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第五章第五章 机械能守恒定律机械能守恒定律考纲下载内容要求1.功和功率2.动能和动能定理3.重力做功与重力势能4.机械能守恒定律及其应用实验一 探究动能定理实验二 验证机械能守恒定律考纲解读 本章主要考查功、功率、动能、势能(包括重力势能和弹性势能)等基本概念，以及动能定理、重力做功的特点、重力做功与重力势能变化的关系及机械能守恒定律等基本规律。其中对于功的计算、功率的理解、做功与物体能量变化关系的理解及机械能守恒定律的适用条件是考查的重点内容。试题中所涉及到的基本方法有：用矢量分解的方法处理恒力功的计算，这里既可以将力矢量沿平行于物体位移方向和垂直于物体位移方向进行分解，也可以将物体的位移沿平行于力的方向和垂直于力的方向进行分解，从而确定出恒力对物体的作用效果；对于重力势能这种相对物理量，可以通过巧妙的选取零势能面的方法，从而使有关重力势能的计算得以简化 机械能这一章是力学知识的重点内容之一，这是建立在机械能这一章是力学知识的重点内容之一，这是建立在力的概念、动力学的知识和牛顿运动定律的基础之上，进一力的概念、动力学的知识和牛顿运动定律的基础之上，进一步研究力在空间的积累效果和物体运动状态变化之间的关系。步研究力在空间的积累效果和物体运动状态变化之间的关系。 复习时要抓住功是能量转化的量度这条主线，深刻理解复习时要抓住功是能量转化的量度这条主线，深刻理解动能定理与机械能守恒定律。动能定理的核心是合外力对物动能定理与机械能守恒定律。动能定理的核心是合外力对物体做功引起物体动能的变化，应用时注意选择研究过程；对体做功引起物体动能的变化，应用时注意选择研究过程；对于机械能守恒要注意引起机械能变化的原因是除了重力和系于机械能守恒要注意引起机械能变化的原因是除了重力和系统内弹簧弹力以外其他的力做功，还应看到它有多种表达形统内弹簧弹力以外其他的力做功，还应看到它有多种表达形式，要恰当灵活选取。功和功率的分析与计算也是一个考查式，要恰当灵活选取。功和功率的分析与计算也是一个考查重点，功要区分恒力功和变力功。重点，功要区分恒力功和变力功。考点考点1 1 功功学案学案1 功功 功率功率 一、判断功正、负的方法一、判断功正、负的方法 1.若物体做直线运动，依据力与位移的夹角来判断，此法常用于恒力若物体做直线运动，依据力与位移的夹角来判断，此法常用于恒力做功的判断。做功的判断。 2.若物体做曲线运动，依据若物体做曲线运动，依据F与与v的方向夹角来判断。当的方向夹角来判断。当 90 时，力时，力对物体做正功；对物体做正功；90 180 时，力对物体做负功；时，力对物体做负功； =90 时，力对物体不时，力对物体不做功。做功。 3.依据能量变化来判断：此法既适用于恒力做功，也适用于变力做功，依据能量变化来判断：此法既适用于恒力做功，也适用于变力做功，关键应分析清楚能量的转化情况。根据功是能量转化的量度，若有能量转关键应分析清楚能量的转化情况。根据功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。比如系统的机械能增加，说明力对系统做正功；化，则必有力对物体做功。比如系统的机械能增加，说明力对系统做正功；如果系统的机械能减少，则说明力对系统做负功。此法常用于两个相联系如果系统的机械能减少，则说明力对系统做负功。此法常用于两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断。的物体之间的相互作用力做功的判断。 一对作用力和反作用力做功的特点：一对作用力和反作用力做功的特点： 一对作用力和反作用力，可以两个力均不做功；可以一个一对作用力和反作用力，可以两个力均不做功；可以一个力做功，另一个力不做功；也可以一个力做正功，另一个力做力做功，另一个力不做功；也可以一个力做正功，另一个力做负功；也可以两个力均做正功或均做负功。一对互为作用力和负功；也可以两个力均做正功或均做负功。一对互为作用力和反作用力的摩擦力做的总功可能为零反作用力的摩擦力做的总功可能为零(静摩擦力静摩擦力)、也可能为负、也可能为负(滑动摩擦力滑动摩擦力)，但不可能为正。