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专题一 函数与导数专题八 数学思想与方法1数学研究的对象是数量关系和空间形式，即“数”与“形”两个方面“数”与“形”两者之间并非是孤立的，而是有着密切的联系在一维空间，实数与数轴上的点建立了一一对应的关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立了一一对应的关系，进而可以使函数解析式与函数图象、方程与曲线建立起一一对应的关系，使数量关系的研究可以转化为图形性质的研究这种解决数学问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，即是数形结合的思想 2321数形结合的主要解题方式有：数转化为形，即根据所给出的“数”的特点，构造符合条件的几何图形，用几何方法去解决形转化为数，即根据题目特点，用代数方法去研究几何问题数形结合，即用数研究形，用形研究数，相互结合，使问题变得简捷、直观、明了数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，尤其是某些选择题、填空题，数形结合非常有效 063033446()A.B.C.1“”“”D.一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示某天 点到 点，该水池的蓄水量如图丙所示给出以下 个论断： 点到 点只进水不出水； 点到 点只出水不进水； 点到 点不进水不出水，则一、由 形 到 数 的转化例1一定正确的是 (0)(0)0()A.3,00,3 B.(3)0,3 C.(3)(3)2D.3,0(3)fxfxx fxfx 函数的图象如图所示，为奇函数，其定义域为，则不等式的解集是 ， 0334.46020.00300003.1A.A.2 xfxfxxfxxfxxxfxx由甲、乙图知：进水速度比出水速度要快，所以 点到 点只进水不出水， 点到 点也可能进水，但总畜水量降低 点到 点也可能进、出水量相当，一定正确的是，即当时，则，由图象知；当时，则，由解图象故知析：选故选在题设情境为图象时，常需进行“形”向“数”的转化、即将形所含的信息转化为数和式的表达式或关系式，然后推【评】理求解点 1220,1log11,2()A0B0C0D0230330102021(fxfxxfxxfxfxfxfxfxxyxyxyyzaxya R定义在 上的函数，既是奇函数又是周期函数，若的最小正周期为 ，且当时，则在区间上是 增函数且增函数且二、减函数且减函数且已知变量 、 满足约束条由“数”到“形”件，若目标函数的其中转化例)3,0_a仅在点处取得最大值，则 的取值范围为 0,101,0021,202303111,0B.222fxfxfxfxfxfxfxfxaaxya 由已知易知，在上单调递增，且 ，又为奇函数，在上单调递增，且 ，由于是周期为 的周期函数，由周期函数的图象特征知，在上单调递增，且，作出可行域如图中阴影部分因为 是目标函数的等值线的斜率的相反数，由图可知此斜率小于直线的斜率时，目标函数仅在点取选项 正确解析：所以，大即值，得最问题涉及与周期函数、函数的零点、三角函数、不等式、线性规划、解析几何等有关的含参变量综合问题时，利用数形结合思想与方法探究“即快【点评】又准” 22221111111233213101,0()41.2123xyabFabMNMNlxMNeFMMFM NFNNSSSMNkSS S过椭圆的右焦点的直线 长轴除外 与椭圆相交于、两点，自、向直线 ：作垂线，垂足分别为、，若椭圆的离心率求此椭圆的方程；记、的面积分别为 、，不论直线的斜率 取任意非零实数，是否存在实数 ，都有成立？若存在，求出三、的值数形结合综合应用；若不存例在，说明理由 22211221112112222222211232()()(4)(4)11113412(34)61.412390cceabacaM xyN xyMyNyxmyxmyMNxmyxmyxyxmymyxy由已知半焦距，又，则，从而，可得椭圆方程为如图，设，直线则，的方程为，联立方程组，消去 得解析：，1221221311221212222634.934114422133481(1)(34)myymy ymS Sxyxymymyy ymm则因为，2222121212222221319(3)424324(1)(34)4.4Syyyyy ymmSS S，所以有，即存在这样的 1232“”SSS本题由高考题改编而成，第问在转化 、 、 时，恰当运用数形结合的方法，将其表示为点的纵坐标的关系式，从而使问题推算简单，充分说明在求解有关解析几何问题时，数形结合给解题带【点评来的 便利】 0002ln123.2(11 )21e4pfxpxxxpfxffxpeg xxxfxg xp已知函数若，求曲线在点 ，处的切线方程；若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；设函数，若在 ， 上至少存在一点 ，使得成立，求实数 的例取值范围 22222222ln221222ln102(11 )12222.(11 )02122.1222.pf xxxxffxxxf xfff xfyxppxxpfxypxxxx当时，函数，曲线在点 ，处的切线的斜率为从而曲线在点 ，处的切线方程为解，即析： 22min12(0)0(0)021(0)11)0100(0)h xpxxpf xh xph xpxxpxph xppppph xfxf xp令，要使在定义域 ，内是增函数，只需在 ，内恒成立由题意，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，所以，只需，即时，所以在 ，内为增函数，正实数 的取值，范围是 minmax2221ee212e2,2e021001e021e3200eg xxxg xxg xg xph xpxxpxyphf xxph xxxxh xfxx 因为在 ， 上是减函数，所以时，；时，即，当时，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在 轴的左侧，且，所以在， 内是减函数当时，因为， ，所以， max1e01e1021011e011()2ln2ln .211e1112lne2lnee22f xxpf xf xfpxxxf xp xxxxxxpf xxxxee此时，在， 内是减函数故当时，在 ， 上单调递减，不合题意；当时，由，所以又由知当时，在 ， 上是增函数，所以，不合题意； maxminmaxm n2i2121e1021e1e1e(e)2lne214(e)2lne214()1pf xfg xf xg xxf xfpg xeeppeeeep当时，由知在 ， 上是增函数，又在 ， 上是减函数，故只需， ，而，即，解得，所以实数，的取值范围是 0ln()00152f xxf xxax af xxf xaRRR已知定义域为 的偶函数，当时，方程在 上恰有 个不同的实数解求时，函数的解析式；备选求实数 的题 取值范围 0ln120.f xfxxxf xfaxxx设，则因为为偶函数，所以【解因为为析】偶函数， 00055000ln0ln10.lnf xxf xxf xxxf xyxyaxayxyaxayx所以的根关于对称由恰有 个不同的实数解知，个实根中有两个正根，两个负根，一个零根，且两个正根和两个负根互为相反数，所以原命题可转化为：当时，的图象与 轴恰有两个不同的交点下面研究时的情况：的零点个数与直线交点的个数所以当时，递增，直线下降，故交点的个数为 ，不合题意，所以由几何意义知2yax与直线交点的个数为 时，ln1(ln )ln|1ln111(0)ln1ex tyaxxyxttkxtytxttyaxatttaeae 直线的变化应是从 轴到与相切之间的情形设切点 ，所以切线方程为由切线与重合知，故实数 的取值，范围为数形结合的原则：(1)等价性原则 在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的向导(2)双向性原则 在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的例如：在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化 (3)简单性原则 就是找到解题思路之后，至于是用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单，而不是去刻意追求代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法
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