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专题一 函数与导数专题五 立体几何1高考考点(1)理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解四个公理和等角定理；(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定理解以下判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直理解以下性质定理，并能够证明如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行垂直于同一个平面的两条直线平行如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直(3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题2易错易漏(1)使用平行与垂直的判定定理时，忽视定理中的限制条件如“在平面外”、“相交直线”等；(2)书写不规范；(3)不会添加辅助面解题3归纳总结平行关系与垂直关系是立体几何中的重要位置关系，高考始终把线面平行与垂直、面面平行与垂直的判断作为考查重点，常以棱柱、棱锥为背景考查平行与垂直关系1. (2011 青岛质检)设a，b为两条不重合的直线，a，b为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是()A若a，b与a所成角相等，则abB若aa，bb，ab，则abC若aa，bb，ab，则abD若aa，bb，ab，则ab【解析】 A不正确，a，b可以平行、相交、异面；B不正确，a，b可以平行、异面；C不正确，a，b可以平行、相交；D正确答案： D2. (2011 漳州质检)下面给出四个命题：已知直线a，b，c，若ab，bc，则ac；a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c不一定是异面直线；过空间任一点，有且仅有一条直线和已知平面a垂直；平面a平面b，点Pa，直线PQb，则PQa；其中正确的命题的个数是()A0 B1 C2 D3【解析】不正确，a，c可以平行、相交、异面；正确答案： D3. 已知a，b表示两个不同的平面，m为平面a内的一条直线，则“ab”是“mb”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】由平面与平面垂直的判定定理知，如果m为平面a内的一条直线，mb，则ab，反过来则不一定成立，所以“ab”是“mb”的必要不充分条件1111111CD /BAEBAA BEEB= 2A E=1A B= 5cosA3 101BE=.0【解析】利用平移，得，因此，求出中即可易知，故由余弦定理求得或由向量法可求 4. 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为_11111111111331232231sin/3.2.6202BBDACDDCBDACC ADACBC DBCACC ABDABBCBC DBC DC D【解析】 如图，作于 ，连接，则平面，且 为的中点，所以就是直线与侧面所成的角因为，所以因为 ，所以111111 ABCA B C21BCACC A_._5在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为 ，则与侧面所成的角是/1. 2.4/ ./()/./ /aaaa baa ba bbabaaaa ba baabaaa babaa baaab直线与直线平行的证明方法：利用平面几何知识；利用公理 ；利用直线与平面平行的证明方法：定义 无；公共点；/3. 4. ,/ ./ababa baaaaaaaa bba aa ba bb babb； 利用平面几何知识平面与平面平行的证明方法：直线与直线垂直的证明方法：；,5. 6. /.abaclaabcAab cala babaaaabababaaaaabb直线与平面垂直的证明方法：平面与平面垂直的证明方法；利用定义；：题型一 空间中的平行于垂直问题【分析】该题比较容易建立空间直角坐标系，所以，用向量法解题较好【例1】如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=a.求证：(1)MN平面PAD；(2)平面PMC平面PCD.【证明】证法1：(1)如图所示，设PD的中点为E，连接AE、NE，由N为PC的中点，知EN DC,又四边形ABCD是矩形，所以DC AB，所以EN AB，又M是AB的中点，所以AMNE是平行四边形，所以MNAE.而AE平面PAD，MN 平面PAD，所以MN平面PAD.1212(2) 因为PA=AD，所以AEPD.又因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以CDPA.而CDAD，所以CD平面PAD，所以CDAE.因为PDCD=D，所以AE平面PCD.因为MNAE，所以MN平面PCD.