，但不可能为正。 二、功的计算方法二、功的计算方法 1.恒力做功恒力做功 对恒力作用下物体的运动，力对物体做的功用对恒力作用下物体的运动，力对物体做的功用W=Flcos 求解。该公式可写成求解。该公式可写成W=F(lcos )=(Fcos )l。即功等于力与力方向上位移的乘积或功等于位移与即功等于力与力方向上位移的乘积或功等于位移与位移方向上力的乘积。位移方向上力的乘积。 2.变力做功变力做功 (1)用动能定理用动能定理W=Ek或功能关系或功能关系W=E，即用能量的增量等效代换变，即用能量的增量等效代换变力所做的功。力所做的功。(也可计算恒力功也可计算恒力功) (2)当变力的功率当变力的功率P一定时，可用一定时，可用W=Pt求功，如机车以恒定功率启动时。求功，如机车以恒定功率启动时。 (3)将变力做功转化为恒力做功。将变力做功转化为恒力做功。 当力的大小不变当力的大小不变,而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功的大小等于力和路程的大小等于力和路程(不是位移不是位移)的乘积。如滑动摩擦力做功、空气阻力做功的乘积。如滑动摩擦力做功、空气阻力做功等。等。 当力的方向不变，大小随位移作线性变化时，可先求出力对位移的当力的方向不变，大小随位移作线性变化时，可先求出力对位移的平均值平均值F=(F1+F2)/2，再由，再由W=Flcos计算，如弹簧弹力做功。计算，如弹簧弹力做功。 (4)作出变力作出变力F随位移随位移l变化的图象，图象与位移轴所围的变化的图象，图象与位移轴所围的“面积面积”即为即为变力做的功。图中变力做的功。图中(a)图表示恒力图表示恒力F做的功做的功W，(b)图表示变力图表示变力F做的功做的功W。 3.总功的求法总功的求法 (1)总功等于合外力的功总功等于合外力的功 先求出物体所受各力的合力先求出物体所受各力的合力F合合，再根据，再根据W总总=F合合lcos 计算计算总功，但应注意总功，但应注意 应是合力与位移应是合力与位移l的夹角。的夹角。 (2)总功等于各力做功的代数和总功等于各力做功的代数和 分别求出每一个力做的功：分别求出每一个力做的功：W1=F1l1cos 1，W2=F2l2cos 2，W3=F3l3cos 3，再把各个外力的功求代数和即：再把各个外力的功求代数和即：W总总=W1+W2+W3+ 在求解总功时，第在求解总功时，第(1)(1)种情况一般用于各力都是恒力且种情况一般用于各力都是恒力且作用时间相同，第作用时间相同，第(2)(2)种情况一般用于各力分别作用或作用种情况一般用于各力分别作用或作用时间不同时。时间不同时。 【解析解析】设传送带速度大小为设传送带速度大小为v1，物体刚，物体刚滑上传送带时的速度大小为滑上传送带时的速度大小为v2。当。当v1=v2时，时，物体随传送带一起匀速运动，故传送带与物物体随传送带一起匀速运动，故传送带与物体之间不存在摩擦力，即传送带对物体始终体之间不存在摩擦力，即传送带对物体始终不做功，不做功，A正确。当正确。当v1v2时，物体相对传送带向左运动，物体受到的滑动摩擦力方向向右，时，物体相对传送带向左运动，物体受到的滑动摩擦力方向向右，则物体先做匀加速运动直到速度达到则物体先做匀加速运动直到速度达到v1，再做匀速运动，故传送带对物，再做匀速运动，故传送带对物体先做正功后不做功，体先做正功后不做功，B错误，错误，C正确。故正确答案为正确。故正确答案为A、C、D。是否做功的判断是否做功的判断【例例1】如图所示，物体沿弧形轨道滑下后进入足够长的水平传送带，如图所示，物体沿弧形轨道滑下后进入足够长的水平传送带， 传送带以图示方向匀速运转，则传送带对物体做功情况可能是传送带以图示方向匀速运转，则传送带对物体做功情况可能是( ) A.始终不做功始终不做功 B.先做负功后做正功先做负功后做正功 C.先做正功后不做功先做正功后不做功 D.