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1理解取有限个体的离散型随机变量及其分布列的概念，会求简单的离散型随机变量的分布列2理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题 0.915 A1.5 B 1.35C 13.5 1. D 15有一批豌豆种子，如果每一粒发芽的概率为，播下粒种子，则种子发芽的粒数的均值为 15,0.9150.913.5.C.XXBEX 设种子发芽的粒数为 ，则 ，因此解故选析： 1EXnpp有关二项分布的期望与方差公式记忆错误，误认为易错点： 12A. B.334C. D 192.ABCAE两封信随机投入 、 、三个空邮箱， 邮箱中的信件数为 ，则211222220,1,2244P0P1393911P2394412012.993B9C CE解依题设， 的可能取值为，且，因此，故选析 1,2,3.的可能取值错误地判定为易错点：3.X已知 的分布列为X-101P0.50.30.2DX A 0.7 B 0.61 C -0.3 D 0.2则等于 222E1 0.500.31 0.20.310.30.500.30.3 10.30.0.61.2XDX 解，：01 . .4XEXDXab已知离散型随机变量的分布列如下表若，则，112X-1012Pabc222211.01211101c200.126110001012201.6351.124a + b + cEXab- a + c +DXabca + cab 依题设，由，得，即又，则，即解得，解析： _1_2_1_.3XYabab如果随机试验的结果可以用一个变量表示，那么这样的变量叫做，随机变量常用字母， ，等表示叫做离散型随机变量如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做若 是随随机变量，其中 、 是常数，则也是机变量的概念随机变量 12i1().(1,2)_2_niiixxxxx inPxp概率分布列 分布列 ：设离散型随机变量 可能取的值为 ， ， ， ，取每一个离散型随机变量的值，的概率，则表称为，概率分布列简称 的分布列x1x2xixnPp1p2pipn 2C0,1,2_()kkn-knpnkPkpqknq = 1 - pB npnpp二项分布：如果一次试验中某事件发生的概率是 ，那么在 次独立重复试验中这个事件恰好发生 次的概率是，其中， ， ，我们称这样的随机变量 服从，记作 ，其中 ， 为参数，并称 为成功概率 3_1XpP x两点分布：若随机变量的分布列是像这样的分布列称为两点分布列如果随机变量的分布列为，就称 服从两点分布，且称为成功概率X01P1-pp *4CCP0,1,2Cminv. .knkMNMnNMNnkkkmmMnnNMNnM N超几何分布：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为， ，其中，且， ，称分布列为如果随机变量 的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布00CCnMNMnNC11C CCnMNMnNCCCmnmMNMnN01m1122_._34iinnEx px px px p 若离散型随机变量 的分布列为：则称为离散型离散型随机变量的分布列的性质离散型随机变随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平量的均值均水平x1x2xixnPp1p2pipn2211222n5xE_.()nDxEpxEpp 离散型随机变量的方差称为随机变量 的方差，其算术平方根为随机变量 的，记作离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量取值相对于均值的平均波动大小 即 取值的稳定性 1_ ()2_()3_4()_.5_6_.E ccE ababcabD ababDB npEED，、 、 为常数 ；设 、 为常数，则、 为常数 ；若 服从二项分布，即 ，则若 服从两点分布，则，性质12220(1,2,3)1b11niiiPiPa EaDEEnpnppppp随机变量；所有取值可以一一列出的随机变量；连续型随机变量；随机变量 的概率分布列；二项分布；两点分布列；超几何分布列；， ，；随机变量 的均值或数学期望；标准差； ；【要点指南】 200101,2,3,412111.nnnab EDa b袋中有 个大小相同的球，其中记上 号的有 个，记上 号的有 个现从袋中任取一球，表示所取球的标号求 的分布列、期望和方差；例若，试求 ，1的值题型一离散型随机变量分布列、期望题型一离散型随机变量分布列、期望与方差及性质的应用与方差及性质的应用 222221.11113101234.2201020511101.511.521.5220103131.541.552.755.20ED 解析的分布列为：121201103201501234P 2222.75112.212 1.52212 1.54.2224Da DaaEaEbabbabbaabb 由，得，即又，所以当时，由，得；当时，由，得所以或即为所求 评析：(1)在求随机变量分布列时，关键是分析判定离散型随机变量取每一个可能值时对应的随机事件，从而正确求出其概率(2)若两变量之间存在某种线性关系，则可以直接利用其中一个变量的期望与方差求出另一个变量的期望与方差 93.121501一批零件有 个合格品， 个不合格品，安装机器时，从中任取一个，若取出不合格品不再放回去，设在取得合格品以前已取出的不合格品数为随机变量求 的分布列；若工人取得合格品以前取出个不合格品获得劳务费 元，求工人所得劳务变：费式的期望 1930,1,2,301243993299121211441211102209991P311244220220PPP设随机变量 表示在取得合格品以前已取出的不合格品数，则，可得，故 的分解析：布列为：34944922012200123P 99913210123124422022010505015()EEEE 由则元，2.