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3.2 空间向量在立体几何中的应用 已知向量a，在空间固定一个基点，再作向量 ，则点A在空间的位置就被向量a所惟一确定了，这时，我们称这个向量为位置向量位置向量。aOA3.2.13.2.1直线的方向向量与直线的向量方程直线的方向向量与直线的向量方程在平面向量的学习中，我们得知 M、A、B三点共线 A、B是直线l上任意两点。O是l外一点.动点P在l的充要条件是上述式子称作直线l的向量参数方程式，实数t叫参数。).(RtMBtMA).(1RtOBtOAtOP）（ 给定一个定点A和一个向量a，如图所示，再任给一个实数t,以A为起点作向量 这时点P的位置被完全确定，容易看到，当t在实数集R中取遍所有值时，点P的轨迹是一条通过点A且平行于向量a的一条直线l.反之，在直线l上任取一点P，一定存在一个实数t，使 向量方程通常称作直线l的参数方程.向量a称为该直线的方向向量量.taAP .taAP alAP注: 向量方程两要素:定点A,方向向量 t为参数,且t是实数, 问:t=0时?. a反向和同向和aAPtaAPt00 直线的向量方程,还可作如下的表示:对空间任一个确定的点O(如图所示),点P在直线l上的充要条件是存在惟一的实数t,满足等式 如果在l上取 则式可化为 即 或或都叫做空间直线的向量参数方程.taOAOP, aAB )(OAOBtOAABtOAOPOBtOAtOP)1 (AaOMBPlta注注: : 当t= 时, .此时P是线段AB的中 点,这就是线段AB中点的向量表达式. 中 有共同的起点. 中 的系数之和为1.21OBOAOP2121OBOAOP、OBOA、例例1 1 已知点A(2,4,0),B(1,3,3),以 的方向为正方向,在直线AB上建立一条数轴,P,Q为轴上的两点,且分别满足条件: AP:PB=1:2 AQ:QB=-2 求点P和点Q的坐标.AB,1)311,35(,1,311,35,),3 , 3 , 1 (31)0 , 4 , 2(32z)y,(x,z),y,(x,.3132),(2,2,) 1 ( :的坐标是点因此所以得则上式换用坐标表示坐标为设点即得由已知解PzyxPOBOAOPOAOPOPOBAPPBAQBPyzxlO例例1 1(0,2,6).,6, 2, 0)6 , 2 , 0()3 , 3 , 1 (2)0 , 4 , 2(2),(),(,2),(2,2AQ, 2:)2(的坐标是点因此即得则上式换用坐标表示，的坐标为设点所以因为QzyxzyxzyxQOBOAOQOQOBOAOQQBQBAQ例例2 2MCyMBxMA 已知空间中四点M,A,B,C,满足 , x,y是实数,且x+y=1. 求证:A,B,C三点共线证明:三点共线所以即即所以因为CBACBxCAMCMBxMCMAMCMCMBxMCxMBxMAxyyx,)()()1(1,1课堂练习课堂练习三点是否共线？则CBAOCOBOA,32.,2)(223:三点共线所以即解CBABCCAOBOCOCOBCOOA例例3 3位置关系是的与，则，的方向向量为，直线，的方向向量直线212211)202()101 (llVlVlA.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 课堂练习课堂练习(1)两直线的方向向量分别为V1=(2,0,3),V2=(-3,0,2), 则两直线的位置关系是什么？(2)已知点A（-2，3，0），B（1，3，2），以 的 方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P,Q为轴上 两点，且满足条件： AQ:QB=-1; AP:PB=2:3 求点P和点Q的坐标.AB小结小结直线的向量参数方程.,)1 (,)2(.,.) 1 (如图即方程又可写为则直线向量使上取两点若在直线件是上的充要条在直线如图，点对于空间任一点的方程为：的直线，方向向量为过点OBtOAtOPABtOAOPaABBAltaOAOPlPOtaAPlaAaOMBPlta.)6(.)5().(21,21)4(. 1)3(点共线判断点的位置，判定三用直线的向量参数方程两直线的位置关系用直线的方向向量判断即的中点，则是线段点中点的向量表达式：设且上的充要条件为在直线点OBOAOMABAMABMyxOByOAxOPABP小结小结谢谢大家请多指教
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