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ABCD2.3.1 直线与平面垂直的判定 思考(1)一条直线l与平面内一条直线垂直可以判断直线l与平面垂直吗?(2)一条直线l与平面内无数条直线垂直呢?laABCBCAB,则旗杆AB所在的直线与地面任意一条直线都垂直1、如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面互相垂直.2、表示为:l .直线l叫做平面的垂线,平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足.阳光下的旗杆与影子的关系:ABBC,BCBC ,AB BC 3、直线l与平面垂直的画法:通常地直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。 思考:是否把平面中的直线一一找出,才能证明直线与平面垂直?AD作为BC边上的高时,AD ,这时AD BC,即AD BD,AD CD,BDCD=D.定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 a,b,ab=O,la, lb表示为:l例1 一旗杆高8m,在它的顶点处系两条长10m的绳子,拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点(与旗杆脚不在同一直线上)。如果这两点与旗杆脚距6m,那么旗杆就与地面垂直。为什么?分析:(1)两点与旗杆脚确定的平面就是地面。(2)能否在平面上找出两条相交直线,使得旗杆与它们垂直解:如图,旗杆PO=8m,两绳长PA=PB=10m,OA=OB=6m 因为A,O,B三点不共线, 所以A,O,B三点确定平面(即地面所在面) 又因为PO2+OA2=PA2,PO2+OB2=PB2, 所以OPOA ,OPOB. 又因为OAOB=O, 所以OP. 因此,旗杆OP与地面垂直. POAB例2 如图,已知ab,a, 求证b. ab分析:能否在平面内找出两条相交直线,使得b与它们垂直?证明:在平面内作两条证明:在平面内作两条 相交直线相交直线m,n. mn因为直线因为直线a,根根据直线与平面垂直的据直线与平面垂直的定义知定义知 am am,an.an.又因为又因为 baba,所以所以 bmbm,bn.bn.又又 m m , n n ,m m, n n是两条相交直是两条相交直线,线,所以所以 bb 练习练习1 1、如图,已知、如图,已知OAOA、OBOB、OCOC两两垂直两两垂直(1 1)求证:)求证:OAOA平面平面OBCOBC(2 2)求证:求证:OABCOABCBCOA分析分析:(:(1)要证)要证OA平面平面OBC, 必须在平面必须在平面OBC中找出两条中找出两条 与与OA垂直的相交直线。因垂直的相交直线。因 为为OA、OB、OC两两垂直两两垂直 OAOB、OAOC. OAOC,且且OBOC=O. (2)OA平面平面OBC,OA 垂直平面内任意一条直线垂直平面内任意一条直线.证明证明:(:(1)OA、OB、OC两两垂直两两垂直 OAOB,OAOC, 又又OBOC=O OA平面平面OBC(2) OA平面平面OBC BC 平面平面OBC OABC练习2、如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VC,AB=BC,求证VBAC.ABCV分析:(1)要证线线垂直,首先证线面垂直 (2)ACVB所在的面,应该 是哪一个面? 给出VA=VC,AB=BC可 以知道VAC与BAC都是 等腰三角形证明:取AC的中点D,连结DV、DBDVA=VC,AB=BCVAC与BAC都是等腰三角形ACDV ACDBDVDB=OAC平面VDBACVB小结1、要证线面垂直要证线面垂直(根据定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。)2、要证线线垂直要证线线垂直(可先证一条直线与另一条直线所在的面垂直,再得到线线垂直。)作业:有平行四边形ABCD ,已知lAB,lBC.求证:l直线AD.课后思考:P70.探究
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