题一 函数与导数专题三 不等式、数列、推理与证明1几何背景下的数列综合问题，一般是以几何问题为载体，构成数列情境，内容往往涉及几何、数列、方程等方面，问题求解应根据题设理清思路，利用数形结合思想，函数方程思想，转化化归思想，破译问题情境，转化化归为等差、等比数列或简单的递推数列，从而解决问题2nmnaaS函数背景下的数列综合问题，一般通过某个函数建立 、之间的等量关系式，是数列与函数的一种常见的综合问题，求解的基本思路是从函数的角度思考问题，有效地利用函数的性质，特别是导数工具，逐步过渡为数列问题从而解决问题*1()212 34 5 6 78 9 10 11 12 13 14 15 ijiaijiji N把正数按上小下大、左小右大的原则排成如图所示的数表：设、是位于这个数中从上往下数第 行、从左往右数第 个例1数数表中第 行共有一、数阵问整题个正数 2112233122223422010112233444()12ijnnnnaijAaaaaAAAAnAnn若，求 、 的值；把，通过观察 与，与， 与，与，猜想当时，与的大小关系 不要求证明 211101110101122332“”1 2 222121.220102211.010212010982010 21127.ijnnniijijnaAnajajAaaija 思路：首先根据信息容易得到每行数的个数，再依据 与数表位置的关系而求解；第问的关键是得到 表达式，再用 归纳猜想 的方法解决数表中前 行共有个数，所以因为，所以令，解得因为解析：21(1 2 22) 1 2 31 nnnan ，2222222222121232 2.23212232423222232322.2nnnnnnnnnnn nAnnnnnnnnnAnnnnnAnnnnnnnnAnn 所以当时，则；当时，则；当当时，则；时，猜想2222222222121232 2.23212232423222232322.2nnnnnnnnnnn nAnnnnnnnnnAnnnnnAnnnnnnnnAnn 所以当时，则；当时，则；当当时，则；时，猜想24222122222434242162322232(4)2232222232.213123222645621022nkkknnnkknk kkkkkkkkkkkkkkk 下面用数学归纳法证明猜想正确当时，即成立；假设当时，则因为，212222213122.21324224.(4321,2,3224.knnnnnnAnnnAnnkknknnnnAnnnnn 所以即当时，猜想也正确由得，当时，成综上立，即所述，当时，当时，证明当时，还可用下面；当时，的方法：0123nnnn2421 1CCC1121261321.)22nnnCn nn nnnn nnnn 当时，分析数阵问题的关键是识图识表，理解图所含信息给出的规律，突破了这点就较容易转化为基本的数列问题了，然后利用数列的基本知识、方法与技巧便可解【点评】决问题 11*1121233312()1(0112)01()111.xxnnnnnnnnnnyfxxf aaaaaab baf anaTaaaSaaaQTSQaaaRN已知函数满足：，且，定义数列，证明：数列为等比数列；设，试用二、函数背景下，表例2的数示列问题 1113332212333222331233312*131111.011111111111(.12)11xxxnnnnnnf aaa af xaxaf aa aababababaQaaab aaaTa a abab aaa naTbSaaa N因为，所以，所以又，所以所以数列为首项为 ，公比为 ，各项为正的等比方数列因为，所以又法 ：解析：3233331.aQSTa，所以3123332132132131333123321313223113311232212131332333T1111111111112()()()22.3.Ta a aTa a aa a aa aa aQQaaaaaaQaaaaaaaaaaaaaaa aaTa aa aQS方，所以，又，所所以法2：以解决函数背景下的数列问题的切入点是依据题设条件，探究数列的简单递推关系式或通项公式，将问题化归为数列基本问【点评】题求解 *11112221212(2011)1,0(0)112).2knnnnPCyxxkkMMxPPCMMxPMMMaaaaakN过点作曲线 ：，的切线，切点为，设在 轴上的投影是点又过点 作曲线 的切线，切点为，设在 轴上的投影是点 ， ，依此下去，得到一系列点， ， ，设它们的横坐标 ， ， ， 构成数列求证：数列是等比数列，并求其三、几何背景下的数通项公式；当例3常德月问题考列时，令 .nnnnnbbnSa，求数列的前 项和利用求导数这一工具求出切线斜率，进而求出切线方程，通过求点的坐标等价转化成数分析:列问题 11111111,11()11,0011100.1()11111kknnnkknnkknnnnnnnnnnyxykxMaayaka xanPkakaaaknPaakakaaaakkkakkakka对求导数，得，则切点是， 的切线方程是当时，切线过点，即，得；当时，切线过点，即，得所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以数列的通项公式为解析：，*.nN 2323412311122.212322221113.22222111112222221111221.1222122.222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnkabnbnSnSnSSnnn 当时，数列的前 项和，得两式相所以减，得 1()第问看似繁杂，但只要理清了思路利用导数求曲线的切线方程 ，再加上运算细心，也就迎刃【点评】而解了 1*11231232(202)45.21.1110)4281nnnnnnnnnnanSaSyxnbaaabf xb xb xb xb xffnnN已知东北三校第一次数列的前 项和为 ，点，在直线上，其中令，且求数列的通项公式；若，求联考备选题 的表达式，并比较与的大小 11*1*111*11*1111211214254343(2)44(2)222(2)22(2)22124nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnSaSaSannaSSaannaaaannbaannbaabqbaaaaaNNNN因为，即，所以，所以，所以，所以，所以数列为等比数列，其解析:公比为，首项，而21111316426224.nnnaabb，且，所以，所以，所以 2312321123123234134522341222312312223 22 212223 221222224 122421221nnnnnnnnnnnnf xb xb xb xb xfxbb xb xnb xfbbbnbfnfnfnn 因为，所以，所以，所以， 所以，得： 2221412nnnfn，所以， 22222201118441 24 214122111840184218444540184341021 1CCCC222123321.nnnnnnnnnnnfnnnnnnnnnfnnfnnnfnnfnnnnnnnnf 所以当时，所以；当时，所以；当所以当时，且，所以当时，总有时，总有 2184 .nn数列的渗透力很强，它和函数、方程、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合力度所以，解决此类题目仅靠掌握一点数列的基本知识，无异于杯水车薪，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思想方法主要有“函数与方程”“数形结合”“分类讨论”“等价转化”等
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