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27.2.127.2.1相似三角形的判定（相似三角形的判定（4 4） 预习与反馈预习与反馈相似三角形的判定方法相似三角形的判定方法1 1、定义判定法、定义判定法3 3、边边边判定法（、边边边判定法（SSSSSS）2 2、平行判定法、平行判定法4 4、边角边判定法（、边角边判定法（SASSAS） 观察两副三角尺如图，其中同样角度（观察两副三角尺如图，其中同样角度（3030与与6060，或，或4545与与4545）的两个三角尺大小可能不同，）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的一般地，如果两个三角形有但它们看起来是相似的一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？两组对应角相等，它们一定相似吗？ 一定相似一定相似观 察 新课精讲新课精讲 作作ABCABC和和ABCABC，使得，使得A AAA，B BBB，这，这时它们的第三个角满足时它们的第三个角满足C CCC吗？分别度量这两个三角吗？分别度量这两个三角形的边长，计算形的边长，计算 ，你有什么现？，你有什么现？ACCACBBCBAAB、探究探究ABCABC满足：满足：C = CC = CABBCCAA BB CC AABCABCABCABC得到判定两个三角形相似的又一个简便方法。得到判定两个三角形相似的又一个简便方法。判定定理：判定定理： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似两个角对应相等，那么这两个三角形相似如图，已知如图，已知ABCABC和和ABCABC中，中，A=A, B=A=A, B=BB ，求证求证: : ABCABCABCABC证明：在证明：在ABCABC的边的边ABAB（或延长线）上，（或延长线）上，截取截取AD=ABAD=AB，过点，过点D D作作DE/BCDE/BC，交，交ACAC于点于点E E，则有，则有ADEADEABCABCADE=B, B=ADE=B, B=BB ADE=BADE=B又又A=A,AD=ABA=A,AD=ABADEADEABCABCABCABCABCABCA AB BC CD DE EAABBCC 如果两个三角形的两个角与另一如果两个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。个三角形相似。知识要点知识要点判定三角形相似的定理判定三角形相似的定理两角对应相等，两三角形相似。两角对应相等，两三角形相似。角角角角A AA AA A1 1B B1 1C C1 1A AB BC CABCABCA A1 1B B1 1C C1 1. .即：即：如果如果那么那么A =AA =A1 1，B =BB =B1 1 . .例例2 2 如图，弦如图，弦ABAB和和CDCD相交于相交于O O内一点内一点P P，求证，求证PAPBPAPBPCPDPCPD证明：连接证明：连接ACAC、BDBD A A和和D D都是都是 所对的圆周角，所对的圆周角， A AD D同理同理 C CB B PACPACPDBPDBPBPCPDPA 即即 PAPBPAPBPCPDPCPDA AB BC CD DO OP PCB提示：提示： 把比例线段转把比例线段转化为乘积形式。化为乘积形式。探究探究4已知：已知：RtRtABCABC 和和 RtRtA A1 1B B1 1C C1.1.1111,ABBCkABBC求证：求证：ABCABCA A1 1B B1 1C C1.1.ABCA1B1C1思考：思考： 对于两个直角三角形，我们可以利用对于两个直角三角形，我们可以利用“HL”HL”判定它们全等判定它们全等. .那么那么, ,满足斜边的比等于一组直满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似吗角边的比的两个直角三角形相似吗? ?证明证明: :.CAACBAABk 设设.,CAkACBAkAB 则则由勾股定理，得由勾股定理，得.,2222CABACBACABBC .222222kCBCBkCBCAkBAkCBACABCBBC .CAACBAABCBBC RtRt ABCRtABCRt ABC.ABC. 如果一个直角三角形的如果一个直角三角形的斜边斜边和一条和一条直角直角边边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。那么这两个直角三角形相似。知识要点判定三角形相似的定理判定三角形相似的定理HLABCABCABCA A1 1B B1 1C C1 1. .即：即：如果如果那么那么A1B1C11111,ABBCkABBCRtRtABCABC 和和 RtRtA A1 1B B1 1C C1.1.1. 1. 底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论腰三角形呢？