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第十二讲 四边形（四） 1复习多边形的内角和和外角和及其应用复习多边形的内角和和外角和及其应用. 2复习平面图形密铺的相关知识复习平面图形密铺的相关知识.复习目标 1n边形的内角和公式为（边形的内角和公式为（n-2）180. 2多边形的外角和等于多边形的外角和等于360. 3多边形的密铺（镶嵌）：多边形的密铺（镶嵌）： （1）一种多边形的密铺：三角形、四边形、）一种多边形的密铺：三角形、四边形、正六边形正六边形. （2）两种多边形的密铺：正三角形与正方形、）两种多边形的密铺：正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正方形与正八边形正方形与正八边形.知识要点 例例1 在凸十边形的所有内角中在凸十边形的所有内角中, 锐角的个数最多锐角的个数最多是是( ) A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 解析解析:因为多边形的外角和是一个和边数无关的因为多边形的外角和是一个和边数无关的定值定值,这个问题可从外角的角度来考查这个问题可从外角的角度来考查.如果多边如果多边形的内角中有形的内角中有3个以上是锐角个以上是锐角,则与它们相邻的外则与它们相邻的外角中就有角中就有3个以上是钝角个以上是钝角,外角和将超过外角和将超过360. 答案答案:C.典型例题 例例2 如图如图,把把ABC纸片沿纸片沿DE折叠折叠,当点当点A 落在四边形落在四边形BCDE内部时内部时,则则A与与1+2之间有一种数量关系始终之间有一种数量关系始终保持不变保持不变. 请试着找一找这个规律请试着找一找这个规律,你发现的规律是你发现的规律是( ) A.A=1+2 B.2A=1+2; C.3A=21+2 D.3A=1+22 解析解析:由题意可知由题意可知AED= , ADE= ,所以由三角形的内角和所以由三角形的内角和 等于等于180, 即可找到即可找到A与与1+ 2的关系的关系. 答案答案:B.典型例题018012DCBAE12 例例3 一幅美丽的图案一幅美丽的图案, 在某个顶点处由四个边长相等的正在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成多边形镶嵌而成,其中的三个分别为正三边形、正四边形、其中的三个分别为正三边形、正四边形、正六边形正六边形,那么另外一个为那么另外一个为( ) A.正三边形正三边形 B.正六边形正六边形 C.正五边形正五边形 D.正六边形正六边形 解析解析:正三角形的一个内角等于正三角形的一个内角等于60,正四边形的一个内角正四边形的一个内角等于等于90, 正六边形的一个内角等于正六边形的一个内角等于120,而而60+90+120+90=360, 所以另一个只能取正四边所以另一个只能取正四边形形. 答案答案:B.典型例题 例例4 下列图形中能够用来作平面镶嵌的是下列图形中能够用来作平面镶嵌的是( ) A.正八边形正八边形 B.正七边形正七边形 C.正六边形正六边形 D.正五边形正五边形 解析解析:要使用同一种正多边形作平面镶嵌要使用同一种正多边形作平面镶嵌,必须满足必须满足正多边形的几个内角之和为正多边形的几个内角之和为360,正多边形中只有正多边形中只有正三角形正三角形,正方形和正六边形满足这个条件正方形和正六边形满足这个条件,其他的其他的正多边形都不满足正多边形都不满足. 答案答案:C 点评点评:正确理解正三角形、正方形、正六边形乃至正确理解正三角形、正方形、正六边形乃至任意三角形、任意三角形、 四边形能镶嵌平面的理由，是解决四边形能镶嵌平面的理由，是解决这类问题的关键这类问题的关键.典型例题 例例5 在日常生活中在日常生活中,观察各种建筑物的地板观察各种建筑物的地板,就能发现地板常用各种正多就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案边形地砖铺砌成美丽的图案,也就是说也就是说,使用给定的某些正多边形使用给定的某些正多边形,能够拼能够拼成一个平面图形成一个平面图形,既不留一丝空白既不留一丝空白,又不互相重叠又不互相重叠(在数学上叫做平面镶嵌在数学上叫做平面镶嵌),这显然与正多边形的内角大小有关这显然与正多边形的内角大小有关,当围绕一点拼在一起的几个多边形当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角的内角加在一起恰好组成一个周角(360)时时,就拼成了一个平面图形就拼成了一个平面图形. (1)请你根据图中的图形请你根据图中的图形,填写表中空格填写表中空格:典型例题正多边形边数3456n正多边形每个内角度数6090108120 (2)如果限于用一种正多边形镶嵌如果限于用一种正多边形镶嵌,哪几种正多边形能镶哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形嵌成一个平面图形? (3)从正三角形、正四边形、正六边形中选一种从正三角形、正四边形、正六边形中选一种,再在其再在其他正多边形中选一种他正多边形中选一种, 请画出用这两种不同的正多边形请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成一个平面图形镶嵌成一个平面图形, 并探索这两种正多边形共能镶嵌并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形成几种不同的平面图形?