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三角函数模型的简单应用三角函数模型的简单应用 三角函数模型的简单应用三角函数模型的简单应用)sin( xAy振幅振幅初相（初相（x=0时的相位）时的相位）相位相位2:T 周期周期1:2fT 频率频率例例1 如图：点如图：点O为作简谐运动的物体的为作简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为方向，若已知振幅为3cm，周期为周期为3s，且且物体向右运动到距离平衡位置最远时开始物体向右运动到距离平衡位置最远时开始计时。计时。（1）求物体对平衡位置的位移）求物体对平衡位置的位移x（cm）和时间和时间t(s)之间的函数关系；（之间的函数关系；（2）求物）求物体在体在t=5s时的位置。时的位置。 POQ例例2如图：一个半径为如图：一个半径为3m的水轮，水轮圆心的水轮，水轮圆心O恰在水面上，已知水轮每分钟转动恰在水面上，已知水轮每分钟转动4圈，水圈，水轮上点轮上点P在下列位置开始计时。（在下列位置开始计时。（1）将点）将点P距距离水面的高度离水面的高度z(m)表示为时间表示为时间t(s)的函数的函数;(2)点点P第一次达到最高点大约需要多长时间？第一次达到最高点大约需要多长时间？ P0（A）点点P在在A点时开始计时；点时开始计时； （B）点点P在在B点时开始计时；点时开始计时； （C）点点P在在C点时开始计时；点时开始计时； （D）点点P在在D点时开始计时。点时开始计时。 P解：不妨设水轮沿逆时针方向旋转，解：不妨设水轮沿逆时针方向旋转，如图建立平面直角坐标系。如图建立平面直角坐标系。 设设 是以是以Ox为始边，为始边，OP0为终边的角。为终边的角。 )20(由由OP在在t s内所转过的角为内所转过的角为 tt152)6024( 可知，以可知，以Ox为始边，为始边，OP为终边的角为为终边的角为 ，t152故故P点的纵坐标为点的纵坐标为 ，则，则 )152sin(3t).)(sin(201523tzP（A）点点P在在A点时开始计时，点时开始计时， 0)(sin(01523ttz则所求函数关系式为则所求函数关系式为令令 ，得，得 ，则则 ， 31523)sin(tz1152)sin(t)(Zkkt22152故故 ， )(Zkkt15415所以，当所以，当k=0时，时，t= 。故点故点P第一次到达最高点需要第一次到达最高点需要 s415415108642-2-4-65101520A（B）点点P在在B点时开始计时，点时开始计时， 2)(cos()sin(0152321523tttz令令 ，得，得 ，则则 ， 31523)cos(tz1152)cos(t)(Zkkt2152故故 ， )(Zkkt15所以，当所以，当k=0时，时，t=0。故点故点P第一次到达最高点需要第一次到达最高点需要0 s则所求函数关系式为则所求函数关系式为108642-2-4-65101520（C）点点P在在C点时开始计时，点时开始计时， )(sin()sin(015231523tttz令令 ，得，得 ，则则 ， 31523)sin(tz1152)sin(t)(Zkkt223152故故 ， )(Zkkt15445所以，当所以，当k=0时，时，t= 。故点故点P第一次到达最高点需要第一次到达最高点需要 s445445则所求函数关系式为则所求函数关系式为108642-2-4-65101520 （D）点点P在在D点时开始计时，点时开始计时， 23)(cos()sin(01523231523tttz令令 ，得，得 ，则则 ， 31523)cos(tz1152)cos(t)(Zkkt2152故故 ， )(Zkkt15215所以，当所以，当k=0时，时，t= 。故点故点P第一次到达最高点需要第一次到达最高点需要 s215215则所求函数关系式为则所求函数关系式为108642-2-4-65101520（A）点点P在在A点时开始计时；点时开始计时； （B）点点P在在B点时开始计时；点时开始计时； （C）点点P在在C点时开始计时；点时开始计时； （D）点点P在在D点时开始计时。点时开始计时。 1 08642-2-4-651 01 52 0108642-2-4-65101520108642-2-4-65101520108642-2-4-65101520A变题：将圆心变题：将圆心O上移上移2米，其余不变，试米，其余不变，试求解。求解。).()sin(2021523tz圣米切尔山圣米切尔山涨潮落潮 潮汐对轮船进出港潮汐对轮船进出港口产生什么影响？口产生什么影响？ 某港口在某季节每天的某港口在某季节每天的时间与水深关系表时间与水深关系表：时刻时刻0：003：006：00水深水深/米米5.07.55.0时刻时刻9：0012：0015：00水深水深/米米2.55.07.5时刻时刻18：0021：0024：00水深水深/米米5.02.55.0例例3：A=2.5,h=5,T=12 ;由由 ，得，得212T.6所以，这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为：所以，这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为：2.5sin56yx)(240 x解：以时间为横坐标，水深为纵解：以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点坐标，在直角坐标系中画出散点图，根据图象，可以考虑用函数图，根据图象，可以考虑用函数 来刻画水深与时间之间的对应关来刻画水深与时间之间的对应关系系.从数据和图象可以得出：从数据和图象可以得出：hxAy)sin(),(2000A由由x=0时时y=5，得得 ；5552sin.故故即即 ， 由图可知由图可知 ；0sink20所以所以由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：时刻0：001：002：003：004：005：00水深5.0006.2507.1657.57.1656.250时刻6：007：008：009：0010：00 11：00水深5.0003.7542.8352.5002.8353.754时刻12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00水深5.0006.2507.1657.57.1656.250时刻18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00水深5.0003.7542.8352.5002.8353.754小结：小结：
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