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反比例函数反比例函数温故而知新反比例函数的图象和性质反比例函数的图象和性质形状形状 反比例函数的图象是由两支曲线组成的反比例函数的图象是由两支曲线组成的. .因此因此称反比例函数的图象为双曲线称反比例函数的图象为双曲线; ;位置位置 当当k0k0时时, ,两支曲线分别位于第一两支曲线分别位于第一, ,三象限内三象限内; ;当当k0k0k0时时, ,在每一象限内在每一象限内,y,y随随x x的增大而减小的增大而减小; ; 当当k0k0k0时，时，y y随随x x的增大而减小的增大而减小; ;当当k0k0k0时，时，y y随随x x的增大而增大的增大而增大; ;当当k0k0时，时，y y随随x x的增大而减小的增大而减小. .k0k0 x0 0) )k k( (k kx xy y或或k kx x或或y yx xk ky y1 1反比例函数的图象既是反比例函数的图象既是轴对称图形轴对称图形又又是中心对称图形。是中心对称图形。有两条对称轴：有两条对称轴：直直线线y=x和和 y=-x。对称中心是：原点。对称中心是：原点xy01 2y = kxy=xy=-x1.1.在某一电路中在某一电路中, ,保持电压保持电压U U不变不变, ,电电流流I(I(安培安培) )与电阻与电阻R(R(欧姆欧姆) )之间的关系之间的关系是是:U=IR,:U=IR,当电阻当电阻R=5R=5欧姆时欧姆时, ,电流电流I=2I=2安培安培. .则电流则电流I(I(安培安培) )是电阻是电阻R(R(欧姆欧姆) )的的 函数函数, ,且且I I与与R R之间的函数之间的函数关系式是关系式是 . .R10I则则垂足为垂足为轴的垂线轴的垂线作作过过有有上任意一点上任意一点是双曲线是双曲线设设,) 1 (:,)0(),(AxPkxkynmP|21|2121knmAPOASOAPP(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx面积性质面积性质（一）（一）).( |,)2(如图所示如图所示则则垂足分别为垂足分别为轴的垂线轴的垂线轴轴分别作分别作过过矩形矩形knmAPOASBAyxPOAPBP(m,n)AoyxBP(m,n)AoyxB面积性质（二）面积性质（二）P(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx想一想想一想若将此题改为过若将此题改为过P点点作作y轴的垂线段轴的垂线段,其结其结论成立吗论成立吗?|21|2121knmAPOASOAPP(m,n)oyxP/yP(m,n)oxP/以上几点揭示了双曲线上的点构成的几以上几点揭示了双曲线上的点构成的几何图形的一类性质何图形的一类性质. .掌握好这些性质掌握好这些性质, ,对对解题十分有益解题十分有益.(.(上面图仅以上面图仅以P P点在第一象点在第一象限为例限为例).).做一做(一)1.1.已知已知ABCABC的面积为的面积为12,12,则则ABCABC的高的高h h与它的底边与它的底边 a 的函数关系式为的函数关系式为 . .a24h 做一做(二)1.1.如果反比例函数如果反比例函数 的图象位于的图象位于第二、四象限，那么第二、四象限，那么m m的范围为的范围为 . .x3m1y31312.2.下列函数中下列函数中, ,图象位于第二、四象限图象位于第二、四象限的有的有 ；在图象所在象限内，；在图象所在象限内，y y的的值随值随x x的增大而增大的有的增大而增大的有 . .32x(5)y32x(4)y3x2(3)y32x(2)y3x2(1)y3.3.已知反比例函数已知反比例函数 (k0)(k0)当当x x0 0时，时，y y随随x x的增大而减小的增大而减小，则一次函数则一次函数y=kxy=kx-k-k的图象不经过第的图象不经过第 象限象限. .xky xyok0k0 ,-k0二4.4.已知点已知点A(-2,yA(-2,y1 1),B(-1,y),B(-1,y2 2) )都在反比例函数都在反比例函数 的图象上的图象上, ,则则y y1 1与与y y2 2的大小关系的大小关系( (从大到小从大到小) )为为 . .x4y y1 y24.4.