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2.1曲线和方程曲线和方程 2.1.1曲线和方程 主要内容：主要内容： 曲线和方程的概念、意义及曲线和方程的两个基曲线和方程的概念、意义及曲线和方程的两个基本问题本问题 重点和难点：重点和难点： 曲线和方程的概念曲线和方程的概念曲线和方程之间有曲线和方程之间有什么对应关系呢？什么对应关系呢？ ？（1）、求第一、三象限里两轴间夹角平分线的）、求第一、三象限里两轴间夹角平分线的坐标满足的关系坐标满足的关系点的横坐标与纵坐标相等点的横坐标与纵坐标相等x=y（或（或x-y=0）第一、三象限角平分线第一、三象限角平分线l得出关系得出关系：lx-y=0 xy0（1）l上点的坐标都是方程上点的坐标都是方程x-y=0的解的解（2）以方程以方程x-y=0的解为坐标的点都的解为坐标的点都在在 上上l曲线曲线条件条件方程方程分析特例归纳定义满足关系：满足关系：（1）、如果）、如果00(,)M xy00(,)M xy是圆上的点，那么是圆上的点，那么一定是这个方程的解一定是这个方程的解分析特例归纳定义0 xyM（2）、方程）、方程表示如图的圆表示如图的圆图像上的点图像上的点M与此方程与此方程 有什么关系？有什么关系？222()()xaybr222()()xaybr 的解，那么以它为坐标的解，那么以它为坐标的点一定在圆上。的点一定在圆上。00(,)M xy（2）、如果、如果是方程是方程222()()xaybr（3）、说明过）、说明过A（2，0）平行于）平行于y轴的直线与方程轴的直线与方程x=2的关系的关系、直线上的点的坐标都满足方程、直线上的点的坐标都满足方程x=2、满足方程、满足方程x=2的点的点不一定不一定在直线上在直线上结论：过结论：过A（2，0）平行于）平行于y轴的直线的方程轴的直线的方程不是不是x=20 xy2A分析特例归纳定义 给定曲线给定曲线C C与二元方程与二元方程f f（x x，y y）=0=0，若满足若满足 （1 1）曲线上的点坐标都是这个方程）曲线上的点坐标都是这个方程的解的解 （2 2）以这个方程的解为坐标的点都）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点是曲线上的点 那么这个方程那么这个方程f f（x x，y y）=0=0叫做这条叫做这条曲线曲线C C的方程的方程 这条曲线这条曲线C C叫做这个方程的曲线叫做这个方程的曲线定义f(x,y)=00 xy分析特例归纳定义曲线的方程，方程的曲线曲线的方程，方程的曲线2、两者间的关系：两者间的关系：点在曲线上点在曲线上点的坐标适合于此曲线的方程点的坐标适合于此曲线的方程即：即：曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够一一对应一一对应3 3、如果曲线、如果曲线C C的方程是的方程是f(xf(x，y y）=0=0，那么点，那么点),(00yxP在曲线在曲线C C上的充要条件上的充要条件是0),(00 yxf例例1判断下列结论的正误并说明理由判断下列结论的正误并说明理由 （1）过点）过点A（3，0）且垂直于）且垂直于x轴的直线为轴的直线为x=3 （2）到）到x轴距离为轴距离为2的点的轨迹方程为的点的轨迹方程为y=2 （3）到两坐标轴距离乘积等于）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为的点的轨迹方程为xy=1对对错错错错学习例题巩固定义例例2：解答下列问题，并说明理由：解答下列问题，并说明理由：（1）判断点）判断点A（-4，3），），B ，C 是是否在方程否在方程 所表示的曲线上。所表示的曲线上。（2）方程）方程 所表示的曲线经过点所表示的曲线经过点AB（1，1），则），则a= ,b= .( 3 2, 4)( 5,2 5)2225(0)xyx2225axby5(0, ),3下列各题中，图下列各题中，图3 3表示的曲线方程是所列出的方程吗？表示的曲线方程是所列出的方程吗？如果不是，不符合定义中的关系如果不是，不符合定义中的关系还是关系还是关系？ (1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线，方程为(x-y)(x+y)=0; (2)曲线C是顶点在原点的抛物线，方程为x+ =0; (3)曲线C是, 象限内到X轴，Y轴的距离乘积为1的点集，方程为y= 。10 xy-110 xy-11-2210 xy-11-221图3例例3、如果曲线、如果曲线C上的点坐标上的点坐标(x,y)都是方程都是方程F(x,y)=0的解，的解，那么（那么（ ）A、以方程、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线的解为坐标的点都在曲线C上。上。B、以方程、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点，有些不在曲线上。的解为坐标的点，有些不在曲线上。C、不在曲线、不在曲线C上的点的坐标都不是方程上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解。的解。D、坐标不满足、坐标不满足F(x,y)=0的点不在曲线的点不在曲线C上。上。D例例4、证明与两坐标轴的距离的积是常数、证明与两坐标轴的距离的积是常数 k(k0)的的点的轨迹方程是点的轨迹方程是.xyk 例例5、判断方程、判断方程|x-1|+|y-1|=1所表示的曲线形状。所表示的曲线形状。第一步，设第一步，设M (xM (x0 0,y ,y0 0) )是曲线是曲线C C上任一点，证明上任一点，证明(x(x0 0,y ,y0 0) )是是f(x,y)=0f(x,y)=0的解；的解；归纳归纳: :证明已知曲线的方程的方法和步骤证明已知曲线的方程的方法和步骤第二步，设第二步，设(x(x0 0,y ,y0 0) )是是f(x,y)=0f(x,y)=0的解，证明点的解，证明点M M (x(x0 0,y ,y0 0) )在曲线在曲线C C上上. . 在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方程，当说某方程是曲线的方程或某曲线方程，当说某方程是曲线的方程或某曲线是方程的曲线时就意味着具备上述两个条是方程的曲线时就意味着具备上述两个条件，只有具备上述两个方面的要求，才能件，只有具备上述两个方面的要求，才能将曲线的研究化为方程的研究将曲线的研究化为方程的研究,几何问题化几何问题化为代数问题，以数助形正是解析几何的思为代数问题，以数助形正是解析几何的思想，本节课正是这一思想的基础。想，本节课正是这一思想的基础。小结：小结：
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