D习题课实用教案

一、重积分计算的基本一、重积分计算的基本(jbn)方法方法1. 选择选择(xunz)合适的坐标系合适的坐标系使积分使积分(jfn)域多为坐标面域多为坐标面(线线)围成围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2. 选择易计算的积分序选择易计算的积分序积分域分块要少积分域分块要少, 累次积分易算为妙累次积分易算为妙 .图示法图示法列不等式法列不等式法(从内到外从内到外: 面、线、点面、线、点)3. 掌握确定积分限的方法掌握确定积分限的方法 累次积分法累次积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共28页第一页，共29页。1. 计算计算(j sun)二重积分二重积分,d222DyxR其中其中(qzhng)D 为圆周为圆周xRyx22所围成的闭区域所围成的闭区域(qy).提示提示: 利用极坐标利用极坐标cosRr 原式原式cos022dRrrRr2033d)sin1(32R)34(313RyDR xo:Dcos0Rr 2222d机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共28页第二页，共29页。2. 把积分把积分(jfn)zyxzyxfddd),(化为三次化为三次(sn c)积分积分,其中其中(qzhng)由曲面由曲面222,xyyxz0,1zy提示提示: 积分域为积分域为:原式220d),(yxzzyxf及平面及平面220yxz12 yx11x12dxy11dx所围成的闭区域所围成的闭区域 .xyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共28页第三页，共29页。zD1zD23. 计算计算(j sun)积分积分2222RzyxzRzyx2222及,ddd2zyxz其中其中(qzhng)是两个球是两个球 ( R 0 )的公共的公共(gnggng)部分部分.提示提示: 由于被积函数缺由于被积函数缺 x , y ,原式原式 =zDyx1ddzzzRzRd)2(2022利用利用“先二后一先二后一” 计算方便计算方便 .zzRd202zDyx2ddzzRRd22zzRzRRd)(2222548059RRzyxo2R机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共28页第四页，共29页。4. 计算计算(j sun)三重积分三重积分,d)(22vzy其中其中(qzhng)是由是由 xoy平面(pngmin)上曲线xy225x所围成的闭区域所围成的闭区域 .提示提示: 利用柱坐标利用柱坐标sincosrzryxx原式原式522drx绕绕 x 轴旋转而成的曲面与平面轴旋转而成的曲面与平面5221 xr100 r20rr d100320d3250:zxyo5机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共28页第五页，共29页。5.计算计算(j sun)(j sun)积分积分Ddyx,)(其中其中(qzhng)D (qzhng)D 由由,22xy 12,4yxyx所围成所围成 .提示提示(tsh):(tsh):如图所示如图所示xy224246oyx,12DDD 内有定义且在2),(DyxyxfDyxd)(2d)(Dyx1d)(Dyx连续连续, ,所以所以yyxyx1222d)(46dyyyxyx422d)(24dy15115431D2DD机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共28页第六页，共29页。二、重积分计算的基本二、重积分计算的基本(jbn)技巧技巧分块积分法分块积分法利用利用(lyng)(lyng)对称性对称性1. 交换积分顺序交换积分顺序(shnx)的方法的方法2. 利用对称性或重心公式简化计算利用对称性或重心公式简化计算3. 消去被积函数绝对值符号消去被积函数绝对值符号4. 利用重积分换元公式利用重积分换元公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共28页第七页，共29页。axamyxamaxxfexaxxfey0)(0)(0d)()(d)(d证明证明(zhngmng):(zhngmng):提示提示(tsh): 左端积分区域如图左端积分区域如图,Doyxxy a交换积分交换积分(jfn)顺序即可证得顺序即可证得.1.2.,d)(1 222vzyxfyx求其中其中 是是1222zyx所围成的闭区域所围成的闭区域 ，f 连续。连续。提示提示: 被积函数在对称域被积函数在对称域 上关于上关于 x 为奇函数为奇函数 , 利用对称性可知原式为利用对称性可知原式为 0. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由球面由球面第8页/共28页第八页，共29页。R3. 在均匀在均匀(jnyn)的半径为的半径为R的圆形薄片的直径上的圆形薄片的直径上 , 要接上一要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形(jxng)薄片薄片,使整个使整个(zhngg)的另一边长度应为多少的另一边长度应为多少?22xRyboRyx提示提示: 建立坐标系如图建立坐标系如图.,0y由对称性知由对称性知Dyxydd022ddxRbRRyyx2332bRR 由此解得由此解得Rb32问接上去的均匀矩形薄片问接上去的均匀矩形薄片即有即有D薄片的重心恰好落在圆心上薄片的重心恰好落在圆心上 ,?b机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共28页第九页，共29页。