湖南省高中数学第2轮总复习 专题4第15讲 空间角和距离的计算与应用课件 文 新人教版

专题一 函数与导数专题四 立体几何(0 90 1两异面直线所成的角：过空间任意一点分别引两条异面直线的平行线，那么这两条相交直线所成的角就叫做这两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角的范围是，求异面直线所成的角，最关键是要找到一个点，然后把两条异面直线平移至同一个平面90 .0 .0 90 2AOAB直线与平面所成的角：斜线与它在平面内的射影所成的角叫做斜线与平面所成的角如果直线与平面垂直，那么就说直线与平面所成的角为如果直线与平面平行或者在平面内，那么就说直线和平面所成的角为直线与平面所成的角的范围是，求直线与平面所成的角关键是过直线上一点向平面作垂线03180AOOBAOB一个平面垂直于二面角的棱，且与两个半平面的交线分别是射线、，则叫做二面角的平面角二面角的平面角的取值范围是，求二面角的平面角的方法有：定义法、线面垂直法、射影面二面角：积法等 4123空间的距离包括两点间的距离、点线距离、点面距离、线面距离、面面距离、两平行线间的距离在六种距离中，求点到平面的距离是重点，点到平面的距离是指：自点向平面引垂线，点到垂足间的距离求点到平面的距离方法有： 直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长； 转移法，转化成求另一点到该平面的距离；空体间的离：积法距1111111_ _1_ _ABCDA B C DMNA BBBAMCN在正方体中，、 分别为、的中点，则异面直线与一、异面直线所成的角所成角的余例弦值为 111222/./15517.22.2144s5co:ABEBEAM BEEBFFNBE FNAM FNCFFNCNAMCNABCFNCNFNCFCNFNCFCNFCN FN如图，取的中点 ，连接，则取的中点 ，连接，则，因此，连接，则直线与所夹锐角或直角为异面直线与所成的角设，在中，由余弦定理解析求两条异面直线所成的角的具体步骤是：选点平移；证明所作的角为异面直线所成的角；解三角形求角但有时也可以通过证明线面垂直【点评】来得到1624_2ABCDBDBDCCABDCABDBCABD已知边长为 的正方形，沿对角线将折起得到三棱锥，且三棱锥的体积等于，则直线与平面所成角的正弦值二、直线与平面所成的角例为2.12231162sin32243sin60120 .260:CABDBAOCDAOCDAOCAOCABCDOBDAOCBAOCDAOCVVVVSODOCCOAODCOACOACOACOAOAOC 设正方形的中心为 ，则平面三棱锥与体积相等因为或若，因为，所以是解析正三角形.2361sin602246sin.412061sin6n46si40.AOCAOBCCEAOEBECBEBCABDBCCECOCECBEBCCOACAOAOEBECBEBCABDBCCECBOEC 又因为平面平面过 作于 ，连接，则就是与平面所成角，所以当时，过 作的垂线，交的延长线于点 ，连接，则即为与平面所成的角又，所以求直线与平面所成角的步骤是：作出斜线与射影所成的角；利用三角形【点评】知识求角 1231303.ABCDABBCCDBCCDACDABCCABDBDACDAB如图，四面体中，、两两互相垂直，且求证：平面平面；求二面角的大小；若直线与平面所成的角为， 三、平面与求线段平面所成的角例的长度 .112.ABBCCDCDBCCDABABBCABCCDABCCDACDABCDABBCBCCDBCDABBCDBDBCDABBDCBDCABDBCCDBCCACDABDC证明：因为、两两垂直，所以，又因为、为平面内的两条相交直线，所以平面，而平面，因为，而、是平面内的两条相交直线，所以平面而平面，所以，所以为二面角的平面角所以平面平解析:为面又因，所以455.4CBDCABD即二面角的平面，角为 .301.12222sin2453.EBEACEDECDABCCDBEBEACDBDEBDACDBDEBEBDABBEBCEBCBCEBC如图，过点 作，垂足为 ，连接因为平面，所以，所以平面，所以为与平面所成的角，即所以，所以，所以，所以().