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第二十一讲 圆（三）1.本课时的重点是正多边形的有关计算方法，圆本课时的重点是正多边形的有关计算方法，圆及简单组合图形的周长与面积的计算方法及简单组合图形的周长与面积的计算方法.2.正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形边形.3.正多边形与圆的关系正多边形与圆的关系. 要点、考点聚焦要点、考点聚焦4.正多边形都是轴对称图形，一个正正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心边形的中心.如如果正果正n边形有偶数条边，那么它又是中心对称图边形有偶数条边，那么它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心形，它的中心就是对称中心. 5.平面镶嵌，用形状相同或不同的平面封闭图形，平面镶嵌，用形状相同或不同的平面封闭图形，把一块地面既无缝隙，又不重叠地全部覆盖，在几把一块地面既无缝隙，又不重叠地全部覆盖，在几何里叫镶嵌何里叫镶嵌.6.6.有关圆周长、弧长及圆、扇形、弓形面积公式有关圆周长、弧长及圆、扇形、弓形面积公式C=2=2R=dl= =S S=R=R2 2S S扇扇= = = = lR180Rn 360Rn2 21当弓形所含的弧是劣弧时，当弓形所含的弧是劣弧时，弓形弓形=S扇扇-S当弓形当弓形所含的弧是优弧时，所含的弧是优弧时，S弓形弓形=S+S7.中考命题方向及题型设置正多边形和圆，平面镶中考命题方向及题型设置正多边形和圆，平面镶嵌，弧长、扇形、弓形、圆的周长和面积这部分内嵌，弧长、扇形、弓形、圆的周长和面积这部分内容在中考中主要是计算题，题型以填空和选择题为容在中考中主要是计算题，题型以填空和选择题为主主.1.正六边形的边长是正六边形的边长是4 cm，则它的面积是，则它的面积是( )A.4 cmA.4 cm2 2 B.6 cmB.6 cm2 2C.8 C.8 cmcm2 2 D.24 cmD.24 cm2 23333D2.一个正多边形的内角和为一个正多边形的内角和为720，这个正多边，这个正多边形是形是 ( )A.A.正方形正方形 B.B.正五边形正五边形C.C.正六边形正六边形 D.D.正八边形正八边形C 课前热身课前热身3.如果扇形的半径是如果扇形的半径是6，所含的圆心角是，所含的圆心角是150，那么扇形的面积是那么扇形的面积是 ( ) A. B. C. D.C4.如图，正方形的边长为如图，正方形的边长为a，分别以两个对角顶点，分别以两个对角顶点为圆心，为圆心，a为半径画弧，则图中阴影部分的面积为为半径画弧，则图中阴影部分的面积为 ( ) BA.4-2A.4-2 B.2 B.2C C. .2 2 D.D.（） 课前热身课前热身5.下列形状的地砖中，不能把地面作既无缝隙又下列形状的地砖中，不能把地面作既无缝隙又不重叠覆盖的地砖是不重叠覆盖的地砖是 ( ) A.正三角形正三角形 B.正方形正方形 C.正五边形正五边形 D.长方形长方形C 课前热身课前热身【例【例1】圆心角都是】圆心角都是90的扇形的扇形OAB与扇形与扇形OCD如图如图所示那样叠放在一起，连结所示那样叠放在一起，连结AC、BD(1)求证：求证：AOC BOD；(2)若若OA=3 cm，OC=1 cm，求阴影部分的面积，求阴影部分的面积. 典型例题解析典型例题解析【解析】【解析】(1)同圆中的半径相等，即同圆中的半径相等，即OA=OB，OC=OD.再由再由AOB=COD=90得得1=2，所以所以AOC BOD(2)阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用面积公式求解，通常有两条思路，一是转化成规面积公式求解，通常有两条思路，一是转化成规则图形面积的和、差；二是进行图形的割补则图形面积的和、差；二是进行图形的割补.此此题是利用图形的割补，把图形题是利用图形的割补，把图形OAC放到放到OBD的位置的位置(因为因为AOC BOD)，则阴影部分的面，则阴影部分的面积为圆环的面积积为圆环的面积 S S阴阴=S=S扇扇AOBAOB-S-S扇扇CODCOD= (OA= (OA2 2-OC-OC2 2)= (9-1)=)= (9-1)=4141【例【例2】正六边形内接于半径为】正六边形内接于半径为8 cm的圆，求这个的圆，求这个正六边形的面积为多少正六边形的面积为多少? 典型例题解析典型例题解析【解析】正多边形的有关计算，只要抓住一个Rt，如图，OA是半径，OC是边心距，AC= AB= ，AOC= ，所以此题中OA=8，要求S6，只求出AB、OC即可.2112nan21 变形：变形：1.