高中数学 第1章§4 数列在日常经济生活中的应用课件 北师大版必修5

4数列在日常经济生活中的应用数列在日常经济生活中的应用学习目标学习目标1正确理解储蓄及利息的计算方法正确理解储蓄及利息的计算方法2了解并掌握购房贷款中的相关知识了解并掌握购房贷款中的相关知识3明确现行银行的还款方式明确现行银行的还款方式课堂互动讲练课堂互动讲练知能优化训练知能优化训练4数列数列在日在日常经常经济生济生活中活中的应的应用用课前自主学案课前自主学案课前自主学案课前自主学案温故夯基温故夯基an1and(nN)ana1(n1)dana1qn1知新益能知新益能1有关增长率、利率等的计算有关增长率、利率等的计算(1)增长率增长率_；(2)优惠率优惠率_；(3)存款利率存款利率_.2数列应用题常见模型数列应用题常见模型(1)复利公式复利公式按复利计算的一种储蓄，本金为按复利计算的一种储蓄，本金为P元，每期利率为元，每期利率为r，存期为存期为n，则本利和，则本利和S_.(2)产值模型产值模型原来产值的基础数原来产值的基础数N，平均增长率为，平均增长率为p，对于时间，对于时间x的总产值的总产值y_.(3)单利公式单利公式利息按单利计算，本金为利息按单利计算，本金为P元，每期利率为元，每期利率为r，存期，存期为为n，则本利和为，则本利和为S_P(1r)nN(1p)xP(1nr)问题探究问题探究1什么情况下建立数列模型？什么情况下建立数列模型？2单利和复利分别与等差数列和等比数列中单利和复利分别与等差数列和等比数列中的哪一种数列对应？的哪一种数列对应？提示：提示：单利和复利分别以等差数列和等比数单利和复利分别以等差数列和等比数列为模型，即单利的实质是等差数列，复利列为模型，即单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列的实质是等比数列课堂互动讲练课堂互动讲练等差数列模型等差数列模型(单利问题单利问题)考点突破考点突破按单利分期付款的数学模型是等差数列，解决该类按单利分期付款的数学模型是等差数列，解决该类问题的关键是弄清楚：问题的关键是弄清楚：(1)规定多少时间内付清全部款额；规定多少时间内付清全部款额；(2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同；款额相同；(3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息的计算公式段内利息的计算公式 用分期付款购买价格为用分期付款购买价格为25万元的住房一套，万元的住房一套，如果购买时先付如果购买时先付5万元，以后每年付万元，以后每年付2万元加上欠款万元加上欠款利息签订购房合同后利息签订购房合同后1年付款一次，再过年付款一次，再过1年又付年又付款一次，直到还完后为止商定年利率为款一次，直到还完后为止商定年利率为10%，则，则第第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？少元？【思路点拨思路点拨】先将实际问题转化为数学问题，这先将实际问题转化为数学问题，这是一个等差数列问题，用等差数列来解决是一个等差数列问题，用等差数列来解决【规律小结规律小结】单利的计算仅在原有本金上计算单利的计算仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为利息本金式为利息本金利率利率存期以符号存期以符号P代表本代表本金，金，n代表存期，代表存期，r代表利率，代表利率，S代表本金和利息代表本金和利息和和(以下简称本利和以下简称本利和)，则有，则有SP(1nr)自我挑战自我挑战1李先生为今年上高中的儿子办理了李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄教育储蓄”从从8月月1号开始，每个月的号开始，每个月的1号都号都存入存入100元，存期三年元，存期三年(1)已知当年已知当年“教育储蓄教育储蓄”存款的月利率是存款的月利率是2.7.问到期时，李先生一次可支取本息多少元？问到期时，李先生一次可支取本息多少元？(2)已知当年同档次的已知当年同档次的“零存整取零存整取”储蓄的月利储蓄的月利率是率是1.725.问李先生办理问李先生办理“教育储蓄教育储蓄”比比“零零存整取存整取”多收益多少元？多收益多少元？(注：零存整取要收注：零存整取要收20%的利息税的利息税)等比数列模型等比数列模型(复利问题复利问题)复利问题的数列模型为等比数列，可利用复利问题的数列模型为等比数列，可利用等比数列的有关知识灵活求解等比数列的有关知识灵活求解 陈老师购买工程集资房陈老师购买工程集资房92 m2，单价为，单价为1000元元/m2，一次性国家财政补贴，一次性国家财政补贴28800元，学校元，学校补贴补贴14400元，余款由个人负担房地产开发公元，余款由个人负担房地产开发公司对教师实行分期付款司对教师实行分期付款(注注)，经过一年付款一，经过一年付款一次，次，共付共付10次，次，10年后付清，如果按年利率年后付清，如果按年利率7.5%，每年按复利计算，每年按复利计算(注注)，那么每年应付款，那么每年应付款多少元？多少元？(注注)注：注：分期付款，各期所付的款以及最后一次付分期付款，各期所付的款以及最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余额的现价及这个房款现价到最后一次付款时所生额的现价及这个房款现价到最后一次付款时所生的利息之和的利息之和每年按复利计算，即本年利息计入次年的本金每年按复利计算，即本年利息计入次年的本金生息生息必要时参考下列数据必要时参考下列数据.1.07591.971,1.075102.061，1.075112.216.【思路点拨思路点拨】按复利分期付款，各期所付按复利分期付款，各期所付的款以及最后一次付款时所生的利息合计，的款以及最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余额的现价及这个款应等于个人负担的购房余额的现价及这个款现价到最后一次付款时所生的利息之和现价到最后一次付款时所生的利息之和【解解】 设每年应付款设每年应付款x元，那么到最后一次付元，那么到最后一次付款时款时(即购房十年后即购房十年后)，第一年付款及所生利息，第一年付款及所生利息之和为之和为x1.0759元，第二年付款及所生利息之元，第二年付款及所生利息之和为和为x1.0758元，元，第九年付款及其所生利，第九年付款及其所生利息之和为息之和为x1.075元，第十年付款为元，第十年付款为x元，而所元，而所购房余款的现价及其利息之和为购房余款的现价及其利息之和为100092(2880014400) 1.07510488001.07510(元元).