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考纲要求高考展望掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题解三角形可以看成是三角恒等变换的延续和应用，用到三角恒等变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用由于近年高考命题强调以能力立意，加强对知识综合性和应用性的考查，故三角形问题常常与其他数学知识相联系，既考查解三角形的知识与方法，又考查运用三角公式进行恒等变换的技能及三角函数的应用意识预计2012年的高考，一是在小题里考查三角形内的数值关系问题，二是以解答题形式考查三角形中正、余弦定理和三角恒等变形、向量等知识的综合运用，三是利用解三角形解决测量长度、高度、角度等实际问题.11.sin 62A.BCDABCAA在中，是的充分而不必要条件 .必要而不充分条件.充分必要条件 .既不充分也不必要条件B15sin26B6.AA析，解：故选A60 .200,sin60sin45sin200 6m60sin345ACBABACCACA由题意得由正弦定理析解得得：即解2.7545200 m 200 6A.m B 100 6m3100 6C.m D 200 2m3ABCCABCBAABAC 如图,某河段的两岸可视为平行,在河段的一岸边选取两点 、 ,观察对岸的点 ,测得,，且.则 、 两点间的距离为3.35 7 .ABCabc中,三边 、 、 之比为 ,则这个三角形的最大的角为120222222357cos22 31120120 .25ababCcC 解析：，所以，即大角为为最因224. .ABCabcABCabcacbcacA 在中， 、 、 分别是、的对边已知 、 、 成等比数列，且，则的大小为222222 .1cos222602.abcbacbcaaccabcAcbcbcAb因为 、 、 成等比数列，所以因，所以为解析：605.B. .sinsincoscossinsincoscos .ABCABCAABABABAB 锐角三角形的内角分别是 、 、 ，并且下面三个不等式中恒成立的是； sinsincos0coscos22sinsin()sincos .2sincosABabAByxABABABCABABABABBA，故成立；函数在区间 ,上是减函数因为，所以，故成立；在锐角三角形中,则有，所以解析，即同理，：故成立三角形解的个数的判定 182444()A. B. C. D.1: ABCabA在中，若，则此三角形解的情况为 无解两解一解例不能确定2 sinsin44sin4524212 2824nB1sibAbbbAab 因为，所以，所以此三角形有两解解析：答案： ()ABCabaA AABC反思小在中，已知两边 、 和其中一边 的对角为锐角，则的解的结：情况如下：sinsinsinabAabAbAabab无解一解两解 一解.8010045 A.B.C.D.ABCABCabcabA在中，角 、 、 所对的边分别为、 、 若，拓展练习1：，则此三角形解的情况为无解一解两解一解或无解 sin100 sin4550 280100siCn.bAbAab 因为，所以，则此三角形有两解解，析：故选正弦定理与余弦定理 53 sin2sin .12sin(2)24ABCabcABCabCAcA在中, 、 、 分别是、的对边,求 的值； 求例 ：的值 2222 5 1sinsinsin2sin220952 5cos252 3 2 5.caABCCAacCaAABCcbaAbc 在中，根据正弦定理得，于是在中，根据余弦析定理得解：，22245sin1 cos15552 54sin22sin cos2.555413cos2cossin555sin(2)sin2 coscos2 sin44442325225.120AAAAAAAAAAA于是，从而因为，所以解三角形时,找三边一角之间的关系,常用余弦定理，两边两角之间的关系常用正反思小结：弦定理 342cos.41sin2ABCa b cA B CaCAABb在中, , , 分别是内角 , , 的对边,拓展练习且,求； 求2：的长 2231cos2431coscos22cos12 ( )1.4873 7sinsin48ABCACACAAAC 解析： 在中，因为，所以从而， 5 7.1sinsinsincoscossin7133 748482sinsin5 74sin65.16sin74BACACACabABaBbA所以由正弦定理可得，所以判断三角形的形状cossin3abcABCABCacBbcAABC已知 、 、 分别是的三个内角 、 、所对的边.