例例1. 计算计算(j sun)二重积分二重积分,dd)(222yxeyxxIyxD其中(qzhng):(1) D为圆域为圆域; 122 yx(2) D由直线由直线1,1,xyxy解解: (1) 利用利用(lyng)对称性对称性.yox1DyxxIDdd20dd)(2122yxyxD10320dd21rr4yxeyxDyxdd22围成围成 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共28页第十页，共29页。yxeyxDyxdd122(2) 积分积分(jfn)域域如图如图:o1yx11D2Dxyxy , xy将将D 分为分为(fn wi),21DDyxxIDdd2yxeyxDyxdd22200dd1112xyxx32添加添加(tin ji)辅助线辅助线利用对称性利用对称性 , 得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共28页第十一页，共29页。例例2. 计算计算(j sun)二重积分二重积分,dd)35(Dyxyx其中其中(qzhng)D 是由曲是由曲044222yxyx所围成的平面所围成的平面(pngmin)域域 .解解:2223)2() 1(yx其形心坐标为其形心坐标为:面积为面积为:9ADyxxIdd5923) 1(5ADyxydd3积分区域积分区域线线形心坐标形心坐标2,1yxDyxxAxdd1DyxyAydd1AyAx35机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共28页第十二页，共29页。111 xyo例例3. 计算计算(j sun)二重积分二重积分,dd)sgn() 1 (2yxxyID,dd)22()2(22yxxyyxID122 yx在第一象限在第一象限(xingxin)部分部分. 解解: (1)2xy 21, DD两部分两部分(b fen), 则则1ddDyxI1112ddxyx322D2ddDyx2011ddxyx1011:yxD，其中其中D 为圆域为圆域把与把与D 分成分成1D作辅助线作辅助线机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共28页第十三页，共29页。xy1o1xy (2) 提示提示(tsh): 21, DD两部分两部分(b fen) 1DyxyxDdd)(22yxyxDdd)2(说明说明: 若不用若不用(byng)对称性对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号需分块积分以去掉绝对值符号. xy 作辅助线作辅助线2D将将D 分成分成Dyxdd2yxxyyxIDdd)22(222) 12(32机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共28页第十四页，共29页。例例4. 计算计算(j sun)二重积分二重积分 （教程（教程P321例例8（3）rdrrrd2/0cos022coscos解：解： 被积函数复杂被积函数复杂(fz)，难以积分，应作坐标变换。，难以积分，应作坐标变换。其相应其相应(xingyng)的二重积分区域为半圆形，故令的二重积分区域为半圆形，故令dxdyrdrdryrx,sin,cos原式原式=Dyxxxdd220102ddxxyxxx61)(102dxxx第15页/共28页第十五页，共29页。xysinxyo2例例5. 1d),(Dyxfyyxyxfarcsinarcsind),(10dyIxyyxfsin0d),(0d x0sind),(xyyxf2d xyyxyxfarcsin2arcsind),(01dy如图所示如图所示交换下列二次积分交换下列二次积分(jfn)(jfn)的顺序的顺序: :xyyxfxIsin020d),(d1D2D2d),(Dyxf解解:机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共28页第十六页，共29页。例例6.,)0(, 0)0(,)(存在设ffCuf，求)(1lim40tFtt)(tF解解: 在球坐标系下在球坐标系下 （教程（教程(jiochng)P331例例16）trrrftF02020d)(dsind)(trrrf02d)(440)(limttFt利用利用(lyng)(lyng)洛必达法则与导数定义洛必达法则与导数定义, ,得得3204)(4limtttftttft)(lim0)0(f0)0(Fzyxzyxftzyxddd)(2222222其中其中(qzhng) 0)0(f 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共28页第十七页，共29页。三、重积分三、重积分(jfn)的应用的应用1. 几何几何(j h)方面方面面积面积 ( 平面平面(pngmin)域或曲面域域或曲面域 ) , 体积体积 , 形心形心质量质量, 转动惯量转动惯量, 质心质心, 引力引力 证明某些结论等证明某些结论等 2. 物理方面物理方面3. 其它方面其它方面机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共28页第十八页，共29页。例例7.