【名师点评名师点评】复利分期付款中的有关计算方法既复利分期付款中的有关计算方法既是重点，也是难点，突破难点的关键在于：是重点，也是难点，突破难点的关键在于：(1)准准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额的增确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额的增值值(注：最后一次付款没有利息注：最后一次付款没有利息)(2)明确各期所付明确各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可顺利建立等量关系只有掌握了这一点，才可顺利建立等量关系自我挑战自我挑战2某家庭打算以一年定期的方式存款，某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从计划从2010年起，每年年初到银行新存入年起，每年年初到银行新存入a元，年元，年利率利率p保持不变，并按复利计算，到保持不变，并按复利计算，到2020年年初将年年初将所有存款和利息全部取出，共取回多少元？所有存款和利息全部取出，共取回多少元？解：从解：从2010年年初到年年初到2011年年初有存款年年初有存款b1a(1p)元，设第元，设第n年年初本息有年年初本息有bn元，第元，第n1年年初有年年初有bn1元，则有元，则有bn1(bna)(1p).将之变形为将之变形为解答等差、等比数列综合应用问题的关系是通过解答等差、等比数列综合应用问题的关系是通过审题，将实际问题转化为数列模型，运用等差数审题，将实际问题转化为数列模型，运用等差数列和等比数列的知识解决问题，因此在做题过程列和等比数列的知识解决问题，因此在做题过程中必须明确建立的是等差数列模型还是等比数列中必须明确建立的是等差数列模型还是等比数列模型，明确是求模型，明确是求n，还是求，还是求an，或是求，或是求Sn.等差、等比数列的综合应用等差、等比数列的综合应用 假设某市假设某市2010年新建住房年新建住房400万万m2，其中，其中有有250万万m2是中、低价房预计在今后的若干年后，是中、低价房预计在今后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长该市每年新建住房面积平均比上年增长8%.另外，另外，每年新建住房中，中、低价房的面积均比上一年增每年新建住房中，中、低价房的面积均比上一年增加加50万万m2.那么，到哪一年底，那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中、低价房的累计面积该市历年所建中、低价房的累计面积(以以2010年年为累计的第一年为累计的第一年)将首次不少于将首次不少于4750万万m2?(2)当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于面积的比例首次大于85%?【思路点拨思路点拨】第第(1)问是等差数列求和问题；第问是等差数列求和问题；第(2)问由等比数列通项公式求出问由等比数列通项公式求出bn表达式，解不等表达式，解不等式式an0.85bn，求得，求得n的最小正整数解的最小正整数解令令25n2225n4750，即，即n29n1900，而，而n是是正整数，正整数，n10.到到2019年底，该市历年所建中、低价房的累计年底，该市历年所建中、低价房的累计面积将首次不少于面积将首次不少于4750万万m2.(2)设新建住房面积形成数列设新建住房面积形成数列bn，由题意可知，由题意可知bn是等比数列，是等比数列，其中其中b1400，q1.08，则，则bn400(1.08)n1，由题意可知由题意可知an0.85bn，有，有250(n1)50 400 (1.08)n10.85.由计算器解得满足上述不等式的最小正整数由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n6,到到2015年底，当年建造的中、低价房的面积占年底，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于该年建造住房面积的比例首次大于85%.【名师点评名师点评】解决本题要明确是求和还是求通解决本题要明确是求和还是求通项，是等差模型还是等比模型项，是等差模型还是等比模型方法感悟方法感悟1等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格的升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方价格的升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题，解决方法是建立数列模型，应用数列面的问题，解决方法是建立数列模型，应用数列知识解决问题知识解决问题2将实际问题转化为数列问题时应注意：将实际问题转化为数列问题时应注意：(1)分清分清是等差数列还是等比数列；是等差数列还是等比数列；(2)分清是求分清是求an还是求还是求Sn，特别要准确确定项数，特别要准确确定项数n；(3)递推关系的发现是递推关系的发现是数列建模的重要方式数列建模的重要方式3明确各种银行存款所对应的数列模型：明确各种银行存款所对应的数列模型：(1)零存整取，在计算利息时，每次存入的钱不计零存整取，在计算利息时，每次存入的钱不计复利，它就是等差数列模型；复利，它就是等差数列模型；(2)定期自动转存型，在计算利息时，以复利计算，定期自动转存型，在计算利息时，以复利计算，是等比数列模型；是等比数列模型；(3)分期付款是一种新的付款方式，每月按利息的分期付款是一种新的付款方式，每月按利息的复利计算，分期所付的款连同到最后一次付款时所复利计算，分期所付的款连同到最后一次付款时所产生的利息之和，等于商品售价与从购物到最后一产生的利息之和，等于商品售价与从购物到最后一次付款时的利息之和次付款时的利息之和4数列是一类特殊函数，要注意函数思想、数列是一类特殊函数，要注意函数思想、方程思想、转化思想等方法的使用，注重思方程思想、转化思想等方法的使用，注重思维角度与解题途径的选择维角度与解题途径的选择知能优化训练知能优化训练本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束点此进入课件目录点此进入课件目录按按ESC键退出全屏播放键退出全屏播放谢谢使用谢谢使用