若,且例 ：,试判断的形状222222290 .RtsinacbacabcacaaCABCAbcaccABC由余弦定理得，整理得，所以在解中析：所以是等腰直角，所以，三角形 “”“”判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形要特别注意 等腰直角三角形 与 等腰三角形或直角三角形的区别依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两反思小结：条途径： 12ABC利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状此时要注意应用这个结论，并优先考查最大角在这两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解2222sinsinABCabA BabA BABC在中,若,请拓展练习3：判断的形状22222222sin()sin()sincossincossinsincossinsin2sin2cossin2222.2abABabABaABAbABBBAABAABABABBABACB依题意得，则，即，所以解析：所以为等腰三角形或，则有或，即或直角三角形正弦定理余弦定理面积公式的灵活应用 3 sincos2.1sin243ABCACAAAABCSBC在中,已知,求的值； 若的面积，求例 ：的值 1sincos2sin()245sin()1.0444442.4AAAAAAAA由,得由此及,即,故,得解析： 22213 22sin32 2.242cos2982 3 2 25.52SAC ABAABABBCACABABCABAC 由，得由此及余故弦定理得， 本题将三角恒等变换、求值与解三角形综合一起考查，这是近几年高考的一种命题趋势，注意综合运用应用正弦定理进行边角互化，利用三角公式进行角的统一，达到化简的目的在解三角形中，利用正、余弦定理进行边角转化是解题的基本方法在三角函数的化简、求值中，常要重视角的统一，函数的统一，降次思想反思小结：的应用 24cos.51sincos22223ABCABCabcABCAbABCSa拓展在中,角 、 、 所对的边分别是 、 ，且求的值；若,的面积,练习4求：的值 221 cos()1 sincos2cos2221 cos2cos15952.0BCBCAAAA 解析： 2222432cossin.55113sin325.2252cos4425213.25135ABCAASbcAccaabcbcAa因为，所以由，得，解得所以由余弦定理，可得, 112 sin2 sin2 sinsinsinsin222sinsinsin.aRAbRBcRCabcABCRRRab cABC正弦定理：变形公式：化边为角：，；化角为边：，； 2 基本题型：已知一边两角，解三角形：先由内角和定理求第三角，再用正弦定理，有解时只有一解已知两边和其中一边的对角，解三角形：先由正弦定理求另一边的对角，再由内角和定理与正弦定理求其余的边与角在已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解 212222222sinsincoscostantansincoscossin2222tantantantantantancoscos3ABCABCCABCABCABABCABCABCABCABCABCABCABCABCbaCcA .三角形内角和定理：在中，三角形中的基本关系：在中：，；，；在中，在sinsinABCABAB中， 222222222312.CabcCabcCabc.余弦定理基本题型：已知三边，解三角形：由余弦定理和内角和定理求角，在有解时只有一解已知两边及夹角，解三角形：先由余弦定理求第三边，再由正弦定理与内角和定理求角，有一解余弦定理是勾股定理的推广:判断 为锐角， 为直角， 为钝角 41sinsinsincos.222ABCABCABCABC.特别提醒： 求解三角形中的问题时,一定要注意这个特殊性：,，求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化1.sinsinsin5 11 13()ABCD(2010)ABCABCABC若的三个内角满足 ，则.一定是锐角三角形.一定是直角三角形.一定是钝角三角形.可能是锐角三角形,也可能是钝上海卷角三角形222sinsinsin5111351113.51113cos02 5 11 CABCa b cCC 由及正弦定理得由余弦定理得 ,所以角 为钝解析角.：答案：2.120()A.B.C.D).(2010ABCABCabcCcaabababab在中，角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， 若，则 与 的大小关系湖南卷不能确定22222222120212cos22()2.0A00.CcacababCaabababababababababababab因为，所以，即，所以，所以因为，所以，所以解析：答案：23.133_(2010)_.ABCbcCa在中,若,则北京卷222231sinsinsin120sin12sin.26362cos31 32 31.12 1cbCBBBBCAabcbcAaa 由正弦定理得，得，化简得，所以又,所以由余弦定理，得,所析：以解答案：本节内容的高考试题主要考查运用正、余弦定理解三角形的能力注意数形结合，合理选择正、余选题感悟：弦定理
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