又MN平面PMC，所以平面PMC平面PCD. (0,0)(0,0)1111,0,0(,0)(,0,0)()222211(0)(0,0)(0,10)221122ABADAPxyzPaDaABbB bC baMbNbaaMNaaADaaMNADAPMN AD 分别以、所在直线为 轴、 轴、 轴如图建立空间直角坐标系，则， ，设，则， ，所以证法2：， ，又， ，所以，所以，/.APMNADPMNADP ， 共面又平面，所以平面 ,0,0(0- )00(.2).DCABbPDaaMN DCMN PDMNDC MNPDMNDCMNPDDCPDDMNPCDMNPMCPMCPCD 因为， ，所以，所以，即，又，所以平面因为平面，所以平面平面【点评】(1)在证明直线与平面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行；在证明平面与平面垂直时，关键是在一个平面内找一条直线与另一个平面垂直(2)用向量法证明立体几何问题时，相对于传统推理证明方法，具有程序化特点，思维量小，计算量相对较大，所以合理地建立坐标系是关键题型二 空间中的推理计算问题 11111111111(2024.51163)12ABCABCAAABCABACAAACBABCA ABBACPPCABCPC例2】南平如图，三棱柱中，侧棱底面，求证：平面平面；在线段上是否存在一点 ，使与平面所成的角的正弦值为 ？如果存在，求出点与 点的距离；如果不存在，请质【检说明理由【分析】证明平面与平面垂直，主要是先证明直线与平面垂直；比较容易建立空间直角坐标系的问题，用空间向量解题比较好 111111111sin190.1.ABCAC sin ACBABCABABCAABCA ABBBCA AABCA ABCA AABABCA ABBBCBCBA证明：中，由正弦定理得，所以，即，因为平面，所以，又，所【解析】所以平面平以平面因为平面，面 1111113(01,0)( 30,0)0,3,0(01,4)0,3,4(04,4)(044 )(0,444 )2ABCBBOACOOBOOBxOCyABCACCACPCAPCCCCP 在平面内，过 点作，垂足为 ，则，以 为原点，所在直线为 轴，所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，则，设， ，则，1111221()03304400131( 31,1)|43|cos|5|51644124.822333.3ABCxyzBCxyyzACyxzPCPCPCPC 设平面的法向量为， ， ，由，即，令得，所以， ， ，所以或则 点与 点的距离为或nnnnnnn【点评】要证明平面A1BC平面A1ABB1，应先证明直线BC垂直于平面A1ABB1；直线与平面所成的角不容易找出，可考虑建立空间直角坐标系，再用空间向量来解决题型三 空间中的推理探索问题【分析】此题比较容易建立空间直角坐标系，所以可用向量法解决此题【例3】四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1底面 A B C D ， 且 底 面 A B C D 是 直 角 梯 形 ，BAD=ADC=90，AB=2AD=2CD=2.(1)求证：AC平面BB1C1C；(2)在A1B1上是否存在一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论【解析】解法1：(1)证明：四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1平面ABCD，所以BB1AC.又因为BAD=ADC=90，AB=2AD=2CD=2，所以AC= ，CAB=45，所以BC= ，所以BCAC.又BB1BC=B，BB1，BC平面BB1C1C，所以AC平面BB1C1C.22(2) 存在点P，P为A1B1的中点证明：由P为A1B1的中点，有PB1AB，且PB1= AB.又因为DCAB，DC= AB，所以DCPB1，且DC=PB1，所以四边形DCB1P为平行四边形，从而CB1DP.又CB1平面ACB1，DP 平面ACB1，所以DP平面ACB1.而同时CB1平面BCB1，DP 平面BCB1，所以DP平面BCB1.1212 1111111-0,0,00,2,01,1,01,0,0(0,0)(0,2)(1,1)(1,0)11,1,0(1 -1,0)(0,0)21AADABAAxyzO xyzABCDAAaAaBaCaDaACBCBBaAC BC 【解析】以 为坐标原点，、所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立坐标系，如图所示则，解法，设，则， ， ， ， 因为，：，所以 111111-1000000.AC BBACBC ACBBACBCACBBBCBBBACBBCC ，所以，即，又因为，所以平面 111111111(0)10.(-1)1,1,01.(-1,1)(-1,1/.2)/(PbaDPBCBACBACBBCCACBBCCDPACDP ACDPba ACbCBa DPaDP CBCB 设存在点， ， ，使得与平面、平面都平行由知平面，即为平面的法向量，所以，所以因为， ， ，所以又， ， ，所以而1111111/.ACBDPACBDPACBPABDPBCBACB平面，平面，所以平面所以存在点 即为的中点，使得与平面、平面都平行【点评】解存在性问题主要方法有两种：其一，找出符合题意的，再证明之；其二，假设存在，再根据条件求出符合题意的结论
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