(2011)A BP某社会机构为更好地宣传“低碳”生活观念，对某市 、 两个大型社区进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两族的人数占各自小区总人数的比例 统例厦门质检计如下：题型二题型二 二项分布及应用二项分布及应用 142220%22525.ABAAE如果甲、乙两人来自 区，丙、丁两人来自 区，求这 人中恰有 人是低碳族的概率；区经过大力宣传后，每周非低碳族中有的人加入到低碳族的行列，如果 周后随机从 区中任选人，记 表示这人中低碳族人数，求1212A区低碳族 非低碳族比例P4515B区低碳族非低碳族比例P 21142.111111411144334.2255225522551001112522881721.2525251717(25)2517.2525AP AaAaPaPBE 记“ 人中恰有 人是低碳族”为事件设 区有 人， 周后非低碳族的概率，则 周后低碳族的概率依题意， ， ，则解析： 评析：随机变量服从二项分布的判定标准是对应的试验服从独立重复试验模型，在分析求解时应树立判定并转化为二项分布问题求解的意识 0.6.1522.p某运动员投篮的命中率为求一次投篮时命中次数 的均值，方差；求重复 次投篮时，命中次数 的变式均值与方差 22100.410.60.600.60.410.60.60.24.25B 5,0.650.63.50.60.41.2.EDED 投篮一次，命中次数 的分布列为：则，重复 次投篮，命中次数 服从二项分布，即 ，解故析：01P0.40.63.(2010)3pq pq某同学参加 门课程的考试假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 、，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立记 为该生取得优秀成绩的课程数，其例北京卷分布列为题型三题型三 随机变量的分布列、期望的实际应用随机变量的分布列、期望的实际应用6125241250123Pab 1123.pqE求该生至少有 门课程取得优秀成绩的概率；求 ， 的值；求数学期望题型三题型三 随机变量的分布列、期望的实际应用随机变量的分布列、期望的实际应用 123i41,2,3.511016101.119125125iAiP AP Ap P AqP 事件 表示“该生第门课程取得优秀成绩”，由题意知，由于事件“该生至少有 门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有 门课程取得优秀成绩的概率是：解析： 12312320()() () ()166111.51252532.55PP A AAP A P A P Apqpqp+qpqpq由题意知，整理得，注意到，故可解得， 12312312312312312331(AA )4113711115551252(A)4415811555125aPP AAAAAAApqpqp qbPP AAAAAAAApqp qpq由题意知，；，62458(1)12512512562490123.1251255baEab 或者则 评析：期望、方差问题既可以以实际问题情况为载体，又可以分析决策实际问题 6(0.01)3.120有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两个建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查他们的抗拉强度指数如下：其中至少有 人被治愈的概率 精确到其中 和分别表示甲、乙两建材厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度在不低于的条件下，比较甲、乙两建材厂材料哪一种稳定变式性较好110120125130135P0.10.20.40.10.2100115125130145P0.10.20.40.10.2222221100.11200.21250.41300.11350.21251000.11150.21250.41300.11450.21250.11101250.21201250.41251250.11301250.213512550EEDD首先看两建材厂的材料的抗拉强度的期望，然后再比较他们的方差，析，解：222220.11001250.21151250.41251250.11301250.2145125165.EEDD由于，而，故甲建材厂的材料稳定性较好 200126502041621121()121()31%随机抽取某婴幼儿奶粉生产企业的某种产品件，经国家质检部门检测，其中有一等品件、二等品件、三等品件、次品 件已知生产 件一、二、三等品获得的利润分别为 万元、万元、万元，而件次品亏损 万元设 件产品的利润为单位：万元 求 的分布列；求 件产品的平均利润 即 的数学期望 ；为了提高乳制品的质量，经技术革新后，虽仍有四个等级的产品，但次品率降备题为选例，一等70%.14.73品率提高为如果此时要求 件产品的平均利润不小于万元，则三等品率最多是多少？ 12 1 2 6412012120050200105011266326.2004200100PPPP 的可能取值为、，的解析：分布列为：1501101463100-2126P 2111632126501041004.3414.34E 的数学期望为：，即 件产品的平均利润是万元 32 1 2 6170291100100100 xyx+ y技术革新后 的可能取值仍为、，但 的分布列为：其中 、 分别为三、二等品率，根据分布列的性质有：，110070100-2126Pxy11702126.10010014.734.7347634.73.10010014.733%.ExyxExx 所以技术革新后 件产品的平均利润为：要使 件产品的平均利润不小于万元，即，由得即要使技术革新后 件产品平均利润不小于万元，三等产品率最多为1求离散型随机变量的概率分布列的步骤：(1)求出随机变量的所有可能取值；(2)求出各取值的概率；(3)列成表格(4)用分布列的性质P1+P2+Pi+Pn=1进行验证2期望和方差是离散型随机变量的两个最重要的特征数有时判断某事物的优劣，计算其期望就能区别出来，而有时仅靠期望不能完善地说明随机变量的分布特征，还需研究其方差 3随机变量是可变的，可取不同值，而期望E是不变的，它描述取值的平均状态4方差D表示随机变量对期望E的平均偏离程度，D越大，表明平均偏离程度越大，说明的取值越分散，反之，D越小，的取值越集中在E附近5310P12_() 一口袋内装有 个黄球，个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现 次时停止，停止时取球的次数 是一个随机变量，则填计算式 102121035P12C( )( ) .88这是一个“次独立重复试验恰有次发生”的概率问题由二项分布原理有错解：“12”12错解忽视了隐含条件 第次抽取的是红球 这一隐含条件，此种解法的结果包含着第次抽取到黄球因此解题过程中应先注意审题，弄清题干中的隐错误分析：含条件99291021111353P12C ( )( )( )835C ( ) ( ) .8888正解：
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