高考数学一轮复习 第六章第七节 数学归纳法及其应用课件 理 （广东专用）

第七节数学归纳法及其应用第七节数学归纳法及其应用1数学归纳法数学归纳法证明一个与正整数证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基归纳奠基)证明当证明当n取取_时命题成立；时命题成立；(2)(归纳递推归纳递推)假设假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当时命题成立，证明当_时命题成立时命题成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整开始的所有正整数数n都成立都成立第一个值第一个值n0(n0N*)nk12数学归纳法的框图表示数学归纳法的框图表示1数学归纳法的第一步数学归纳法的第一步n取第一个值取第一个值n0(nN*)是否一定为是否一定为1呢？呢？【提示】【提示】不一定不一定n0的取值应取命题成立的第的取值应取命题成立的第1个值，不一个值，不一定是定是1.2数学归纳法的两个步骤的作用分别是什么？数学归纳法的两个步骤的作用分别是什么？【提示】【提示】数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递推两者缺一不可另外，在第二步中证明推两者缺一不可另外，在第二步中证明nk1时命题成时命题成立，必须利用归纳假设，否则就不是数学归纳法立，必须利用归纳假设，否则就不是数学归纳法 【解析】【解析】三角形是边数最少的凸多边形，三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验故第一步应检验n3.【答案】【答案】C【解析】【解析】k为偶数，则为偶数，则k2为偶数，选为偶数，选B.【答案】【答案】B【答案】【答案】C【思路点拨】【思路点拨】(1)第一步验证第一步验证n1时等式成立时等式成立(2)第二步假设第二步假设nk(kN*)时等式成立，证明时等式成立，证明nk1时，等式时，等式成立成立用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式 1用数学归纳法证明等式问题，首先应弄清等式的结构特征，用数学归纳法证明等式问题，首先应弄清等式的结构特征，即弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值即弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少是多少2用数学归纳法证明等式的关键是由用数学归纳法证明等式的关键是由nk时命题成立，递推时命题成立，递推出出nk1时，命题也成立，为此可写出目标式时，命题也成立，为此可写出目标式nk1时，时，命题是什么，并找出与命题是什么，并找出与nk时，命题的差别，明确变形的目时，命题的差别，明确变形的目标，充分利用假设，进行合理变形，正确写出证明过程标，充分利用假设，进行合理变形，正确写出证明过程用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式 当当nk1时，不等式成立，时，不等式成立，根据根据(1)，(2)知不等式对知不等式对nN*都成立都成立1用数学归纳法证明与用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种形式：一有关的不等式一般有两种形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小对第二类形式往往要先对要求比较它们的大小对第二类形式往往要先对n取前几个值取前几个值的情况分别验证比较，猜想出结论，并用数学归纳法证明的情况分别验证比较，猜想出结论，并用数学归纳法证明2用数学归纳法证明不等式的关键是由用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时命题成立得时命题成立得nk1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明法、分析法、放缩法等来加以证明【思路点拨】【思路点拨】根据求出的前根据求出的前n项，抽象出一般性的规律，然项，抽象出一般性的规律，然后利用数学归纳法证明后利用数学归纳法证明归纳归纳猜想猜想证明证明 1猜想猜想an的通项公式是一个由特殊到一般的过程，通过计的通项公式是一个由特殊到一般的过程，通过计算算a1，a2，a3发现规律，有时可能要多算几项才行发现规律，有时可能要多算几项才行2“归纳归纳猜想猜想证明证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性，这种思维方式是推动数学研后经逻辑推理证明结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式究和发展的重要方式从近两年的高考试题来看，用数学归纳法证明与正整数从近两年的高考试题来看，用数学归纳法证明与正整数有关的命题以及与数列有关的命题是高考的热点，题型为解答有关的命题以及与数列有关的命题是高考的热点，题型为解答题，主要考查用数学归纳法证明数学命题的能力，分析问题、题，主要考查用数学归纳法证明数学命题的能力，分析问题、解决问题的能力，难度为中、高档在求解时，应注意答题步解决问题的能力，难度为中、高档在求解时，应注意答题步骤的规范化骤的规范化(12分分)(2012汕尾模拟汕尾模拟)已知已知ABC的三边长是有理数的三边长是有理数(1)求证：求证：cos A都是有理数；都是有理数；(2)求证：对任意正整数求证：对任意正整数n，cos nA是有理数是有理数规范解答之十一巧用数学归纳法证明三角问题规范解答之十一巧用数学归纳法证明三角问题(2)用数学归纳法证明用数学归纳法证明cos nA和和sin Asin nA都是有理数都是有理数当当n1时，由时，由(1)知知cos A是有理数，是有理数，从而有从而有sin Asin A1cos 2A也是有理数也是有理数.6分分假设当假设当nk(k1)时，时，cos kA和和sin Asin kA是有理数当是有理数当nk1时，则时，则cos (k1)Acos Acos kAsin Asin kA，sin Asin (k1)Asin A(sin Acos kAcos Asin kA)(sin Asin A)cos kA(sin Asin kA)cos A，10分分由由和归纳假设，知和归纳假设，知cos (k1)A与与sin Asin (k1)A都是有理都是有理数即当数即当nk1时，结论成立时，结论成立综合综合、可知，对任意正整数可知，对任意正整数n，cos nA是有理数是有理数.12分分【解题程序】【解题程序】第一步：利用余弦定理证明第一步：利用余弦定理证明cos A是有理数；是有理数；第二步：证明第二步：证明n1时，时，cos nA，sin Asin nA是有理数；是有理数；第三步：假设第三步：假设nk时，时，cos kA，sin Asin kA是有理数；证明是有理数；证明nk1时，时，cos(k1)A是有理数是有理数易错提示：易错提示：(1)不能将不能将cos A与三角形边长联系起来，无法证明与三角形边长联系起来，无法证明第第(1)小题；小题；(2)在用数学归纳法证明第在用数学归纳法证明第(2)小题时，对小题时，对sin Asin kA束手无策，思维受阻，无法求解束手无策，思维受阻，无法求解防范措施：防范措施：(1)角角A是是ABC的内角，且的内角，且ABC的三边长是有理的三边长是有理数，可联想到用边长表示数，可联想到用边长表示cos A，即余弦定理，即余弦定理(2)在证明在证明cos(k1)A是有理数时，需要用到结论是有理数时，需要用到结论“sin Asin kA是有理数是有理数”，但此结论需要证明，但此结论需要证明【解析】【解析】当当nk时，左边时，左边123k2，当当nk1时，左边时，左边123k2(k21)(k22)(k1)2，选，选D.【答案】【答案】D2(2012珠海模拟珠海模拟)在数列在数列an，bn中，中，a12，b14，且，且an，bn，an1成等差数列，成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列成等比数列(nN*)，求，求a2，a3，a4及及b2，b3，b4，由此猜测，由此猜测an，bn的通项公式，并的通项公式，并证明你的结论证明你的结论