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专题一 函数与导数专题三 不等式、数列、推理与证明 1111111()2(1. )1()1()1nnnnnnnnnnnnaaaf nf naqapaq pqapqp apapaf npag np ag n求数列通项的常见方法：累加 乘 法：形如或构造等差或等比数列法：如：， 为常数 ，变形为；为常数 ，转化为；12212111,223nnnnnnnaaabapaqaaAaB aAaABn，转化为，用待定系数法求 、 ，从而转化为等比数列求解数列是定义在正整数集或其有限子集， ，上的特殊函数，在解决数列问题时，可应用函数的概念、性质实现问题的转化，利用动态的函数观点，结合导数等知识是解决数列问题的有效方法以数列为载体，通过数列的和或项来考查不等式的证明或应用是常见题型，应注意不等式的证明方法、数列求和方法等知识的综合应用同时解题时应善于运用基本数学方法，如观察法、类比法、数形结合法等 4数列模型应用问题国民经济发展中的大量问题，如人口增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算等应用问题，就是数列所要解决的问题实际问题中，若问题实质反映的是前后相邻两次(或三次)之间的某种固定关系，适合应用数列建模求解 11*12320092010*1121()()A.6 B.3 C.2 (20D.1()()A B1)201nnnnnnnnaaaaanaaaaaaaanaNN已知数列满足，则连乘积的值为 对于数列，“”是“陕西例一、周期数列与创新型数列问题为递增数列”的 必要不充分条件1充分不必C D要条件充要条件既不充分也不必要条件 12341232009201020092010121111112 416321,0,A.1nnnnnnnnnnnnnnnaa aaaa aaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaa 归纳出数列是以 为周期的数列，且，故，由可得，所以是递增数列，所以“”是“为递增数列”的充分条件，当是递增数列时，不一定有，如， ， ，所以“”不是“为递增数故选解析：B.列”的必要条件故选， 12本题可以训练学生的归纳推理能力，猜想数列可能是周期数列，然后探究数列的周期性数列是特殊的函数，利用递增数列的特点绝对值的运算，进行充分、必要条件的判断，是一道小型综合题，有一定的【点评】创新性2000()11.34200110()200120%.()(2001)naan某城区年底有居民住房总面积为平方米 ，且居民住房分为危旧住房、新型住房、可用住房三类，其中危旧住房占 ，新型住房占为了加快住房建设，自年起计划用 年的时间拆除全部危旧住房 每年拆除的数量相同 ；同时自年起居民住房只建设新型住房，每年年底的新型住房面积都比上一年底的新型住房面积增长用平方米 表示第 年底二、数列模年例2为型应用问第一年题该城区的居民住房总面积 12()(lg20.30lg30.48lg431.23)16naaa分别写出 、 的表达式，并归纳出的计算公式 不必证明 ；危旧住房全部拆除后，至少再过多少年才能使该城区居民住房总面积翻两番？精确到年，以下数据供参考：， 122512000115()431211103310(120%) (110)412305(120%) 4105111120%412310 3512120%4123302nnnaaaaaaaaaaaaaaanaanaaaa年底除了危旧住房和新型住房外的可用住房面积为，每年拆除危旧住房面积为，依题意，得，一般地，解析：(11)n 543 120%41.2412412lg43lg3lg1.2014.372lg2lg3 1151550.215nnaaaaann由，得，又，所以，所以，取答：至少再经过 年才能使该地区的居民住房总面积翻两番数列模型实际应用问题的显著情境是一次一次的变化，且前后相邻两次或三次显现固定的变化模式；求解时可依次探究，归纳出一般规律，也可找相邻前后二次或三次的递推关系式，然后化归为特殊数列问【点评】题求解 1*1*321 221()12()2312nnnnnnnaanaanannaaaaaannn NN已知数列满足：，且求证：数列为等比数列，并求数列的通项公三、数列与不等式综合式；题例3：问证明 1111212112(1)1111111()( )( )222.211nnnnnnnnnnnnnnnaannaa ananannnaaaanann 由题意，得，即，故，即数列为等比数列所以所以解，析： 3120121111211231111112122221212(2)22.nnnnnnanaaaannnnn 由上知，所以本例问题实质是有关数列的通项、恒等式和不等式的证明，求解策略是应用转化化归思想和推理证【点评】明方法 1*21312.212lnlnnnnnnnnnnannaSaSnanaaaa N已知各项全不为零的数列的前 项和为，且，求数列的通项公式；求证：对任意的正整数例4，不等式都成立 11 1 22nnnnSnaSSna 思路：应用公式，求得数列的递推公式后转化化归为等差数列第问，等价转换待证不等式后，依据所得不等式的特征构造函数，运用解析：导数求解 1111111111211.211 12222110. 1110.20.112nnnnnnnnnnnnnnaSanananaSSnanannnanaaaaaaaan 由得当时，即以代替 得，两式相减得所以，数列为等差数列，又由，知 1332323323232111lnlnln1ln111ln(1).1ln1ln10.ln1310)10)(0)020.nnnnanaannannnnxxxxnxxxh xxxxxxh xxh xxh xh 证明：由的结论知不等式设，因此欲证结论成立，只需证，即证令，则在 ，上恒为大于零，所以在 ，上单调递增，当，时，恒有故原不等式得证 2211*1()2463,23(2,3)1(1,2).21()32nnnnnnnnnfxxaxb abfxxxxabaaf anbnbnSaabSnN设函数、 为实数 ，已知不等式对任意的实数均成立定义数列和：， ， ，数列的前 项和为备选题 求 、 的值；求证： 22211111211121111 2462|31 |3010.232322 (2)1(2)22231.221222222.12nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnf xxxxxxffabaf aaaaananaaaaaaabaaa aaaa aaf xxx R由，对均成立得，故，所以由，得，以解所析:11nna-，*1212231111211211112111111()()111111()1().322(2)220(2)(2)3003nnnnnnnnnnnnnnnnnnSnSbbbaaaaaaaaaaaanaaanaanaaaaaN所以因为，所以，所以从而，即，所以n本题集数列、函数、不等式于一体，主要考查数列的概念、数列的递推公式、数列的通项求法、数列前 项和的求法、构造新数列法、裂项相消法等知识与方法，此题对学生分析问题与解决问题的能力，逻辑推理能力以及运算能力的要【点评】求较高1数列模型应用题的求解策略与数列有关的应用题大致有三类：一类是有关等差数列的应用题；二是有关等比数列的应用题；三是有关递推数列且可化成等差、等比数列的应用题当然，还包括上述三类问题的综合其中第一类问题在内容上比较简单，建立等差数列模型后，问题常常转化成整式或不等式处理，很容易计算对第二类问题，建立等比数列的模型后，弄清项数是关键，运算中往往要运用指数或对数知识，并依据题设中所给参考数据进行近似计算，对其结果要按要求保留一定的精确度对于第三类问题，要将线性递推数列化归为等比数列求解 2数列与不等式综合问题求解思想解答数列与不等式的综合问题时要善于运用函数与方程思想、转化与化归思想，利用数列为特殊函数，用特例分析法、一般递推法及数列的求和、求通项的基本方法、放缩法等方法综合分析问题探究问题计算、推理、论证的途径
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