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考纲要求高考展望掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题解三角形可以看成是三角恒等变换的延续和应用，用到三角恒等变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用由于近年高考命题强调以能力立意，加强对知识综合性和应用性的考查，故三角形问题常常与其他数学知识相联系，既考查解三角形的知识与方法，又考查运用三角公式进行恒等变换的技能及三角函数的应用意识预计2012年的高考，一是在小题里考查三角形内的数值关系问题，二是以解答题形式考查三角形中正、余弦定理和三角恒等变形、向量等知识的综合运用，三是利用解三角形解决测量长度、高度、角度等实际问题.2221. A 60B 45135C 120D 30ABCacbabC在中，若，则角 为 或A2221cos26.220abcabCabaCbC由余弦定理得，又角解析：所以是三角形的内角，2.86075 32A. 4 2B. 4 3C. 4 6D.3ABCaBCb 在中，则 等于C607545 .sinsin8sin604.sin45BCAbaBAb 解析：由，得由正弦定理得，则22223.sinsin2cos cos ABCDABCbCcBbcBCABC在中，若，则是锐角三角形直角三角形钝角三角形等边三角形B22222224sinsin4sinsin8sinsincoscos .sinsin0sinsincoscoscos0.022RCBRCBRBCBCBCBCBCBCBCBCAABC由正弦定理得因为，所以，即因为 ，所以，故，即为直角解析：三角形14.3cos2.ABCaAABC 在中，若，则的外接圆的半径是1 cos23sin.32.22.AAABCAABCRaRsinAR 因为，且 是的内角，所以设的外接圆的半径为由正弦定理，得，所以半径解为析：335.232 .ABCbcA 已知的面积为 ，且，则1 sin23132 3 sinsin.222.60120ABCSbcAAAAAABC因为，所以，所以又角解析：或是的内角，所以60120或三角形解的个数的判定 182444()A.:BD.1.C.ABCabA在中，若，则此三角形解的情况为 无解两解一解例题不能确定2 sinsin44sin4524212 2824nB1sibAbbbAab 因为，所以，所以此三角形有两解解析：答案： ()ABCabaA AABC反思小在中，已知两边 、 和其中一边 的对角为锐角，则的解的结：情况如下：sinsinsinabAabAbAabab无解一解两解 一解.8010045 A.B.C.D.ABCABCabcabA在中，角 、 、 所对的边分别为、 、 若，拓展练习：，则此三角形解的情况为无解一解两解一解或无解 sin100 sin4550 280100siCn.bAbAab 因为，所以，则此三角形有两解解，析：故选正弦定理与余弦定理 2 sin .13 32722ABCabcABCacACcABCab在锐角中， 、 、 分别为角 、 、 所对的边，且确定角 的大小；若，且的面积为，求例题 ：的值 2 132 sin.sin33sin0.3sin.2asinAsinAacAcCACABCC由及正弦定理，得因为，所以因为是锐角三角形，所以解析： 22222227313 3sin6.2322cos737.3.12. 575abcCababababababababab因为，故由面积公式得，即由余弦定理得，即由变形得将代入故方得，法 ：222242221.7136613360549.0023322.abababababbaaaaabaabbab前同方法联立得，消去 并整理得，解得或又，所以或，故方法 ：()()解三角形时，正弦定理可用于解决角角边、角边角、边边角 这种情况要讨论解的情况 ；余弦定理多用于解决边角边、边边边、边边角 建立方程求解 并注意在三角形中，已知余弦值则角唯一确定，而已知正弦值时角未能唯反思小结：一确定 22 3202cos1.12ABCBCaACbabxxABCAB拓展练习：在中， 、 是方程的两个根，且求：角 的大小；的长度 2222222221coscos1cos.22 3222cos2cos120(2 3)21201010.CABABababABACBCAC BCCabaCAbababababB 因为，所以由题设知，所以，所以解析：判断三角形的形状2 cos()AB3CDABCabcABCabC在中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边若，则此三角形一定是 等腰直角三角形直角三角例题形等腰三角形等腰或直：角三角形222222222222 sin2 2 sincos .sin2sin cossin coscos sin0sin0.C.0.12abcababaabcbcABCRARBCABCBCBCBCBCBCBCABCBCBCBC由余弦定理得，则，即，所以为等腰三角形，由正弦定理将原式化为由，有，展开得解，即因为 、 为三角形的内角，则，方法 ：所以，即析：方法 ：选ABC为等腰故可得三角形 “”“”判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形要特别注意 等腰直角三角形 与 等腰三角形或直角三角形的区别依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两反思小结：条途径： 12ABC利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状此时要注意应用这个结论，并优先考查最大角在这两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解sinsinsin3 