已知点已知点A(-2,yA(-2,y1 1),B(-1,y),B(-1,y2 2) )都在反比例函数都在反比例函数 的图象上的图象上, ,则则y y1 1与与y y2 2的大小关系的大小关系( (从大到小从大到小) )为为 . .x4y x xk ky y(k(k0)0)y2 y14.4.已知点已知点A(-2,yA(-2,y1 1),B(-1,y),B(-1,y2 2) )都在反比例函数都在反比例函数 的图象上的图象上, ,则则y y1 1与与y y2 2的大小关系的大小关系( (从大到小从大到小) )为为 . .x4y x xk ky y(k(k0)0)A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )且且x x1 10 0 x x2 2yxox x1 1x x2 2Ay1y2By1 0y24.4.已知点已知点A(-2,yA(-2,y1 1),B(-1,y),B(-1,y2 2) )都在反比例函数都在反比例函数 的图象上的图象上, ,则则y y1 1、y y2 2与与y y3 3的大小关系的大小关系( (从大到小从大到小) )为为 . .x4y A(-2,yA(-2,y1 1),B(-1,y),B(-1,y2 2),C(4,y),C(4,y3 3) )yxo-1y1y2AB-24 4Cy3y3 y1y2做一做(三)PDoyx1.1.如图如图, ,点点P P是反比例函数是反比例函数 图象上图象上的一点的一点,PDx,PDx轴于轴于D.D.则则PODPOD的面积的面积为为 . .xy2(m,n)13k. 3|,|kkSAPCO矩形,四象限图像在二又._, 3,. 2函数的解析式是则这个反比例阴影部分面积为轴引垂线轴向分别由图像上的一点是反比例函数如图yxPxkyPACoyxP.3xy解析式为解:由性质(2)可得A.S = 1 B.1S2_._.S, S,面面ABCABC的的, , 于x于xBCBC, ,y yACAC平平 的任意的任意O O于原于原上上的的x x1 1y yB B是是A,A, ,3. 3.如如则 积为 轴 轴两点对称关 图图平行行于点像函数 ACoyxB解:由上述性质(3)可知,SABC = 2|k| = 2C市2000年)市2000年)4.(4.(武武汉如图：A、C是函数 的图像上任意两点，过A作x轴的垂线，垂足为B。过C作y轴的垂线，垂足为D。记RtABO的面积为 。RtOCD的面积为 。 则xy12s1sA.S1S2 B.S1S2 C.S1 = S2D.S1和S2的大小关系不能确定ABoyCD DS1S2 C.,21|21,21|21,21|21321111ASSSkSkSkSOOCBOBAOA故选即解:由性质(1)得A._,)0(1,. 5321111111则有面积分别为的记边结三点轴于交轴引垂线经过三点分别向的图像上有三点在如图SSSOCCOBBOAAOCOBOACBAxxCBAxxyA.S1 = S2 = S3 B. S1 S2 S3 C. S3 S1 S2 S3 BA1oyxACB1C1S1S3S2. 2,8) 1 ( :xyxy解. 4, 2; 2, 4yxyx或解得).2, 4(),4 , 2(BA.)2( ;,) 1 (.,28,. 6的面积两点的坐标求两点交于的图像与一次函数反比例函数已知如图AOBBABAxyxyAyOBxMNAyOBxMN. 642OAMOMBAOBSSS).0 , 2(, 2,0, 2:)2(Mxyxy时当解法一. 2OM.,DxBDCxAC轴于轴于作, 2, 4BDAC, 2222121BDOMSOMB. 4422121ACOMSOMACDAyOBxMN. 624ONAONBAOBSSS).2 , 0(, 2,0, 2:)2(Nyxxy时当解法二. 2ON.,DyBDCyAC轴于轴于作, 4, 2BDAC, 4422121BDONSONB. 2222121ACONSONACD.)2(;) 1 (,23,) 1(:)2002.