说明你的理由说明你的理由.典型例题 解解:(1) (2)答答:正三角形、正四边形正三角形、正四边形(或正方形或正方形)、正六边形等、正六边形等. (3)如图如图:正方形和正八边形镶嵌构成平面图形正方形和正八边形镶嵌构成平面图形. 设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有m个正方形的角个正方形的角,n个正八边形的角个正八边形的角,那么那么m、n应是方程应是方程m 90+n135=360的整数解的整数解,即即2m+3n=8,且其整数解只有一组且其整数解只有一组m=1,n=2,所以符合条件所以符合条件的图形只有一种的图形只有一种.典型例题0(2)180nn 一、选择题一、选择题 1.一个六边形最少可以分割为三角形的个数是（一个六边形最少可以分割为三角形的个数是（ ） A.3B.4C.5 D.6 2.如果一个正多边形的一个内角是如果一个正多边形的一个内角是135，则这个正多边，则这个正多边形是（形是（ ） A.正五边形正五边形 B.正六边形正六边形 C.正八边形正八边形D.正十边形正十边形 3.如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1440，则这个多边形的外角是（则这个多边形的外角是（ ） A.30B.36C.40D.45能力训练 4.四边形的四个内角可以都是（四边形的四个内角可以都是（ ） A.锐角锐角B.直角直角C.钝角钝角D.不能确定不能确定 5.在下面给出的同一种平面图形中，不能进行密在下面给出的同一种平面图形中，不能进行密铺的是（铺的是（ ） A.三角形三角形 B.四边形四边形 C.正五边形正五边形 D.正六边形正六边形能力训练 二、填空题二、填空题 6.若一个角的两边与另一个角的两边分别垂若一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，则这两个角大小关系是直，则这两个角大小关系是_. 7.一个多边形的内角和等于它的外角和的一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，倍，那么这个多边形是那么这个多边形是_边形边形. 8.若多边形的每一个外角都是若多边形的每一个外角都是15，则这个，则这个多边形的边数是多边形的边数是_.能力训练 9.假若将假若将n(n3)边形切去一角，则切去后的多边形切去一角，则切去后的多边形的内角和与边形的内角和与n边形的内角和之间的关系为边形的内角和之间的关系为_. 10.用形状、大小完全相同的用形状、大小完全相同的_平面图形平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的形的_.能力训练 三、解答题三、解答题 11.一个一个n边形的每一个内角都相等，它的一个边形的每一个内角都相等，它的一个外角与一个内角度数之比是外角与一个内角度数之比是1 3，求这个，求这个n边边形的边数形的边数. 12.已知一个多边形有两个内角为直角，其余已知一个多边形有两个内角为直角，其余各角的外角都等于各角的外角都等于45，那么这个多边形的边，那么这个多边形的边数是多少？数是多少？ 13.用边长相同的正三角形和正方形两种平面用边长相同的正三角形和正方形两种平面图形是否能进行密铺？如果能，请画出草图，图形是否能进行密铺？如果能，请画出草图，说明铺法；如果不能，请说明理由说明铺法；如果不能，请说明理由.能力训练 14.用边长相同的正八边形和正方形两种平面图形是用边长相同的正八边形和正方形两种平面图形是否能进行密铺？如果能，请画出草图，说明铺法；如否能进行密铺？如果能，请画出草图，说明铺法；如果不能，请说明理由果不能，请说明理由.能力训练 15.我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料进行密铺方形或全用正六边形形状的材料进行密铺.问：问： （1）能否全用正五边形的材料进行密铺，为什么？）能否全用正五边形的材料进行密铺，为什么？ （2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料进行密铺的方案，如果能，请把你想到的多边形）的材料进行密铺的方案，如果能，请把你想到的方案画成草图方案画成草图. （3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料进行密）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料进行密铺的草图铺的草图.能力训练 一、一、1.B 2.C 3.B 4.B 5.C 二、二、6.相等或互补相等或互补 7.十十 8. 24 9.大大180或小或小180或相等或相等 10.一种或几种一种或几种 镶嵌镶嵌 三、三、11. 8 12. 6 13.能进行密铺（图略）能进行密铺（图略） 同一拼接点处有两个正同一拼接点处有两个正方形和三个正三角形方形和三个正三角形. 14.能进行密铺（图略）能进行密铺（图略） 同一拼接点处有两个正同一拼接点处有两个正八边形和一个正方形八边形和一个正方形. 15.（1）不能全用正五边形的材料进行密铺）不能全用正五边形的材料进行密铺 （2）略略 （3）略）略参考答案
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