4 30 ABCDABCABCABC在中，若 ，则是锐角三角形直角三角形钝角三角形等拓展练习：边三角形C2222 sin2 sin2 sin3 430.3430cos02RA RB RCa b ccatbtctabcCabABC由正弦定理得 ，易得最大边为设，则，故为钝角解析：三角形正弦定理余弦定理面积公式的灵活应用 2.74sincos257.2212ABCA B Ca b cA BCa bcCABC 例题4 在中，角 、 、 的对边分别为 、已知，求角 的大小；求：的面积 2222118074sincos22274coscos2221 cos742cos12214cos4cos10cos.201860 .0ABCABCCCCCCCCCC 因为，故由，得，所以，整理，得，解得，所以解为：因析 22222222cos7732536.31sin2113sin36.22232ABCcababCababababababCSabC由余弦定理得，即，所以，得又由知，所以 本题将三角恒等变换、求值与解三角形综合一起考查，这是近几年高考的一种命题趋势，注意综合运用应用正弦定理进行边角互化，利用三角公式进行角的统一，达到化简的目的在解三角形中，利用正、余弦定理进行边角转化是解题的基本方法在三角函数的化简、求值中，常要重视角的统一，函数的统一，降次思想反思小结：的应用 .16 3ABCABCabcABCbAxacf xxf x 在中，角 、 、 所对的边分别是、 、 若 、 、 成等差数拓展练习列，记角，当， 时，求：的取值范围2.2.331sinsinsin11sinsinsinsin33ABCBACABCABCBACabcABCbABCacAC由 、 、 成等差数列，得因为在中，于是解得，从而因为在中，所以解析： 2 32sinsin()332 322(sinsincoscossin)3333sincos2sin()62sin()6326333 262AAAAAAAAf xxxxf xf x，即由，得，于是，即的取值范围为， 112 sin2 sin2 sinsinsinsin222sinsinsin.aRAbRBcRCabcABCRRRab cABC正弦定理：变形公式：化边为角：，；化角为边：，； 2 基本题型：已知一边两角，解三角形：先由内角和定理求第三角，再用正弦定理，有解时只有一解已知两边和其中一边的对角，解三角形：先由正弦定理求另一边的对角，再由内角和定理与正弦定理求其余的边与角在已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解22.111sinsinsin2222sin sin sin.43222222SabCbcAcaBabcSRABCRABCABCCABCABCAB三角形面积公式：；.三角形内角和定理：在中， 41sinsincoscostantan2 sincoscossin2222tantantantantantan3coscossinsinABCABCABCABCABCABCABCABCABCbaCcAABCABAB .三角形中的基本关系：在中：，；，；在中,，在中,， 2222222225cos21cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab余弦定理：变形： 2 基本题型：已知三边，解三角形：由余弦定理和内角和定理求角，在有解时只有一解已知两边及夹角，解三角形：先由余弦定理求第三边，再由正弦定理与内角和定理求角，有一解已知两边和其中一边的对角，可建立方程求解，并注意到在三角形中，已知余弦值则角唯一确定，所以这种方法可避免讨论 2222222223.61sinsinsincos.222CabcCabcCabcABCABCABCABC余弦定理是勾股定理的推广：判断 为锐角， 为直角，为钝角特别提醒： 求解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性：，求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化1.1()A 2sin2cos2 B sincos3 C 3sinc(2010)os1D 2sincos1某班设计了一个八边形的班徽，如图所示，它由腰长为 ，顶角为 的四个等腰三角形及其底边构成的正方形所组成该八边形的面积为 .北京卷22141 1 sin2sin .2112 1 1 cos22cos22cos .2sin2 oA c s2. 四个等腰三角形的面积之和为由余弦定理可得正方形的边长为，故正方形的面积为所以所求八边形的面积为解析：答案：1.32135 .2_().2010ABCDBCBCBDADADBACABBD在中， 为边上一点，若，则全国新课标卷12222222222 .222cos13524222 2cos 4522212025.25.25ABxBDyDCyACxxyyxyyxyyxyyyyBD设，则，由余弦定理得即解析：答由故案：，解得(2010)2.120()A.B.C.D.ABCABCabcCcaabababab在中，角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， 若，则 与 的大小关系湖南卷不能确定A22222222120212cos22()2.0A00.CcacababCaabababababababababababab因为，所以，即，所以，所以因为，所以，所以解析：答案：本节内容的高考试题主要考查运用正、余弦定理解三角形的能力.注意数形结合,合理选择正、余选题感悟：弦定理
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