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专题八自选模块第1讲导数及其应用热点透析热点透析思想方法思想方法热点透析 突典例 熟规律热点一 导数的几何意义及运算【例1】 (1)(2014高考广东卷)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为.解析解析: : (1)(1)由题意知点由题意知点(0,3)(0,3)是切点是切点.y=-5e.y=-5e-5x-5x, ,令令x=0,x=0,得所求切得所求切线斜率为线斜率为-5.-5.从而所求方程为从而所求方程为5x+y-3=0.5x+y-3=0.答案答案: : (1)5x+y-3=0 (1)5x+y-3=0(2)1(2)1技巧方法技巧方法 (1)(1)曲线曲线y=y=f(xf(x) )在点在点x=xx=x0 0处的导数处的导数f(xf(x0 0) )的几何意义的几何意义是曲线是曲线y=y=f(xf(x) )在点在点P(xP(x0 0,f(x,f(x0 0)处的切线的斜率处的切线的斜率, ,即即k=f(xk=f(x0 0).).因因此此, ,当当f(xf(x0 0) )存在时存在时, ,曲线曲线y=y=f(xf(x) )在点在点P(xP(x0 0,f(x,f(x0 0)处的切线方程处的切线方程为为y-f(xy-f(x0 0)=f(x)=f(x0 0)(x-x)(x-x0 0).).(2)(2)过过P P点的切线方程的切点坐标的求解步骤点的切线方程的切点坐标的求解步骤: :设出切点坐设出切点坐标标; ;表示出切线方程表示出切线方程; ;已知点已知点P P在切线上在切线上, ,代入求得切点坐标代入求得切点坐标的横坐标的横坐标, ,从而求得切点坐标从而求得切点坐标. .热点训练1:(1)(2014高考新课标全国卷)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a等于()(A)0(B)1(C)2(D)3(2)已知函数f(x)的导函数为f(x),且满足f(x)=2xf(1)+ln x,则f(1)等于()(A)-e (B)-1 (C)1(D)e热点二 利用导数研究函数的单调性【例2】 已知函数f(x)=(x2-ax)ex(xR),a为实数.(1)当a=0时,求函数f(x)的单调增区间;(2)若f(x)在闭区间-1,1上为减函数,求a的取值范围.解解: : (1)(1)当当a=0a=0时时, ,f(xf(x)=x)=x2 2e ex x, ,f(x)=2xef(x)=2xex x+x+x2 2e ex x=(x=(x2 2+2x)e+2x)ex x, ,由由f(x)0f(x)0 x0 x0或或x-2, x0()0(或或f(xf(x)0);)0);根据的结果确定函数根据的结果确定函数f(xf(x) )的单调的单调区间区间. .(2)(2)已知已知f(xf(x) )在区间在区间( (a,ba,b) )上的单调性上的单调性, ,求参数的范围问题一般有求参数的范围问题一般有两种处理方法两种处理方法: :利用集合的包含关系处理利用集合的包含关系处理. .f(xf(x) )在区间在区间( (a,ba,b) )上上单调单调, ,则区间则区间( (a,ba,b) )是相应单调区间的子集是相应单调区间的子集. .利用不等式的恒成利用不等式的恒成立处理立处理. .f(xf(x) )在区间在区间( (a,ba,b) )上单调上单调, ,则则f(x)0f(x)0或或f(x)0f(x)0在区在区间间( (a,ba,b) )内恒成立内恒成立, ,不要忽略等号不要忽略等号. .(3)(3)注意转化思想的应用注意转化思想的应用. .答案答案: :2 2(1)求直线l的方程及g(x)的解析式;(2)若h(x)=f(x)-g(x),(其中g(x)是g(x)的导函数),求函数h(x)的极大值.解解: : (1)(1)直线直线l l是函数是函数f(xf(x)=)=lnln x x在点在点(1,0)(1,0)处的切线处的切线, ,故其斜率故其斜率k=f(1)=1,k=f(1)=1,直线的方程为直线的方程为y=x-1.y=x-1.又又直线与直线与g(xg(x) )的图象相切的图象相切, ,且切于点且切于点(1,0),(1,0),技巧方法技巧方法 求函数极值与最值时求函数极值与最值时, ,要先求导函数要先求导函数, ,并对导函数的并对导函数的解析式分解因式解析式分解因式, ,从而列出导函数在各区间上的正、负取值表从而列出导函数在各区间上的正、负取值表格格, ,进而得出单调区间和极值甚至最值进而得出单调区间和极值甚至最值. .