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线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入3.2利用向量解决 空间角问题江苏如东马塘中学 张伟锋线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入 空间向量的引入为代数方法处理立体几空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决量的办法解决空间角空间角问题。问题。123( ,)aa a a1.若，123( ,),bb b b则：数量积： a b 1 1223 3aba ba b夹角公式： cosa b 111222( ,), (,)A x y zB xyz2.若，则：212121(,)xx yy zzAB 线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入| |a bab 1 12 23 3222222123123aba ba baaabbb| | cos,aba b异面直线所成角的范围： 0,2ABCD1D,CD AB 与 的关系？思考：思考：,DC AB 与 的关系？结论：结论：coscos,CD AB |题型一：线线角题型一：线线角线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入例一：090 ,Rt ABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中点、 ，11BDAF求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F题型一：线线角题型一：线线角线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则： CxyzA1AB1BC1C1D1Fxyz11CC (1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D所以：11(,0,1),2AF 111( ,1)22BD 11cos,AF BD 1111|AF BDAFBD 113041053421BD1AF所以 与 所成角的余弦值为3010题型一：线线角题型一：线线角练习：题型一：线线角题型一：线线角在长方体 中，1111ABCDABC D58,ABAD = ，14,AA 1112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(5,2,4),AM 1(0,8, 4),AD 10AM AD 1.ADAMADANM（2）求与平面所成的角.1(0,0,4),A(0,8,0),D(5,2,4)M题型二：线面角题型二：线面角直线与平面所成角的范围： 0,2ABO, n BA 与 的关系？思考：思考：n结论：结论：sincos, n AB |题型二：线面角题型二：线面角线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入例二：题型二：线面角题型二：线面角在长方体 中，1111ABCDABC D58,ABAD = ，14,AA 112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(0,8,0),AD 1(0,8, 4),AD ADANM（2）求与平面所成的角.1(0,0,4),A(0,8,0),D线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入1cos,AD AD 2 55ADANM与平面所成角的正弦值是2 55练习： 1111ABCDABC D的棱长为1.111.B CAB C求与 面所 成 的 角题型二：线面角题型二：线面角正方体ABCD1A1B1C1D线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入题型三：二面角题型三：二面角二面角的范围：0, 1n2n 2n 1ncos12|cos,|n n cos12|cos,|n n ABO关键：观察二面角的范围关键：观察二面角的范围线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入题型三：二面角题型三：二面角,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0例三如所示，ABC D 是一直角梯形， ABC =90S平面求面与面所成二面角的余弦值ABCDS,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0例三如所示， A B C D 是一直角梯形，A B C = 90S平面求面与面所成二面角的余弦值ABCDSxyz解： 建立空直角坐系A-xyz如所示,A( 0, 0, 0) ,11(1,0),(0, 1)22CDSD C ( -1, 1, 0) ,1,0),2D ( 0,(0,0,1)S11(0,0)2SBAnAD易知面的法向量设平面2( , , ),SCDnx y z 的法向量22,nCD nSD 由得：0202yxyz22yxyz2(1,2,1)n 任取1212126cos,3|n nn nnn 63即所求二面角得余弦值是小结：小结：1.异面直线所成角： coscos,CD AB |2.直线与平面所成角： sincos, n AB |3.二面角：cos12|cos,|n n cos12|cos,|n n 关键：观察二面角的范围ABCD1DABOn1n2n
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