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第二讲概率、随机变量及其分布列第二讲概率、随机变量及其分布列主干知识整合主干知识整合2常见的离散型随机变量的分布常见的离散型随机变量的分布(1)两点分布两点分布分布列为分布列为(其中其中0p1)(2)二项分布二项分布在在n次独立重复试验中，事件次独立重复试验中，事件A发生的次数发生的次数是一是一个随机变量，个随机变量，01P1pp3离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的期望与方差若离散型随机变量若离散型随机变量的分布列为的分布列为则称则称E()x1p1x2p2xnpn为为的数的数学期望，简称期望学期望，简称期望D()x1E()2p1x2E()2p2xnE()2pn叫做随机变量叫做随机变量的方差的方差x1x2xnPp1p2Pn高考热点讲练高考热点讲练古典概型古典概型例例1 一个袋中装有大小相同的一个袋中装有大小相同的10个球，其中红个球，其中红球球8个，黑球个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次个，现从袋中有放回地取球，每次随机取随机取1个个(1)求连续取两次都是红球的概率；求连续取两次都是红球的概率；(2)如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，求取球次数不超过直到取出黑球，求取球次数不超过3次的概率次的概率变式训练变式训练1有两枚大小相同、质地均匀的正四有两枚大小相同、质地均匀的正四面体玩具，每个玩具的各个面上分别写着数字面体玩具，每个玩具的各个面上分别写着数字1,2,3,5.同时投掷这两枚玩具一次，记同时投掷这两枚玩具一次，记m为两个为两个朝下的面上的数字之和朝下的面上的数字之和(1)求事件求事件“m不小于不小于6”的概率；的概率；(2)“m为奇数为奇数”的概率与的概率与“m为偶数为偶数”的概率是否的概率是否相等？并给出说明相等？并给出说明解：因为玩具的质地是均匀的，所以玩具各面解：因为玩具的质地是均匀的，所以玩具各面朝下的可能性相等，出现的可能情况有：朝下的可能性相等，出现的可能情况有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,5)，共，共16种种(1)事件事件“m不小于不小于6”包含包含(1,5)，(2,5)，(3,5)，(3,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,5)，共，共8个基本个基本事件，事件，相互独立事件、独立重复试验的概相互独立事件、独立重复试验的概率率例例2【归纳拓展归纳拓展】(1)求复杂事件的概率，要正确求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解公式求解(2)一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解，对于较少，则一般利用对立事件进行求解，对于“至至少少”，“至多至多”等问题往往用这种方法求解等问题往往用这种方法求解变式训练变式训练2甲袋中装有若干质地、大小相同的甲袋中装有若干质地、大小相同的黑球、白球，乙袋中装有若干个质地、大小相黑球、白球，乙袋中装有若干个质地、大小相同的黑球、红球某人有放回地从两袋中每次同的黑球、红球某人有放回地从两袋中每次取一球，甲袋中每取到一黑球得取一球，甲袋中每取到一黑球得2分，乙袋中每分，乙袋中每取到一黑球得取到一黑球得1分，取得其他球得零分，规定他分，取得其他球得零分，规定他最多取最多取3次，如果前两次得分之和超过次，如果前两次得分之和超过2分即停分即停止取球，否则取第三次取球方式：先在甲袋止取球，否则取第三次取球方式：先在甲袋中取一球，中取一球，以后均在乙袋中取球，此人在甲袋中取到一个以后均在乙袋中取球，此人在甲袋中取到一个黑球的概率为黑球的概率为q，在乙袋中取到一个黑球的概率，在乙袋中取到一个黑球的概率为为0.8，用，用表示他取球结束后的总分，已知表示他取球结束后的总分，已知P(1)0.24.(1)求求q的值；的值；(2)试比较此人选择每次都在乙袋中取球得分超试比较此人选择每次都在乙袋中取球得分超过过1分与选择上述方式取球得分超过分与选择上述方式取球得分超过1分的概率分的概率的大小的大小解：解：(1)依题意，得依题意，得(1q)0.80.2(1q)0.20.80.24，解之，得，解之，得q0.25.(2)设此人按题中方式取球结束后得设此人按题中方式取球结束后得n分的概率分的概率为为Pn.P20.25(10.8)(10.8)(10.25)0.80.80.49，P30.250.80.250.20.80.24.若用若用A表示事件表示事件“该人选择先在甲袋中取一球，该人选择先在甲袋中取一球，以后均在乙袋中取球得分超过以后均在乙袋中取球得分超过1分分”，用，用B表示事表示事件件“该人选择都在乙袋中取球，得分超过该人选择都在乙袋中取球，得分超过1分分”，则则P(A)P2P30.490.240.73，P(B)0.80.80.230.80.80.80.896.