正六边形内接于半径为正六边形内接于半径为8 cm的圆，求这个圆的的圆，求这个圆的外切正三角形的边长外切正三角形的边长.2.正六边形内接于半径为正六边形内接于半径为8 cm的圆，求这个圆的的圆，求这个圆的内接正四边形的边长内接正四边形的边长.由由AOCAOC= = 6060=30=30， ( (说明：对于正六边形，由边长、半径围成的三角形说明：对于正六边形，由边长、半径围成的三角形是等边三角形是等边三角形) )S S6 6=6=6S SOABOAB=6=621636021 39683421 148,4 32ACOAABOC【例【例3】一块等边三角形的木板，边长为】一块等边三角形的木板，边长为1，现将木，现将木板沿水平线翻滚板沿水平线翻滚(如图如图)，那么，那么B点从开始至结束所走点从开始至结束所走过的路径长度为过的路径长度为 ( )A. B.C. D.233423 典型例题解析典型例题解析B故故选选B. 【解析】这个题目有些同学一看，认为没有选项，【解析】这个题目有些同学一看，认为没有选项，他说从他说从B到到B，长度为，长度为3.其实不然，从其实不然，从B到到B再到再到B这是一个两次旋转的过程，相当于以这是一个两次旋转的过程，相当于以C为中心，为中心，B绕点绕点C旋转旋转120，再绕点，再绕点A同方向旋转同方向旋转120，因，因此此B所走过的路径长是两段圆弧长，即所走过的路径长是两段圆弧长，即 l=l=3418011201801120 1.正多边形的计算，通常构造直角三角形，解直角正多边形的计算，通常构造直角三角形，解直角三角形三角形.2.在一个顶点处的正多边形镶嵌，当用不同正多边在一个顶点处的正多边形镶嵌，当用不同正多边形时，要求它们的边长要相等，在一个顶点周围的形时，要求它们的边长要相等，在一个顶点周围的正多边形各内角和为正多边形各内角和为360.3.弧长公式，扇形的面积公式均可借助于圆周长弧长公式，扇形的面积公式均可借助于圆周长公式及圆面积公式来记忆，公式及圆面积公式来记忆， 360R2nl 弧弧360RnS2 扇扇1.若一个正多边形的每一个内角都等于若一个正多边形的每一个内角都等于120,则它是则它是 ( ) A.正方形正方形 B.正五边形正五边形 C.正六边形正六边形 D.正八边形正八边形 C课时训练课时训练2.如图，在同心圆中，两圆半径分别为如图，在同心圆中，两圆半径分别为2、1，AOB=120，则阴影部分的面积为，则阴影部分的面积为 ( ) A.4 B.2A.4 B.2C.4/3 D.C.4/3 D.B 4.如图，一把纸折扇完全打开后，外侧两竹条如图，一把纸折扇完全打开后，外侧两竹条AB和和AC的夹角为的夹角为120，AB长为长为25cm，贴纸部分宽，贴纸部分宽BD为为17cm，贴纸部分的面积为，贴纸部分的面积为 cm2（结（结果用果用表示）表示）.B3.千秋拉绳长千秋拉绳长3米，静止时踩板离地面米，静止时踩板离地面0.5米，某小米，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离地面朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离地面2米（左米（左右对称），则该秋千所荡过的圆弧长为右对称），则该秋千所荡过的圆弧长为 ( ) A. B.2 C. D.A. B.2 C. D. 23 34 187课时训练课时训练5.下列图形中能够用来作平面镶嵌的是下列图形中能够用来作平面镶嵌的是( ) A.正八边形正八边形 B.正七边形正七边形 C.正六边形正六边形 D.正五边形正五边形C课时训练课时训练6.两枚如图同样大的硬币，其中一个固定，另一两枚如图同样大的硬币，其中一个固定，另一个沿其周围滚动，滚动时，两枚硬币总是保持有个沿其周围滚动，滚动时，两枚硬币总是保持有一点相接触一点相接触(外切外切)，当滚动的硬币沿固定的硬币，当滚动的硬币沿固定的硬币周围滚动一圈，回到原来位置时，滚动的那个硬周围滚动一圈，回到原来位置时，滚动的那个硬币自转的周数为币自转的周数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4BB课时训练课时训练7.如图，扇子的圆心角为如图，扇子的圆心角为x,余下扇形的圆心角为余下扇形的圆心角为y,x与与y的比通常按黄金比来设计的比通常按黄金比来设计.这样扇子的外观较这样扇子的外观较美观。若取黄金比为美观。若取黄金比为0.6，则，则x为为 ( ) A.216 B.135 C.120 D.108
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