中考数学复习 第五章基本图形 第22课 特殊三角形课件

第22课特殊三角形 基础知识 自主学习1等腰三角形： (1)性质： 相等， 相等，底边上的高线、中线、 顶角的角平分线“三线合一”； (2)判定：有两边相等、两角相等或两线合一的三角形是等腰 三角形2等边三角形： (1)性质： 相等，三内角都等于 ； (2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是60的等腰三 角形是等边三角形要点梳理要点梳理两腰两腰两底角两底角三边三边603直角三角形：在ABC中，C90. (1)性质：边与边的关系：(勾股定理)a2b2 ； (2)角与角的关系：AB ； (3)边与角的关系： 若A30，则ac，bc； 若ac，则A30； 若A45，则abc； 若ac，则A45； 斜边上的中线mcR.其中R为三角形外接圆的半径 (4)判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形 的三边长a、b、c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三 角形；如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么 这个三角形是直角三角形c290难点正本疑点清源 1等腰三角形的特殊性 “等边对等角”是今后我们证明角相等的又一个重要依据“等角对等边”可以判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据 等边三角形是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，等边三角形拥有等腰三角形的所有性质，但不分顶角、底角、腰、底边因为等边三角形任何一个角都为60，任何一条边都可看做腰或底边 解答等腰三角形的有关问题时，常作辅助线，构造出“三线合一”的基本图形在添加辅助线时，要根据具体情况而定，表达辅助线的语句，不能限制条件过多，如一边上的高并且要平分这条边；作一边上的中线并且垂直平分这条边；作一个角的平分线并且垂直对边等等，这些都是不正确的 2直角三角形的特殊性 直角三角形是重要的基本图形之一，它的特征和识别应用非常广泛，把勾股定理运用到实际生活中解决实际问题，常常渗透着数形结合、方程思想 在利用勾股定理时，一定要看清题中所给的条件是不是直角三角形，所给的边是直角边还是斜边，如果题目无法确定是直角边还是斜边，则需要分类讨论勾股定理的逆定理是把数转化为形，是通过计算判定一个三角形是否为直角三角形 实际问题可根据实际情况转化为直角三角形去解，图中无直角时，可通过添加辅助线来构造直角三角形若图形中有特殊角，如30、45、60的角，在作辅助线时，要注意保留其完整性，以便应用特殊三角形的性质基础自测1(2011济宁)如果一个等腰三角形的两边长分别是5 cm和6 cm，那么此三角形的周长是() A15 cm B16 cm C17 cm D16 cm或17 cm 答案D 解析这个三角形的周长是55616或66517.2(2011铜仁)下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是() A等腰三角形两底角相等 B等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互 相重合 C等腰三角形是中心对称图形 D等腰三角形是轴对称图形 答案C 解析等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形3(2011芜湖)如图，已知ABC中，ABC45， F是高AD和BE的交点，CD4，则线段DF的长度为() A2 B4 C3 D4 答案B 解析在RtABD中，ABD45，可得ADBD，易证BDF ADC，所以DFCD4.5(2011鸡西)如图，在RtABC中，ABCB，BOAC，把ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连结DE、EF.下列结论： tanADB2； 图中有4对全等三角形； 若将DEF沿EF折叠， 则点D不一定落在AC上； BDBF； S四边形DFOESAOF， 上述结论中正确的个数是() A1个 B2个 C3个 D4个答案答案C题型分类 深度剖析【例 1】(1)方程x29x180的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为() A12 B12或15 C15 D不能确定 答案C 解析解方程x29x180，得x13，x26，周长为36615，应选C.(2)如果等腰三角形的一个内角是80，那么顶角是_度 答案80或20 解析顶角是80，或当底角是80时，顶角是18028020.探究提高在等腰三角形中，如果没有明确底边和腰，某一边可以是底， 也可以是腰同样，某一角可以是底角也可以是顶角，必须仔细分类讨 论题型一等腰三角形有关边角的讨论题型一等腰三角形有关边角的讨论 知能迁移1(1)(2011株洲)如图， ABC中，ABAC，A36，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC. 求ECD的度数； 若CE5，求BC长解解法一： DE垂直平分AC， CEAE，ECDA36. 解法二： DE垂直平分AC， ADCD，ADECDE90. 又DEDE，ADE CDE，ECDA36. 解法一： ABAC，A36，BACB72. ECDA36， BCEACBECD36， BEC180367272B， BCEC5. 解法二： ABAC，A36， BACB72， BECAECD72， BECB， BCEC5.(2)(2011烟台)等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为_ 答案4或6 解析等腰三角形的底边为4；等腰三角形的两腰为4时，则底边等于14446.题型二等腰三角形的性质【例 2】如图，在等腰RtABC中，BAC90，点D是BC的中点，且AEBF，试判断DEF的形状解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！解：连接AD，在等腰RtABC中， AD是中线， ADBC，DAEBAC45，ADBD. 又BC45， BDAE.2分 在BDF和ADE中， BDF ADE(SAS)4分 DFDE，12. 又3190， 2390，即EDF90. DEF也是等腰直角三角形6分探究提高作等腰三角形的底边中线，构造等腰三角形“三线合一”的基本图形，是常见的辅助线的作法之一知能迁移2 已知：如图，D是等腰ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF.当D点在什么位置时，DEDF？