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章末归纳总结章末归纳总结 本章在小学、初中和高中所学知识的基础上，介绍复数的概念、复数的代数形式的运算和数系的扩充等内容 本章共分两大节第一大节是“数系的扩充与复数的概念”第二大节是“复数的运算”在第一大节中，首先简要地展示了数系的扩充过程，回顾了数的发展，并指出当数集扩充到实数集时，由于负数不能开平方，因而大量代数方程无法求解，于是就产生了要开拓新数集的要求，从而自然地引入虚数i，复数由此而产生，接着，介绍了复数的有关概念和复数的几何表示主要涉及的概念有：复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数相等、复数的模等在第二大节中，介绍了复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则，同时指出了复数加法、减法的几何意义，复平面上两点间的距离公式，沟通了“数与形”之间的联系，提供了用“形”来帮助处理“数”和用“数”来帮助处理“形”的工具 本章有两条主线：一条主线是以复数代数形式来表示复数的概念规定了加、乘两种运算法则，然后把减、除法分别定义为加、乘法的逆运算来推导出其运算法则利用复数的四则运算，可把复数代数形式abi看成由a和bi两个非同类项组成，这样多项式的运算法则几乎可以全部搬过来照用不误，于是复数就与多项式、方程联系起来，从而能帮助解决一些多项式中的因式分解、解方程等数学问题另一条主线是用复平面上的点或向量来描述复数 由此引出了复数运算的几何意义，使复数在平面几何、解析几何中得到广泛应用这两条主线在教材中是交替安排的，这样能加强学生的“形与数”结合的观念，使学生在看到代数形式时就能联想到几何图形，看到几何图形就能联想到对应的复数有利于学生深入理解复数概念，开阔学生的思路，培养和提高用“数形结合”观点来处理问题的能力 例1已知mR，复数z (m22m1)i，当m为何值时：说明此题考查复数的分类概念，主要运用复数概念的充要条件，要注意纯虚数的充要条件a0且b0.已知x是实数，y是纯虚数，且(3y)iyi，求x，y.解析因xR，y是纯虚数，所以可设ybi(bR且b0)，代入原式，由复数相等的充要条件可得方程组，解之即得所求结果y是纯虚数，可设ybi(bR，且b0)，则 复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，要注意i21.在进行复数的运算时，要灵活利用i，的性质，或适当变形创造条件，从而转化为关于i，的计算问题，并注意以下结论的灵活运用：答案D答案B 1.复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题 2任何一个复数zabi(a，bR)与复平面内一点Z(a，b)对应，而任一点Z(a，b)又可以与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量 对应，这些对应都是一一对应，由此得到复数的几何解法，特别注意|z|、|za|的几何意义距离 3复数加减法几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则 由减法的几何意义知|zz1|表示复平面上两点Z，Z1间的距离 4复数形式的基本轨迹 (1)当|zz1|r，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；单位圆|z|1. (2)当|zz1|zz2|，表示以复数z1、z2的对应点为端点的线段的垂直平分线例4已知复数z1i(1i)3，(1)求|z1|；(2)若|z|1，求|zz1|的最大值(2)若|z|1，求|zz1|的最大值若zC，且|z22i|1，则|z22i|的最小值为_答案3解析|z22i|1，即|z(22i)|1，z对应的点是到点(2,2)的距离为定值1的所有的点，即以(2,2)为圆心，1为半径的圆O上的点|z22i|即|z(22i)|，为圆O上的点与点(2,2)之间的距离，观察图形可得最短距离为3.
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