热点训练3:(2012高考重庆卷)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数y=(1-x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()(A)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)(B)函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)(C)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)(D)函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)解析解析: :由图象可知当由图象可知当x-2x0,1-x0,y=(1-x)f(x)0,y=(1-x)f(x)0,所以此时所以此时f(xf(x)0,)0,函数函数f(xf(x) )递增递增. .当当-2x1-2x0,y=(1-x)f(x)0,y=(1-x)f(x)0,所以此时所以此时f(xf(x)0,)0,函数函数f(xf(x) )递减递减, ,则则x=-2x=-2为极大值点为极大值点. .当当1x21x2时时,1-x0,1-x0,所以此时所以此时f(xf(x)0,)2x2时时,1-x0,y=(1-x)f(x)0,1-x0,y=(1-x)f(x)0,)0,函数函数f(xf(x) )递增递增, ,则则x=2x=2为极小值点为极小值点. .所以函数所以函数f(xf(x) )有极大值有极大值f(-2),f(-2),极小值极小值f(2),f(2),故选故选D.D.热点四 导数的综合应用【例4】 (2013长春市第一次调研)已知函数f(x)=ex(ax2-2x-2),aR且a0.(1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2)处的切线垂直于y轴,求实数a的值;(2)当a0时,求函数f(|sin x|)的最小值;(3)在(1)的条件下,若y=kx与y=f(x)的图象存在三个交点,求k的取值范围.技巧方法技巧方法 (1)(1)利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程根的个数问题的一般思路根的个数问题的一般思路: :将问题转化为函数零点的个数问题将问题转化为函数零点的个数问题, ,进而转化为函数图象交点进而转化为函数图象交点的个数问题的个数问题; ;利用导数研究该函数在给定区间上的单调性、极值利用导数研究该函数在给定区间上的单调性、极值( (最值最值) )、端、端点值等性质点值等性质; ;画出函数的大致图象画出函数的大致图象; ;结合图象求解结合图象求解. .(2)(2)不等式恒成立问题不等式恒成立问题, ,可以用分离参数法求解可以用分离参数法求解, ,也可用分类讨论也可用分类讨论法求解法求解. .af(xaf(x) )恒成立恒成立af(x)af(x)minmin;af(x;af(x) )恒成立恒成立af(x)af(x)maxmax. .热点训练4:(2013浙江杭州西湖高中高三考前模拟)已知f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-3.(1)已知函数h(x)=g(x)+ax3的一个极值点为1,求a的取值;(2)求函数f(x)在t,t+2(t0)上的最小值;(3)对一切x(0,+),2f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围.(1)求函数g(x)的单调增区间;(2)若函数f(x)在(1,+)上是减函数,求实数a的最小值;(3)若存在x1,x2e,e2,使f(x1)f(x2)+a成立,求实数a的取值范围.方法点睛方法点睛 (1)(1)存在存在x x1 1、x x2 2使使f(xf(x1 1)g(x)g(x2 2) )成立成立f(x)f(x)minming(x)g(x)maxmax; ;(2)(2)对任意对任意x x1 1、x x2 2, ,使使f(xf(x1 1)g(x)g(x2 2) )恒成立恒成立f(x)f(x)maxmaxg(x)g(x)minmin, ,注意注意它们的区别它们的区别. .【备选例题】【例1】 (2013湖州市质检)已知函数f(x)=x|x-a|-ln x,aR.(1)若a=2,求函数f(x)在区间1,e上的最值;(2)若f(x)0恒成立,求a的取值范围.(注:e是自然对数的底数,约等于2.71828)所以函数所以函数f(xf(x) )在区间在区间1,21,2上单调递减上单调递减, ,所以所以f(xf(x) )在区间在区间1,21,2上有最小值上有最小值f(2)=-f(2)=-lnln 2, 2,又因为又因为f(1)=1,f(1)=1,f(ef(e)=e(e-2)-1,)=e(e-2)-1,而而e(e-2)-11,e(e-2)-11,所以所以f(xf(x) )在区间在区间1,e1,e上有最大值上有最大值f(1)=1.f(1)=1.即即f(xf(x) )在在1,e1,e上的最小值为上的最小值为- -lnln 2, 2,最大值为最大值为1.1.
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