高中数学 2、222反证法课件 新人教B版选修12

1知识与技能结合实例的间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程与特点2过程与方法了解反证法的特点、增强应用反证法证明的能力3情感、态度与价值观培养学生的数学素养，发展学生的数学思维能力本节重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤本节难点：应用反证法解决问题 用反证法证明问题，一般由证明pq，转向证明qrt，t与假设矛盾或与某个真命题矛盾，从而到判断q为假，得出q为真反证法，不是从已知条件去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上进行演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性 应用反证法证明数学命题的一般步骤： (1)分清命题的条件与结论 (2)做出与命题结论相矛盾的假设 (3)由假设出发应用正确的推理方法，推出矛盾的结果 (4)断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真 明确反证法的证题步骤，掌握一些常见命题的否定形式，熟悉推出矛盾的几种常见类型，是用好反证法的关键 1一般地，由证明pq转向证明：qrt，t与假设或题设条件矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定q为假，推出q为真的方法，叫做 2在反证法中，得出矛盾，所得矛盾主要是指： 3反证法的一般步骤是：反证法与假设矛盾，与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾，与公认的简单事实矛盾否定结论，推理论证，导出矛盾，肯定结论例1求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60.证明假设ABC的三个内角A、B、C都小于60，即A60，B60，C60.相加得ABC0，且(x1)2(y1)2(z1)20.abc0，这与abc0矛盾，因此a，b，c中至少有一个大于0.例2求证：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行证明已知：点P在直线a外求证：过点P与直线a平行的直线有且只有一条证明：点P在直线a外，点P和直线a确定一个平面，设该平面为，在平面内，过点P作直线b，使得ba，则过点P有一条直线与a平行假设过点P还有一条直线c与a平行ab，ac，bc，这与b、c相交于点P矛盾，故假设不成立说明证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性较简单明了 已知直线m与直线a和b分别相交于A，B，且ab，求证：过a、b、m有且只有一个平面证明ab，过a、b有一个平面.又maA，mbB，Aa，Bb，A，B，又Am，Bm，m.即过a、b、m有一个平面，假设过a、b、m还有一个平面异于平面.则a，b，a，b，这与ab，过a、b有且只有一个平面相矛盾因此，过a、b、m有且只有一个平面.规律方法当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾例4用反证法证明：若函数f(x)在区间a，b上是增函数，那么方程f(x)0在区间a，b上至多只有一个实根误解证明：假设函数f(x)在区间a，b上有两个实根，.因为，不妨设，又因为函数f(x)在a，b上是增函数，f()f()这与假设f()0f()矛盾，所以方程f(x)0在区间上至多只有一个实根辨析至多只有一个实根的反面是“至少有两个实根”，而不是“有两个实根”正解假设方程f(x)0在区间a，b上至少有两个实根，设，为其中的两个实根因为，不妨设，又因为函数f(x)在a，b上是增函数，所以f()f()这与假设f()0f()矛盾，所以方程f(x)0在区间a，b上至多只有一个实根一、选择题1实数a、b、c不全为0的条件为()Aa、b、c均不为0Ba、b、c中至多有一个为0Ca、b、c中至少有一个为0Da、b、c中至少有一个不为0答案D解析实数a、b、c不全为0就是a、b、c中至少有一个不为0.答案D 3异面直线在同一个平面的射影不可能是()A两条平行直线B两条相交直线C一点与一直线 D同一条直线答案D解析举反例的方法如图正方体ABCDA1B1C1D1中A1A与B1C1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是点A和直线BC，故排除C，BA1与B1C1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是直线AB和BC，故排除B，BA1与C1D1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是直线AB和CD，故排除A.二、填空题4有下列命题：空间四点中有三点共线，则这四点必共面；空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面；垂直于同一直线的两直线平行；两组对边相等 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 其 中 真 命 题 是_答案5和两条异面直线AB、CD都相交的两条直线AC、BD的位置关系是_答案异面