先做负功后不做功先做负功后不做功ACD 1如图所示，小物块如图所示，小物块A位于光滑的斜面上，斜面位于光位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平面上，从地面上看，小物块沿斜面下滑的过滑的水平面上，从地面上看，小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力程中，斜面对小物块的作用力( )A.垂直于接触面，做功为零垂直于接触面，做功为零B.垂直于接触面，做功不为零垂直于接触面，做功不为零C.不垂直于接触面，做功为零不垂直于接触面，做功为零D.不垂直于接触面，做功不为零不垂直于接触面，做功不为零B功的计算功的计算【例例2】如图所示，质量为如图所示，质量为m的物块相对斜面静止，斜面倾角为的物块相对斜面静止，斜面倾角为 ，它们一起向右，它们一起向右 匀速运动位移为匀速运动位移为L，则摩擦力、支持力和重力分别对物块做的功为多少？，则摩擦力、支持力和重力分别对物块做的功为多少？ 在应用公式在应用公式W=Flcos 时要注意时要注意 与题中所给的角的含义不一定相同。与题中所给的角的含义不一定相同。在求恒力做的功时也可以利用在求恒力做的功时也可以利用W=Fcos l=F分分l来求，来求，F分分指沿位移方向的指沿位移方向的分力。再就是分力。再就是W=Flcos =Fl分分，也就是用力乘以沿力方向的分位移。，也就是用力乘以沿力方向的分位移。 【答案答案】mgLsin cos -mgLsin cos 0 【解析解析】因物块向右匀速运动，由平衡条件可得因物块向右匀速运动，由平衡条件可得 f=mgsin ,FN=mgcos f和和FN与位移的夹角分别为与位移的夹角分别为 和和90 + 故摩擦力做的功为故摩擦力做的功为Wf=fLcos =mgLsin cos 支持力做的功为支持力做的功为 WN=FNLcos(90 + )=-mgLsin cos 因重力方向竖直向下，而位移方向水平向右，因重力方向竖直向下，而位移方向水平向右，故重力做功为零，即故重力做功为零，即WG=0。 2一个质量为一个质量为4 kg的物体静止在足的物体静止在足够大的水平地面上，物体与地面够大的水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数间的动摩擦因数 =0.1。从。从t=0开开始，物体受一个大小和方向呈周始，物体受一个大小和方向呈周期性变化的水平力期性变化的水平力F作用，力作用，力F随随时间的变化规律如图所示。求时间的变化规律如图所示。求83 s内物体的位移大小内物体的位移大小和力和力F对物体所做的功。对物体所做的功。(g取取10m/s2)【答案答案】167 m 676 J 所以机动车达最大速度时所以机动车达最大速度时a=0，F=f，P=Fvm=fvm，这一起动过程的，这一起动过程的v-t关系如图所示，其中关系如图所示，其中vm=P/f。1.以恒定功率起动以恒定功率起动加速度逐渐减小加速度逐渐减小的变加速运动的变加速运动2.以恒定加速度起动以恒定加速度起动名师支招：名师支招： 1.机车以恒定加速度起动时，匀加速运动结束的时刻的速度，并未达到整个过程的最大速度。机车以恒定加速度起动时，匀加速运动结束的时刻的速度，并未达到整个过程的最大速度。 2.P=Fv中中F是牵引力并非合力，这一点在计算时应特别注意。是牵引力并非合力，这一点在计算时应特别注意。vPFv速度Ffam0mFfavv当时达最大mv保持匀速FFfam不变不变v PFv0PPav额当仍增大Pv 额一定PFvFfam额0mFfavv当时达最大mv保持匀速直线运动匀速直匀速直线运动线运动这一运动过程的这一运动过程的v-t关系如图所示，其中关系如图所示，其中v0=P额额/F,vm=P额额/f。考点考点2 2 功率功率平均功率与瞬时功率平均功率与瞬时功率【例例3】质量为质量为m的物体静止在光滑水平面上，从的物体静止在光滑水平面上，从t=0时刻开始受到水平力的作用。力的大小时刻开始受到水平力的作用。力的大小F与与 时间时间t的关系如图所示，力的方向保持不变，则的关系如图所示，力的方向保持不变，则( ) A.3t0时刻的瞬时功率为时刻的瞬时功率为5F02t0/(2m) B.3t0时刻的瞬时功率为时刻的瞬时功率为15F02t0/(m) C.在在t=0到到3t0这段时间内，水平力的平均功率为这段时间内，水平力的平均功率为23F02t0/(4m) D.