()求直线与平面所成的角：通常是先找 或作出其夹角，然后再求但若能由体积计算出高，则可避高免找角的困难，其角的正弦值，或者其角的斜线长射影长余弦值求二面角：通常是先找到 或作出 其斜线长平面角，然后再求，但有些模型中适合用射影【点评】面积法四、空间角与空间距离的综合例4如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ADC=DCB=90，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC底面ABCD，E为AB的中点(1)求证：平面PDE平面PAC；(2)求直线PC与平面PDE所成的角的正弦值；(3)求点B到平面PDE的距离 141tan.21tan2.9090910.ACDEGDECBFDAEFBEBFADCFDCCFDCFADACDDCCFDACDACDACFCFDACFCGFACDEPCABCDPCDE证明：设与的交点为 ，延长交的延长线于点 ，则，所以，所以又因为，所以因为，所以，所以，所以又因为底面，所以解析： 2222.124 5.5214 52 55a2.n2t5ACPCCDEPACDEPDEPGCCHPGHPDEPACPGCHPDECPHCPGPCPDECDRt DCACGACCGRt PCGCPPGPCDEPAC而，所以平面又平面，连接，过点 作于点 ，则由知，平面平面，且是交线根据面面垂直的性质定理，得平面，从而即为直线与平面所成的角所以平面平面在中，在中， 22221411.2.31.33444 524534 52()5PCPDEBFCFBPDECPDECHPC CGRt PCGCHPCCGBPDE即直线与平面所成的角的正弦值为由于，所以可知点 到平面的距离等于点 到平面的距离 ，即在中，从而点 到平面的距离等于 2BPDEBPDECPDE利用几何法求 点到平面的距离时，充分利用第问的结论，将点 到平面距离转化为求点 到平面的距离，这种转化思想值得好【点评】好体会备选题如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，BMPD，垂足为M，O为BD的中点(1)求证：PD平面ABM；(2)求点O到平面ABM的距离；(3)求直线OA与平面ABM所成角的正弦值 1.12PAABCDABABCDPAABABADPAADPADABPADABPDBMPDABBMABMOBDOABMDABMPDABMMDMDPDA MBBA M证明：因为平面，而平面，所以，又因为，、为平面内的两条相交直线，所以平面，所以，又因为，、为平面内的两条相交直线，因为 是的中点，则 点到平面的距离等于 点到平面距离的一半由知，平面于，则就是 点到解析平面的距离所以平面：因为在42 2Rt PADPAADPDAMMPDDM中，所以为的中点， 222211522210sin52.10.355OABMOAABMOABMOABDABADOAABM所以点 到平面的距离等于设直线与平面所成角为 ，由知，点 到平面的距离等于，而，所以，即直线与平面所成角的正弦值为123方法 ：方法 ：求点到平面的距离的常用方法：作、证、求的方法；等体积法；利用共线成比例转化，或利用平行线方转【点评】法 ：化的方法1空间角的计算方法都是转化为平面角来计算两条异面直线所成的角，要以运动的观点运用“平移法”，使之成为相交直线所成的角，要充分挖掘图形的性质，寻求平行关系；斜线与平面所成的角，往往是在斜线上取一点向平面引垂线，再解由斜线、垂线、射影所围成的直角三角形这里关键是引平面的垂线，明确垂足的位置；求二面角的方法主要有定义法、线面垂直法、射影面积法等 2空间距离点与点之间的距离、点线之间的距离、两平行线之间的距离利用平面几何知识可以解决；点面距离、线面距离、面面距离都可转化为求点面距离3AAAAa在求空间角或空间距离时，经常会遇到过空间中一点 作已知平面 的垂线的问题解决这类问题时，如果已知图形中有平面的垂线，就只需过点 作已知垂线的平行线即可；否则可以过点 作一个平面与平面 垂直，再利用平面垂直的性质定理达到过点 作平面 的垂线的目的4空间角与空间距离的计算都分为三步：“一找、二证、三计算”立体几何中的计算题必须有推理过程，考生往往只注意计算，不注意推理，造成不必要的丢分