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数列的概念及通项公式数列的概念及通项公式 1 11 1112 48 16322 3,33,333,3333,33333.写出下列各数列的一个通项公式：，】，【1，例 1( 1)2101(1)23nnnnnaa ；【解析】 已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑： 负号用(1)n或(1)n1来调节，这是因为n和n1奇偶相间； 分式形式的数列，分子、分母分别找通项，要充分借助分子、分母的关系； 对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列与等比数列和其他方法来解决此类问题虽无固定模式，但也有规律可找，主要靠观察、比较、归纳、转化等方法 571 42242 10,11,10,11,10,111.写出下列各数列的一个通项公式：， ，【变式， ；练，习】 13( 1)10()1.112()nnnnannan为正奇数为正偶数【解析】由数列的前由数列的前n n项的和项的和S Sn n，求通项公式求通项公式【例2】已知数列an前n项的和Sn3n2n1，求此数列的通项公式an. 1111111162(321) 32(1) 12 32.61.2 322*nnnnnnnnnaSnaSSnnanann N当 时， ；当时， 由于 不适合此式，所解，析以 【】 已知数列an的前n项和Sn，求通项公式an的方法是：首先求出a1，再由anSnSn1(n2)求an.但这样求得的an是从第2项开始的，未必是数列的通项公式，所以必须验证a1是否适合，如果适合，则写成anSnSn1(nN*)，否则，只能写成an 1112,*nna nSSnn N的形式【变式练习2】已知数列an前n项的和为n2pn1，数列bn前n项的和为3n22n.若a10b10，求数列an的通项公式an. 221022102*11(1) (1)(1) 1 21(2)19(32 ) 3(1)2(1) 65(2)55.361235(2)3838(1).235(2,*)nnnnnnanpnnp nnp napbnnnnnnbanSnnannnaSnannnNN由已知得 ，则 ； ，则所以数列的前 项和 ，则 ，由于 不适合上式，所以 【解析】由简单的递推公由简单的递推公式，求通项公式式，求通项公式【例3】求下列各数列的通项公式：(1)a12，an23n1an1(n2)；(2)Sn2an1. 1111221323143112311111112 3(2)2 3(2)232 32132 33(13)2(3 333)233.1312112(22nnnnnnnnnnnnnnnnnaanaanaaaaaaaaaanSaaanaSSa由 ，得 ，即得 ， ， ， ， ，将以上各式相加，得 当 时， ，解得 ；当时， 【解析】111111)(21)2221( 1) 2.nnnnnnnaaaaaaa，即 又 ，所以 由递推公式求通项公式，一般要掌握累加法、累乘法、构造新数列的方法、利用通项与前n项和的关系等几种方法【变式练习3】求下列各数列的通项公式：(1)已知a11，(2n1)an(2n3)an1(n2)；(2)a13，an12an5. 1111122(21)(23)23213.21 212552(5)582251.22nnnnnnnnnnnnnnnanaananannaaaaaa 由，得，应用累乘法可以求得 由 ，得 ，所以 ，即 【】解析1.已知数列an的前n项和Snlog2n2，则a5a6a7a8_. 【解析】a5a6a7a8S8S42.2 121212.(3)124_nnnnnnnaaanaaabba已知 ， ， ，则数列的前 项之积为18123412323551.88bbbb逐个求得 ， ， ， ，所以【积为解析】 11*2033.031()nnnnaaaaanaN 已知数列满足 ，则等于_3-1234562023 6203303333.aaaaaaaaa因为 ， ， ， ， ， ，所以此数列的周期为 ，故【】解析11 344.,22 816已知一个数列的前几项为：则它的一个通项公式为_1( 1)2nnnna111 34,22 816( 1)2nnnna【由前几项得解】析 数列的概念命题以填空题居多，主要从四个方面考查：一是理解数列的定义及分类，能用函数的观点认识数列；二是会用通项公式写出数列的任意项，也要会根据给出数列的前几项归纳出数列的一个通项公式；三是会根据递推公式写出数列的前几项，并归纳出数列的通项公式；四是会由数列的前n项和公式求出数列的通项公式值得注意的是，数列与函数、不等式结合的题目在近几年的高考试卷中频频出现 1数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的一个非空真子集1,2,3，n)；数列中的项必须是数 2数列的图象是一系列孤立的点 3数列的单调性其实是一个恒成立问题，往往可以用来求参数的取值范围 2 4()12112( 1) nnnnnn根据数列的前几项写出数列的通项公式 要观察、分析给出的数的特征，找出数列的一个构成规律，归纳 猜想 出通项公式如果能记住诸如， ， ，等一些特殊的数列，对求通项公式是很有帮助的，再学会一些基本的变形就会如虎添翼了 2 要注意的是并非所有的通项公式都存在，数列的通项公式也未必唯一 111 2 5()nnnnaaf naf na由递推关系求数列的通项公式，方法有二： 求出数列的前几项，再猜想出数列的一个通项公式，但做解答题时要用数学归纳法证明所得公式的正确性 将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列的直接用公式求 后面再介绍 ；变成 型的用累加法；变成型的用累乘法 1111 62.12nnnnnnnnnnnnnnSf naSSanaSaSaSSaSa由数列的前 项和公式求数列的通项公式，方法有二： 已知 ，则用 求 ，但要注意这一条件，且 已知 与 的关系式，可用 转化为 或 的递推关系，再求
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