证明你的结论BACBAC已知：等腰已知：等腰ABC ABC 和等腰和等腰ABC ABC 中，满足中，满足AB=ACAB=AC，AB = AC AB = AC 且有且有B=B, B=B, 求证求证: :ABCABCABCABC证明：证明：等腰三角形等腰三角形 AB=AC B=CABCABC 等腰三角形等腰三角形 AB=AC B=C又又B=B,C=C 练练 习习已知已知: :第腰第腰ABC ABC 有有AB=AC AB=AC 和和 ABC ABC 有有AB=ACAB=AC， 并且并且A=A, A=A, 求证求证: :ABCABCABCABC证明：证明： ABCABC中中AB=ACAB=AC，B =CB =C 2B =180 2B =180AA1902BA同理同理 ，ABCABC中中AB=ACAB=AC，B =CB =C 2B =180 2B =180AA1902BA又又 A=AA=A B= B=BB, ABCABCABCABCBACBAC2、如图、如图, 在在RtABC中，中，CD是斜边是斜边AB上的高。上的高。（1）图中有哪些相似的三角形）图中有哪些相似的三角形?证明你的结论证明你的结论.（2）证明）证明CD2=ADBD（3）类似的，）类似的，AC2=（ ）（ ）; BC2=（ ）（ ）(2) (2) 、CDCDADAD= =BD BD CDCDCDBCDBADCADC(3)(3)、1 12 2(1)(1)、ACDACDABCABCCBDCBDABCABC证明：证明：ACB=ADC=90ACB=ADC=90又又 A= A=90A= A=90 ACDACDABCABCCDCD2 2=ADDB=ADDBACAC2 2=AD AB,=AD AB,BCBC2 2=BD BA=BD BAACDACDABCABCABCABCCBDCBDACDACDCBDCBD常用的成比例的线段：常用的成比例的线段：常用的相等的角：常用的相等的角：A =DCB A =DCB ；B =ACDB =ACD2ACAD AB2BCBD AB2CDAD DBAC BCAB CDBDAC1. 1. 相似图形三角形的判定方法：相似图形三角形的判定方法： 通过定义通过定义 平行于三角形一边的直线平行于三角形一边的直线 三边对应成比例三边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等两边对应成比例且夹角相等 两角对应相等两角对应相等 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例（三边对应成比例，三角相等）（三边对应成比例，三角相等）（SSS）（AA）（SAS）（HL） 对应角相等。对应角相等。 对应边成比例。对应边成比例。 对应高的比等于相似比。对应高的比等于相似比。 对应中线的比等于相似比。对应中线的比等于相似比。 对应角平分线的比等于相似比。对应角平分线的比等于相似比。2. 相似三角形的性质：相似三角形的性质：A AB BC CD DE EA AB BC CD DE E 2 21 1O OC CB BA AD DO OC CD DA AB BA AB BC CD DE E基本图形的形成、变化及发展过程：基本图形的形成、变化及发展过程： 平行型平行型 斜交型斜交型. . . . . . . . . . 旋转旋转平移平移垂直型垂直型特殊特殊特殊特殊平移平移（1）所有的等腰三角形都相似。）所有的等腰三角形都相似。（2）所有的等腰直角三角形都相似。）所有的等腰直角三角形都相似。（3）所有的等边三角形都相似。）所有的等边三角形都相似。（4）所有的直角三角形都相似。）所有的直角三角形都相似。（5）有一个角是）有一个角是100 的两个等腰三角形都相似。的两个等腰三角形都相似。（6）有一个角是）有一个角是70 的两个等腰三角形都相似。的两个等腰三角形都相似。（7）若两个三角形相似比为）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。，则它们必全等。（8）相似的两个三角形一定大小不等。）相似的两个三角形一定大小不等。1. 判断下列说法是否正确？并说明理由。判断下列说法是否正确？并说明理由。2. ADBC2. ADBC于点于点D D， CEABCEAB于点于点 E E ，且交，且交ADAD于于F F，你能，你能从中找出几对相似三角形？从中找出几对相似三角形？B BC CA AE ED DF F3. 3. 过过ABC(CB)ABC(CB)的边的边ABAB上一点上一点D D 作一条直线与另一边作一条直线与另一边ACAC相交，截得的小三角形与相交，截得的小三角形与ABCABC相似，这样的直线有几条？相似，这样的直线有几条？CD B BC CA AD DE EE EB BC CA AD D ADE ADE ABCABC AED AED ABCABCA=A=AAAED=CAED=CA=A=AAAED=BAED=B作作DEDE，使，使AED=CAED=C作作DEDE，使，使AED=BAED=B这样的直线有两条：这样的直线有两条：构造基本图形构造基本图形4 4、如图，如图，ABCABC中，中，M M为为ACAC边的中点，边的中点，E E为为ABAB上一点上一点且且 ，连结，连结EMEM并延长交并延长交BCBC的延长线于的延长线于D. D. 求证：求证：BC=2CD BC=2CD ABAE41=BMDCEABMDCEABMDCEABMDCEABMDCEAF FF FF FF F三角形相似的识别方法有那些？三角形相似的识别方法有那些？方法方法1：通过定义：通过定义方法方法5：通过两角对应相等。：通过两角对应相等。三 个 角 对 应 相 等三 边 对 应 成 比 例课课 堂堂 小小 结结方法方法6：斜边直角边对应成比例斜边直角边对应成比例方法方法2：平行于三角形一边的直线。：平行于三角形一边的直线。方法方法3：三边对应成比例。：三边对应成比例。方法方法4：两边对应成比例且夹角。：两边对应成比例且夹角。
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