故故P(B)P(A)，即该人选择每次在乙袋中取球得，即该人选择每次在乙袋中取球得分超过分超过1分的概率大于该人选择先在甲袋中取一分的概率大于该人选择先在甲袋中取一球，以后均在乙袋中取球得分超过球，以后均在乙袋中取球得分超过1分的概率分的概率离散型随机变量及分布列离散型随机变量及分布列例例3A配方的频数分布表配方的频数分布表B配方的频数分布表配方的频数分布表从用从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为配方生产的产品中任取一件，其利润记为X(单位：元单位：元)，求，求X的分布列及数学期望的分布列及数学期望(以试以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率产品的质量指标值落入相应组的概率)X224P0.040.540.42X的数学期望的数学期望E(X)20.0420.5440.422.68.【归纳拓展归纳拓展】(1)求离散型随机变量的分布列求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率求出概率(2)求随机变量的均值和方差的关键是正确求出求随机变量的均值和方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布(或两点分布或两点分布)，则可直接使用公式求解，则可直接使用公式求解考题解答技法考题解答技法例例 (本题满分本题满分12分分)(2011年高考福建卷年高考福建卷)某产某产品按行业生产标准分成品按行业生产标准分成8个等级，等级系数个等级，等级系数X依依次为次为1,2，8，其中，其中X5为标准为标准A，X3为为标准标准B.已知甲厂执行标准已知甲厂执行标准A生产该产品，产品生产该产品，产品的零售价为的零售价为6元元/件；乙厂执行标准件；乙厂执行标准B生产该产生产该产品，产品的零售价为品，产品的零售价为4元元/件，假定甲、乙两厂件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准的产品都符合相应的执行标准(1)已知甲厂产品的等级系数已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如的概率分布列如下所示：下所示：且且X1的数学期望的数学期望E(X1)6，求，求a，b的值；的值；X15678P0.4ab0.1(2)为分析乙厂产品的等级系数为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产，从该厂生产的产品中随机抽取的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数视为概率，求等级系数X2的数学期望；的数学期望；(3)在在(1)、(2)的条件下，若以的条件下，若以“性价比性价比”为判断标准，为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由(2)由已知得，样本的频率分布表如下：由已知得，样本的频率分布表如下：5分分用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：的概率分布列如下：6分分X2345678f0.30.20.20.10.10.1X2345678P0.30.20.20.10.10.1【得分技巧得分技巧】第第(1)问中利用已知条件列出关问中利用已知条件列出关于于a，b的等式关系，第的等式关系，第(2)问中正确写出分布列，问中正确写出分布列，再求出再求出E(X2)的值，第的值，第(3)问利用题中公式求其性问利用题中公式求其性价比价比【失分溯源失分溯源】在解答本题时，常出现以下失在解答本题时，常出现以下失分的情况：分的情况：(1)未考虑分布列的性质，从而不能未考虑分布列的性质，从而不能列出方程组，也就无法求得列出方程组，也就无法求得a，b的值；的值；(2)在列在列频率分布表时，由于不仔细，个别数字出错，频率分布表时，由于不仔细，个别数字出错，导致无法得分导致无法得分变式训练变式训练某地区在一年内遭到暴雨袭击的次某地区在一年内遭到暴雨袭击的次数用数用表示，据统计，随机变量表示，据统计，随机变量的概率分布列的概率分布列如下：如下：(1)求求a的值和的值和的数学期望；的数学期望；(2)假设第一年和第二年该地区遭到暴雨袭击的假设第一年和第二年该地区遭到暴雨袭击的次数互不影响，求这两年内该地区共遭到暴雨次数互不影响，求这两年内该地区共遭到暴雨袭击袭击2次的概率次的概率0123P0.10.32aa解：解：(1)由概率分布列的性质，知由概率分布列的性质，知0.10.32aa1，解得，解得a0.2，的概率分布列为的概率分布列为E()00.110.320.430.21.7.0123P0.10.30.40.2本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束按按ESC键退出全屏播放键退出全屏播放
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