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第四讲第四讲 导数及应用导数及应用1导数的几何意义导数的几何意义函数函数yf(x)在在xx0处的导数处的导数f(x0)就是曲线就是曲线yf(x)在在点点(x0，f(x0)处的切线的斜率即处的切线的斜率即kf(x0)2导数的运算法则导数的运算法则 (1)u(x)v(x) ；(2)u(x)v(x) ；(4)复合函数的导数：复合函数的导数：yx .u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)yuux(3)u(x)v(x) 3函数的单调性与导数的关系函数的单调性与导数的关系在区间在区间(a，b)内，如果内，如果f(x)0，那么函数，那么函数f(x)在区间在区间(a，b)上单调递增；如果上单调递增；如果f(x)0，那么函数，那么函数f(x)在区在区间间(a，b)上单调递减上单调递减4函数的单调性与极值的关系函数的单调性与极值的关系一般地，对于函数一般地，对于函数yf(x)，且在点，且在点a处有处有f(a)0.(1)若在若在xa附近的左侧导数附近的左侧导数 ，右侧导，右侧导数数 ，则，则f(a)为函数为函数yf(x)的极小值的极小值(2)若在若在xa附近的左侧导数附近的左侧导数 ，右侧导，右侧导数数 ，则，则f(a)为函数为函数yf(x)的极大值的极大值小于0大于0大于0小于05定积分定积分F(b)F(a) xa xb y0 yf(x) 答案答案A答案答案C3(2011广东广东)函数函数f(x)x33x21在在x_处取得处取得极小值极小值解析解析由由f(x)x33x21得得f(x)3x26x3x(x2)，当当x(0,2)时，时，f(x)0，f(x)为减函数，为减函数，当当x(，0)和和(2，)时，时，f(x)0，f(x)为增函数，为增函数，故当故当x2时，函数时，函数f(x)取得极小值取得极小值答案答案2 高考对导数与微积分的考查主要体现在其工具性上高考高考对导数与微积分的考查主要体现在其工具性上高考对函数的考查更多的是与导数相结合，应用导数研究函数的性对函数的考查更多的是与导数相结合，应用导数研究函数的性质、应用函数的单调性证明不等式，体现出高考的综合热质、应用函数的单调性证明不等式，体现出高考的综合热点应用导数研究函数或证明不等式等，每年都有考查，具有点应用导数研究函数或证明不等式等，每年都有考查，具有一定的难度预计高考对导数的考查将继续保持以前的风格，一定的难度预计高考对导数的考查将继续保持以前的风格，所以我们在复习中要加强对导数的几何意义，应用导数研究函所以我们在复习中要加强对导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性、极大数的单调性、极大(小小)值和最大值和最大(小小)值等内容的练习值等内容的练习高考对微积分的考查则要求较低，类型基本为两个：一是应用高考对微积分的考查则要求较低，类型基本为两个：一是应用微积分基本定理求定积分；二是应用定积分求不规则图形的面微积分基本定理求定积分；二是应用定积分求不规则图形的面积积(2011山东山东)曲线曲线yx311在点在点P(1,12)处的切线与处的切线与y轴交点的轴交点的纵坐标是纵坐标是A9B3C9 D15利用导数研究曲线的切线利用导数研究曲线的切线【答案】C求曲线切线方程的步骤：求曲线切线方程的步骤：(1)求出函数求出函数yf(x)在点在点xx0的导数的导数f(x0)，即曲线，即曲线yf(x)在点在点P(x0，f(x0)处切线的斜率；处切线的斜率；(2)已知或求得切点坐标已知或求得切点坐标P(x0，f(x0)，由点斜式得切，由点斜式得切线方程线方程yy0f(x0)(xx0)(1)当曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为xx0.(2)当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解答案答案A (2011天津天津)已知函数已知函数f(x)4x33tx26t2xt1，xR，其中其中tR.