并加以证明解当点D在BC的中点时，DEDF. ABAC，BC. DEAB，DFAC， DEBDFC90. 点D是BC的中点， BDCD， BDE CDF(AAS)， DEDF.题型三等边三角形【例 3】(1)已知：如图，P、Q是ABC边BC上两点，且BPPQQCAPAQ，求BAC的度数解APPQAQ，APQ是等边三角形 PAQ60，APQ60. APBP，BBAP6030. 同理：CCAQ30， BAC306030120.(2)(2010大兴安岭)如图所示，已知ABC和DCE均是等边 三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点 O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG， 则下列结论： AEBD； AGBF； FGBE； BOCEOC. 其中正确结论的个数() A1个 B2个 C3个 D4个 答案D解析由BCD ACE， 可得AEBD成立； 由ACG BCF， 可得AGBF成立； ACG BCF， CGCF， 又ACD60， FCG是等边三角形， CFG60ACB， FGBE成立； 过C画CMBD，CNAE，垂足分别是M、N， BCD ACE， CMCN， 点C在BOE的角平分线上，OC平分BOE， 即BOCEOC成立探究提高在解题的过程中要充分利用等边三角形特有的性质，每个角都相等，每条边都相等，这可以让我们轻松找到证明全等所需的条件知能迁移3如图，在等边ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BDAE，AD与CE交于点F. (1)求证：ADCE； (2)求DFC的度数解(1)在等边ABC中， ABAC，BACCBA60， 又BDAE， ABD CAE， ADCE. (2)ABD CAE， BADECA. DFC是AFC的外角， DFCECADAC BADDAC BAC60.题型四直角三角形、勾股定理【例 4】(1)如图，已知ABC中，ABC90，ABBC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则AC的长是() A2 B2 C4 D7 答案A(2)如图，在钝角三角形ABC中，BC9，AB17， AC10，ADBC，交BC的延长线于D，求AD 的长探究提高 在线段的长无法直接求出时，可利用另一线段把这一线段表示出来，然后利用勾股定理得到一个方程，最后得解，这是利用勾股定理解决线段长的常用方法知能迁移4(1)如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和11，则b的面积为() A4 B6 C16 D55 答案C(2)(2011鸡西)已知三角形相邻两边长分别为20 cm和 30 cm，第三边上的高为10 cm，则此三角形的面积 为_cm2.答题规范考题再现在ABC中，高AD和高BE相交于H，且BHAC，求ABC的度数学生作答 解：如图1， 在RtBHD和RtACD中， CCAD90， CHBD90， HBDCAD. 又BHAC，BHD ACD， BDAD. ADB90，ABC45. 9三角形的高可能在形外 图1规范解答 解：这里的ABC有两种情况，ABC是锐角(图1)或 ABC是钝角(图2) 如图2，在RtBHD和RtACD中， 易得DCADHB. 又ACBH， DHB DCA， ADDB， DBA45， ABC135. 综上：ABC45或ABC135.图2老师忠告1同学们都知道，三角形的高有可能在形外，但在实际解题中，常因忽略这一点而造成错误为什么常常会忽略三角形的高可能在形外呢？一个主要原因就是同学们头脑中已形成思维定势，一画三角形就不由自主地画成锐角三角形，从而造成漏解的失误2在解答几何问题时，如果没有给出具体的图形，都应该先考虑是否有多种情况，有些命题在一种情况下成立是真命题，而在另一种情况下就可能不成立，是假命题10易出错的等腰三角形问题 考题再现已知ABC是等腰三角形，由A所引BC边上的高恰好等于BC边长的一半，试求BAC的度数学生作答 图3规范解答 解：题目中并没有指明BC是等腰ABC的底或腰 当BC为底时，可求得BAC90； 当BC为腰时，还应对B的大小进行讨论：图4 图5 老师忠告1对于等腰三角形问题，当给出的条件(如边、角情况)不明时，一般要分情况逐一考察，否则，容易出现错解或漏解的错误2当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角为直角时，腰上的高与另一腰重合；当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外这是在解与等腰三角形腰上的高有关的问题时，应考虑的几个方面. 思想方法 感悟提高方法与技巧 1. 掌握分类的思想和方法，可深入理解，有效记忆，便于应用例如：从三角形三边长的比较，可把三角形分为不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形又分为等边三角形和其它等腰三角形；而从最大内角的大小出发，又可以把三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 由于两种分类的标准不同，所以一个具体的三角形，在两种分类中，必各属于其中的一类如等腰直角三角形，在第一种分类中，属于其它等腰三角形；在第二种分类中，属于直角三角形 2. 在一个三角形中“等边对等角，等角对等边”，当所要求证的两边、两角位于同一个三角形中，利用等腰三角形来论证它们的相等关系是常用的方法 3. 等腰三角形“三线合一”的性质，运用广泛而又灵活，在于三线中只要有任两线重合，则可判定三角形等腰，即第三线也重合 4. 证明等边三角形的方法一般有两种：一是直接论证三边或三角相等；二是先证明是等腰三角形，再证明其中一角为60. 5. 在直角三角形中斜边上中线等于斜边的一半，同时这条中线将直角三角形分成了两个等腰三角形，这一特征在解题中时有运用；在直角三角形中，含锐角30、45这两类是较为特殊的，它们的边、角有一些特殊的数量关系，应该熟记在心失误与防范 1在解有关等腰三角形的问题时，有一种习惯上的认识，总认为腰大于底，这是造成错解的原因实际上底也可以大于腰，此时也能构成三角形 2有关等腰三角形的问题，若条件中没有明确底和腰时，一般应从某一边是底还是腰这两个方面进行讨论，还要特别注意构成三角形的条件；同样，在底角没有被指定的等腰三角形中，应就某角是顶角还是底角进行讨论我们要细心谨慎，注意运用分类讨论的方法，将问题考虑全面，不能想当然 3在已知三角形三边的前提下，判断这个三角形是否为直角三角形，首先要确定三条边中的最大边，再根据勾股定理的逆定理来判定在解题时，往往受思维定式的影响，误认为如果是直角三角形，则c就是斜边，从而造成误解完成考点跟踪训练22