在在t=0到到3t0这段时间内，水平力的平均功率为这段时间内，水平力的平均功率为25F02t0/(6m) 【解析解析】02t0时间内的加速度为时间内的加速度为a=F0/m 2t03t0时间内的加速度为时间内的加速度为a =3F0/m 所以所以3t0时刻物体的速度为时刻物体的速度为 v=a2t0+a t0=F0/m2t0+(3F0/m)t0=(5F0/m)t0 所以所以3t0时刻的瞬时功率为时刻的瞬时功率为P=3F0v=(15F02/m)t0，B正确。正确。 02t0时间内的位移为时间内的位移为x=(1/2)a(2t0)2=2F0t02/m 2t03t0时间内的位移为时间内的位移为 x =a2t0t0+(1/2)a t02=(2F0/m)t02+(1/2)(3F0/m)t02=7F0/(2m)t02 从从t=0到到3t0这段时间内的水平力做的功为这段时间内的水平力做的功为 W=F0 x+3F0 x =2F02t02/m+21F02/(2m)t02=25F02t02/(2m) 这段时间内的平均功率为这段时间内的平均功率为 P =W/(3t0)=25F02t0/(6m)，D正确。正确。BD (1)区分所求功率是平均功率还是瞬时功率是区分所求功率是平均功率还是瞬时功率是分析解答功率的首要问题。分析解答功率的首要问题。 (2)对应于某一过程的功率为平均功率，对应对应于某一过程的功率为平均功率，对应于某一时刻的功率为瞬时功率。于某一时刻的功率为瞬时功率。 (3)瞬时功率等于力与物体在沿该力方向上分瞬时功率等于力与物体在沿该力方向上分速度的乘积。速度的乘积。 3如图所示，一根不可伸长的轻绳两端如图所示，一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球各系一个小球a和和b，跨在两根固定在，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上，质量为同一高度的光滑水平细杆上，质量为3m的的a球置于地面上，质量为球置于地面上，质量为m的的b球球从水平位置静止释放，当从水平位置静止释放，当a球对地面球对地面压力刚好为零时，压力刚好为零时，b球摆过的角度为球摆过的角度为 。下列结论正确的是下列结论正确的是( )A. =90B. =45C.b球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率先增大球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率先增大 后减小后减小D.b球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率一直增球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率一直增 大大A C【例例4】汽车发动机的功率为汽车发动机的功率为60 kW，若其总质量为，若其总质量为5 t，在水平路面上行驶时，所受阻力恒为车重的，在水平路面上行驶时，所受阻力恒为车重的0.1倍，倍，g取取 10 m/s2。 (1)汽车保持其额定功率不变，从静止起动后能达到的最大速度是多大？当汽车的加速度为汽车保持其额定功率不变，从静止起动后能达到的最大速度是多大？当汽车的加速度为2 m/s2时，速度时，速度多多 大？当汽车的速度为大？当汽车的速度为6m/s时，加速度是多大？时，加速度是多大？ (2)若汽车从静止开始，保持以若汽车从静止开始，保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，问这一过程能维持多长时间？的加速度做匀加速直线运动，问这一过程能维持多长时间？ 【解析解析】(1)汽车保持额定功率起动，其运动中各量的变化情况为：汽车保持额定功率起动，其运动中各量的变化情况为： 第一阶段，为加速度逐渐减小的加速循环过程第一阶段，为加速度逐渐减小的加速循环过程 这个循环过程结束时，即经过一段的末状态为这个循环过程结束时，即经过一段的末状态为a=0(此时此时F=f)，速度达到最大值。