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第第2讲讲分类讨论思想、转化与化归思想分类讨论思想、转化与化归思想1分类讨论思想分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度 分类讨论的常见类型： (1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身就是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等 (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等 (3)由数学运算和字母参数变化引起分类；如偶次方根非负，对数的底数与真数的限制，方程(不等式)的运算与根的大小比较，含参数的取值不同会导致所得结果不同等 (4)由图形的不确定性引起的分类：有的图形的形状、位置关系需讨论，如二次函数图象的开口方向，点、线、面的位置关系，曲线系方程中的参数与曲线类型等 分类讨论思想，在近年高考试题中频繁出现，涉及各种题型，已成为高考的热点，考查的重点是含参数函数性质、不等式(方程)问题，与等比数列的前n项和有关的计算推理，点、线、面的位置以及直线与圆锥曲线的位置关系不定问题等2转化与化归思想化归与转化是指在处理问题时，把待解决或难解决的问题通过某种方式转化为一类已解决或比较容易解决的问题的一种思想方法，它是研究和解决数学问题的核心思想，化归与转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性在应用化归与转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式，它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换在实际解题过程中，实施化归与转化时，我们要遵循以下五项基本原则：(1)化繁为简的原则；(2)化生为熟的原则；(3)等价性原则；(4)正难则反原则；(5)形象具体化原则 历年高考中，化归与转化思想无处不在，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于提高解决数学问题的应变能力，提高思维能力和技能、技巧. 探究提高 (1)分段函数在自变量不同取值范围内，对应关系不同，必需进行讨论由数学定义引发的分类讨论一般由概念内涵所决定，解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的内涵与外延(2)在数学运算中，有时需对不同的情况作出解释，就需要进行讨论，如解二次不等式涉及到两根的大小等 探究提高 (1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论(2)涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论微题型3由定理、性质、公式等引起的分类讨论【例13】 已知等差数列an的前3项和为6，前8项和为4.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(4an)qn1(q0，nN*)，求数列bn的前n项和Sn. 探究提高 (1)利用等比数列的前n项和公式时，需要分公比q1和q1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n项和公式决定的一般地，在应用带有限制条件的公式时要小心，根据题目条件确定是否进行分类讨论 (2)由性质、定理、公式等引起的讨论，主要是应用的范围受限时，存在多种可能性微题型4由字母参数引起的分类讨论【例14】 已知函数f(x)ln xa2x2ax(aR)(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)若函数f(x)在区间(1，)上单调递减，求实数a的取值范围 探究提高一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确，不重不漏【训练1】 (2014洛阳统一考试)已知圆心为F1的圆的方程为(x2)2y232，F2(2,0)，C是圆F1上的动点，F2C的垂直平分线交F1C于M.(1)求动点M的轨迹方程；(2)设N(0,2)，过点P(1，2)作直线l，交M的轨迹于不同于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值 答案3 规律方法用特殊化法实现化归与转化是在解决问题过程中将某些一般问题进行特殊化处理的方法常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案；对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案微题型2换元转化问题【例22】 已知函数f(x)ax3bsin x4(a，bR)，f(lg(log210)5，则f(lg(lg 2)()A5B.1 C3D.4答案C 规律方法复杂的数学问题常用换元法实现化归与转化，运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，或者把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题微题型3常量与变量的转化【例23】 对于满足0p4的所有实数p，使不等式x2px4xp3成立的x的取值范围是_答案(，1)(3，) 探究提高在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的解析g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则g(x)0在(t,3)上恒成立，或g(x)0在(t,3)上恒成立 规律方法否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可，一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中 证明(1)连接A1B，设A1B与AB1交于E，连接DE. 点D是BC中点，点E是A1B中点， DEA1C， 又A1C 平面AB1D， DE平面AB1D， A1C平面AB1D. (2)ABC是正三角形，点D是BC的中点， ADBC. 平面ABC平面B1BCC1， 平面ABC平面B1BCC1BC，AD平面ABC， AD平面B1BCC1， BC1平面B1BCC1，ADBC1.1分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机确定分类的标准逐类进行讨论归纳综合结论检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集)做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论 常见的分类讨论问题有： (1)集合：注意集合中空集 的讨论 (2)函数：对数或指数函数中的底数a，一般应分a1和0a1的讨论；函数yax2bxc有时候分a0和a0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论 (3)数列：由Sn求an分n1和n1的讨论；等比数列中分公比q1和q1的讨论 (4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论 (5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论 (6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；平面解析几何：直线点斜式中k存在和不存在，直线截距式中b0和b0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论 (7)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等2常见的转化方法有(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径 (4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的 (5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题 (6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题 (7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径 (8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定 (9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决 (10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集UA获得原问题的解决，体现了正难则反的原则.
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