，上连续在设,)(baxf证明证明(zhngm(zhngmng)ng)babaxxfabxxfd)()(d)(22证证: :左端左端yyfxxfbabad)(d)(yxyfxfDdd)()(222baab利用yxyfxfDdd)()(222121xxfybabad)(d2yyfxbabad)(d22abxdxfba)(2xdxfabba)()(2byabxaD:= 右端右端ydyfba)(2机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第19页/共28页第十九页，共29页。例例8. 8. 若若 f(x) f(x)在在0,10,1上连续，证明上连续，证明(zhngmng)(zhngmng)（教程（教程P322P322）210110d)(21)()(xxfdyyfxfdxx证：证： （用原函数法）因（用原函数法）因 f(x) f(x)连续连续(linx)(linx)，故设，故设xxfxFxd)()(0.0)0(, )()(FxfxF110)()(xdyyfxfdx于是10)(dxxfyyfxd)(110)(xf1)(xyFdx1010)()()() 1 (dxxfxFdxxfF1022)(21)1 (xFF) 1 (212F210)(21dxxf第20页/共28页第二十页，共29页。ozyt)(tx)(tD例例9.设函数设函数(hnsh) f (x) 连续且恒大于零连续且恒大于零, )(22)(222d)(d)()(tDtyxfvzyxftFtttDxxfyxftGd)(d)()(2)(22其中其中(qzhng),),()(2222tzyxzyxt.),()(222tyxyxtD(1) 讨论讨论 F( t ) 在区间在区间(q jin) ( 0, +) 内的单调性内的单调性; (2) 证明证明 t 0 时时, . )(2)(tGtF(03考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共28页第二十一页，共29页。解解: (1) 因为因为(yn wi) ttrrrfrrrftF0220022020d)(ddsin)(dd)(ttrrrfrrrf02022d)(d)(2两边两边(lingbin)对对 t 求导求导, 得得202022d)(d)()()(2)(ttrrrfrrtrrftfttF, 0)(), 0(tF上在.), 0()(单调增加上在故tF机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第22页/共28页第二十二页，共29页。(2) 问题问题(wnt)转化为证转化为证 0)(2)(,0tGtFt时ttrrfrrrftG020220d)(2d)(d)(ttrrfrrrf0202d)(d)(即证即证 0d)(d)(d)(20202022tttrrrfrrfrrrf)(tg0d)()()(0222trrtrftftg,), 0()(单调增在故tg,0)(连续在又因ttg故有故有)0()0()(tgtg0因此因此(ync) t 0 时时, .0)(2)(tGtF因因机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共28页第二十三页，共29页。利用利用(lyng)“先二后一先二后一”计算计算.zyxVdddzDcyxzddd20abc34czczab022d)1 (2222221:czbyaxDz机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 例例10. 试计算试计算(j sun)椭球体椭球体1222222czbyax的体积的体积 V.解法解法1第24页/共28页第二十四页，共29页。*解法解法(ji f)2利用利用(lyng)三重积分换元法三重积分换元法. 令令(广义球坐标代换广义球坐标代换)cos,sinsin,cossinrczrbyrax则则),(),(rzyxJ,sin2rcba:zyxVdddrJdddabcabc34rrabcdddsin2rr d1020dsin20d20010 r机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第25页/共28页第二十五页，共29页。例例11：求均匀求均匀(jnyn)椭球体椭球体)(1:222222cbaczbyax对过原点的直线对过原点的直线(zhxin) x=y=z 的转动惯量。（教程的转动惯量。（教程P333）解：转动惯量的微元为区域解：转动惯量的微元为区域(qy)微元的质量与该微元与微元的质量与该微元与直线距离平方的乘积。直线距离平方的乘积。,),(zyxdvdv31 , 1 , 1rd3)()()(222yxxzzy第26页/共28页第二十六页，共29页。因此因此(ync)转动惯量转动惯量dvdJ2dvzxyzxyzyx)()(32222由由的对称性知的对称性知,0)(dvzxyzxy再作广义球坐标再作广义球坐标(zubio)代换，求得（教程例代换，求得（教程例12（4）)(158222cbaabcJ第27页/共28页第二十七页，共29页。感谢您的观看(gunkn)！第28页/共28页第二十八页，共29页。NoImage内容(nirng)总结一、重积分(jfn)计算的基本方法。积分(jfn)域分块要少, 累次积分(jfn)易算为妙 .。(从内到外: 面、线、点)。 累次积分(jfn)法。利用“先二后一” 计算方便 .。绕 x 轴旋转而成的曲面与平面。所围成的闭区域 ，f 连续。提示: 建立坐标系如图.。(2) D由直线。说明: 若不用对称性, 需分块积分(jfn)以去掉绝对值符号.。解： 被积函数复杂，难以积分(jfn)，应作坐标变换。解: 在球坐标系下 （教程P331例16）。第27页/共28页第二十九页，共29页。