(7的面积的坐标和交点求直线与双曲线的两个求这两个函数的解析式且轴于点在第二象限的交点与直线是双曲线的顶点如图年成都AOCA、SBxABkxyxkyAABORtABOAyOBxCD. 6,412,)2003.(8纵坐标是点的并且两点的图象相交于的图象与一次函数已知反比例函数如图年海南PQPkxyxy.)2(;) 1 (的面积求式求这个一次函数的解析POQyxoPQ. 2,8,)2003.(9的纵坐标都是的横坐标和点且点两点的图象交于的图象与反比例函数已知一次函数如图年成都BABAxybkxy.)2(;) 1 ( :的面积一次函数的解析式求AOBAyOBx.21):(4,)2004.(10OBABOBBxABAAxkyOAO如果垂足为轴作过点在第一象限内交于与双曲线直线是坐标原点如图年凉山统考题.),1 , 0()2(;) 1 (的面积求轴交于点与轴交于点与直线求双曲线的解析式AODDxCyACyxoADCB._)0()1 ()1999.(11图象的是在同一坐标系中的大致和如图能表示年哈尔滨kxkyxkyOxyACOxyDxyoOxyBD.,.0,0._, 2)2000.(12图象在第二四象限图象在第一三象限的增大而减小随在每个象限内时当反比例函数那么的增大而减小随已知一次函数年河南DCxyByxAxkyxykxyyOx（D）._,)0()0(.132112象是标系内的大致图那么它们在同一直角坐的增大而增大的函数值都随与反比例函数若正比例函数xkykxkyxkOxyACOxyDxyoOxyBDo(1) (2) (3) (4) V(km/h)Y/LoV(km/h)Y/LoV(km/h)Y/LoV(km/h)Y/L（05江西省中考题）已知甲,乙两地相距skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地.如果汽车每小时耗油量为aL,那么从甲地到乙地的总耗油量y(L)与汽车的行驶速度v(km/h)的函数图象大致是( ).实际应用实际应用xyo14.14.A=90A=900 0,B=60B=600 0, ,AB=1AB=1, ,斜边斜边BCBC在在x x轴上，点轴上，点A A在函数在函数 图象上图象上, ,且且. .求求: :点点C C的坐标的坐标 ABC1600Dx3y 221232323,x32321,0)21C(xyo1600D212323,x323,0)27(2AB1C1,0)21(AB2C223,0)21(C1,0)27(C24.4.A=90A=900 0,B=60B=600 0, ,AB=1AB=1, ,斜边斜边BCBC在在上，点上，点A A在函数在函数 图象上图象上. .求求: :点点C C的坐标的坐标 x3y xy,0)21(B1C1A1,0)27(B2C2B3A2C3,0)27(-,0)21(-C4B4)27(0,B5C5A3B6C6)21(0,C6A4B7C7)27(0,-B8C8)21(0,-温故而知新反比例函数的图象和性质反比例函数的图象和性质形状形状 反比例函数的图象是由两支曲线组成的反比例函数的图象是由两支曲线组成的. .因此因此称反比例函数的图象为双曲线称反比例函数的图象为双曲线; ;位置位置 当当k0k0时时, ,两支曲线分别位于第一两支曲线分别位于第一, ,三象限内三象限内; ;当当k0k0k0时时, ,在每一象限内在每一象限内,y,y随随x x的增大而减小的增大而减小; ; 当当k0k0时时, ,在每一象限内在每一象限内,y,y随随x x的增大而增大的增大而增大. .对称性对称性 反比例函数的图象是关于原点成中心对称的反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形，又是轴对称图形。图形，又是轴对称图形。任意一组变量的乘积是一个定值任意一组变量的乘积是一个定值, ,即即xy=kxy=k.,0.x ykykkyxx一般地 如果两个变量之间的关系可以表示成为常数的形式,那么称 是 的反比例函数反比例函数的定义反比例函数的定义
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