，速度达到最大值。 第二阶段，汽车以最大速度匀速运动。当第二阶段，汽车以最大速度匀速运动。当F=f=kmg时，速度最大为时，速度最大为vm。 由由P=Fv=fvm得得 vm=P/f=P/(kmg)=60103/(0.1510310) m/s=12 m/s。 当当a=2 m/s2时，由时，由F-f=ma得得 F1=ma+f=ma+kmg =51032 N0.1510310 N =1.5104 N 由由P=F1v1得得 v1=P/F1=60103/(1.5104) m/s=4 m/s，即当汽车加速度为，即当汽车加速度为2 m/s2时，其速度为时，其速度为4 m/s。 当当v2=6 m/s时，由时，由P=F2v2得得 F2=P/v2=60103/6 N=1.0104 N 由由F2-fma2得得 a2=(F2-f )/m=(1.01040.1510310)/(5103) m/s2=1 m/s2 即当汽车速度为即当汽车速度为6 m/s时，其加速度为时，其加速度为1 m/s2。P FvFfmaPvFa 不变只要只要a0 (2)汽车以恒定加速度起动过程各量变化情况如下：汽车以恒定加速度起动过程各量变化情况如下： 第一阶段第一阶段(匀加速运动匀加速运动) 发动机的功率增大到额定功率时，匀加速运动结束。发动机的功率增大到额定功率时，匀加速运动结束。 第二阶段：由于第一阶段结束时，仍有第二阶段：由于第一阶段结束时，仍有F-f=ma，即，即Ff，汽车仍要加速，但这时功率已达，汽车仍要加速，但这时功率已达到额定功率，不能再增大，故以后应是加速度逐渐减小的加速运动，回到第到额定功率，不能再增大，故以后应是加速度逐渐减小的加速运动，回到第(1)问中的第一阶段问中的第一阶段第二阶段，最后匀速运动。第二阶段，最后匀速运动。 故第二阶段的末状态为故第二阶段的末状态为a=0(F=f)，速度达到最大，速度达到最大vm。 第三阶段，汽车以最大速度第三阶段，汽车以最大速度vm匀速运动。匀速运动。 要求汽车匀加速运动的时间，需先求出匀加速运动的末速度要求汽车匀加速运动的时间，需先求出匀加速运动的末速度v1 由由F-fma得得 F=ma+f=ma+kmg 由由P=Fv1得得 v1=P/F=P/(ma+kmg)=60103/(51030.50.1510310) m/s=8 m/s 由由v1=at得得 t=v1/a=8/0.5 s=16 s 即汽车以即汽车以0.5 m/s2的加速度匀加速运动的时间为的加速度匀加速运动的时间为16 s。 汽车起动问题有两种情况：以恒定功率起动和以恒定牵引力起动。汽车起动问题有两种情况：以恒定功率起动和以恒定牵引力起动。 对于汽车以恒定功率起动掌握两个问题的计算方法：对于汽车以恒定功率起动掌握两个问题的计算方法： 由加速度求速度问题，先由牛顿第二定律求牵引力，再由由加速度求速度问题，先由牛顿第二定律求牵引力，再由P=Fv求对应的速度。求对应的速度。 由速度求加速度的问题，先由由速度求加速度的问题，先由P=Fv求牵引力，再由牛顿第二定律求对应的加速度。求牵引力，再由牛顿第二定律求对应的加速度。 要知道要知道a=0时汽车速度最大，可根据的方法求最大速度。时汽车速度最大，可根据的方法求最大速度。 对于汽车匀加速起动问题，要明确匀加速的末状态功率达到额定功率，此时并不是汽车所能对于汽车匀加速起动问题，要明确匀加速的末状态功率达到额定功率，此时并不是汽车所能达到的最大速度，其后还有一个加速度减小的加速过程，这个过程结束时，汽车才达到最大速达到的最大速度，其后还有一个加速度减小的加速过程，这个过程结束时，汽车才达到最大速度。度。【答案答案】 1600m 一列车的质量是一列车的质量是5.0105 kg，在平直的轨道上以额定功率，在平直的轨道上以额定功率3 000 kW加速行驶，当速度由加速行驶，当速度由10 m/s加速到所能达到的最加速到所能达到的最大速度大速度30 m/s时，共用了时，共用了2 min，则在这段时间内列车前进，则在这段时间内列车前进的距离是多少？的距离是多少？(设阻力恒定设阻力恒定)4 4
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