(1)当当t1时，求曲线时，求曲线yf(x)在点在点(0，f(0)处的切线方程；处的切线方程；(2)当当t0时，求时，求f(x)的单调区间；的单调区间；(3)证明：对任意证明：对任意t(0，)，f(x)在区间在区间(0,1)内均存在零内均存在零点点【解题切点】【解题切点】(2)注意对注意对f(x)0的两根进行讨论，以确定的两根进行讨论，以确定单调区间单调区间(3)利用函数的单调性，结合根的存在性定理进行证明利用函数的单调性，结合根的存在性定理进行证明利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况，大多数情况下是归结为一个含有参数的一的情况，大多数情况下是归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论讨论函数的等式对应方程的判别式进行分类讨论讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制了定义域的限制2(2011北京西城区期末北京西城区期末)已知函数已知函数f(x)axln x(aR)(1)若若a2，求曲线，求曲线yf(x)在在x1处切线的斜率；处切线的斜率；(2)求求f(x)的单调区间；的单调区间；(3)设设g(x)x22x2，若对任意，若对任意x1(0，)，均，均存在存在x20,1，使得，使得f(x1)g(x2)，求，求a的取值范围的取值范围利用导数求函数的极值（最值）利用导数求函数的极值（最值）1解决函数应用问题的难点就是数学模型的建立，解决函数应用问题的难点就是数学模型的建立，本例的关键是利用利润销售金额成本，同时注本例的关键是利用利润销售金额成本，同时注意得到自变量意得到自变量x的取值范围，这是解的取值范围，这是解(2)题的基础题的基础2求函数在某一闭区间上的最值，一般要先求其求函数在某一闭区间上的最值，一般要先求其极值，再与端点值相比较，其中最大的一个为最大极值，再与端点值相比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值若函数的表达式中含有值，最小的一个为最小值若函数的表达式中含有参数，则要讨论函数的极值点与所给闭区间的关系，参数，则要讨论函数的极值点与所给闭区间的关系，分类讨论得到最值分类讨论得到最值3(2011重庆重庆)设设f(x)x3ax2bx1的导数的导数f(x)满足满足f(1)2a，f(2)b，其中常数，其中常数a，bR.(1)求曲线求曲线yf(x)在点在点(1，f(1)处的切线方程；处的切线方程；(2)设设g(x)f(x)ex，求函数，求函数g(x)的极值的极值(2)由由(1)知知g(x)(3x23x3)ex，从而有从而有g(x)(3x29x)ex.令令g(x)0，得，得3x29x0，解得，解得x10，x23.当当x(，0)时，时，g(x)0，故，故g(x)在在(，0)上为上为减函数；减函数；当当x(0,3)时，时，g(x)0，故，故g(x)在在(0,3)上为增函数；上为增函数；当当x(3，)时，时，g(x)0，故，故g(x)在在(3，)上为上为减函数减函数从而函数从而函数g(x)在在x10处取得极小值处取得极小值g(0)3，在，在x23处取得极大值处取得极大值g(3)15e3.【解题切点】【解题切点】(2)构造函数，利用函数的单调性与最值求构造函数，利用函数的单调性与最值求k的范围的范围利用导数研究不等式利用导数研究不等式利用导数解决不等式问题的类型：利用导数解决不等式问题的类型：(1)不等式恒成立：基本思路就是转化为求函数的最不等式恒成立：基本思路就是转化为求函数的最值或函数值域的端点值问题值或函数值域的端点值问题(2)比较两个数的大小：一般的解决思路把两个函数比较两个数的大小：一般的解决思路把两个函数作差后构造一个新函数、通过研究这个函数的函数作差后构造一个新函数、通过研究这个函数的函数值与零的大小确定所比较的两个函数的大小值与零的大小确定所比较的两个函数的大小(3)证明不等式：对于只含有一个变量的不等式都可证明不等式：对于只含有一个变量的不等式都可以通过构造函数，然后利用函数的单调性和极值解以通过构造函数，然后利用函数的单调性和极值解决决定积分及应用定积分及应用【答案】【答案】(1)1(2)C应用定积分求曲边梯形的面积，解题的关键是利用两条曲线应用定积分求曲边梯形的面积，解题的关键是利用两条曲线的交点确定积分区间以及结合图形确定被积函数求解两条的交点确定积分区间以及结合图形确定被积函数求解两条曲线围成的封闭图形的面积一般是用积分区间内上方曲线减曲线围成的封闭图形的面积一般是用积分区间内上方曲线减去下方曲线对应的方程、或者直接作差之后求积分的绝对值，去下方曲线对应的方程、或者直接作差之后求积分的绝对值，否则就会求出负值否则就会求出负值解析解析根据定积分的定义，所围成的封闭图形的面积为根据定积分的定义，所围成的封闭图形的面积为答案答案D
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