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追及和相遇问题追及和相遇问题情境设置情境设置 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车以汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽的速度匀速驶来，从后面超过汽车。试求：车。试求：1秒末自行车与汽车的距离：秒末自行车与汽车的距离：2秒末自行车与汽车的距离：秒末自行车与汽车的距离：3秒末自行车与汽车的距离：秒末自行车与汽车的距离：4秒末自行车与汽车的距离：秒末自行车与汽车的距离：5秒末自行车与汽车的距离：秒末自行车与汽车的距离：6秒末自行车与汽车的距离：秒末自行车与汽车的距离：x1=4.5mx2=6.0mx3=4.5mx4= 0 mx5=7.5mx6=18m【思考分析【思考分析】1汽车从路口开动后，在追上自行车之前经汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？分析：汽车追上自行车之前，分析：汽车追上自行车之前， v汽汽v自自时时 x变小变小解法一解法一 物理分析法物理分析法两者速度相等时，两车相距最远。两者速度相等时，两车相距最远。 （速度关系）（速度关系） v汽汽=at=v自自 t= v自自/a=6/3=2sx= v自自t at2/2=62 3 22 /2=6m小结：初速度为零的匀加速直线运动物体追小结：初速度为零的匀加速直线运动物体追及同向匀速物体时，追上前具有最大距离的及同向匀速物体时，追上前具有最大距离的条件：条件： 解法二解法二 用数学求极值方法来求解用数学求极值方法来求解设汽车在追上自行车之前经过t时间两车相距最远x=x1x2=v自自t at2/2 （位移关系）（位移关系） x=6t 3t2/2由二次函数求极值条件知由二次函数求极值条件知t= b/2a = 6/3s = 2s时，时， x最大最大 xm=6t 3t2/2= 62 3 22 /2=6 m 两者速度相等两者速度相等解法三解法三 用相对运动求解更简捷用相对运动求解更简捷 选匀速运动的自行车为参考系，则从运动开始到相距选匀速运动的自行车为参考系，则从运动开始到相距最远这段时间内，汽车相对参考系的各个物理量为：最远这段时间内，汽车相对参考系的各个物理量为：初速度初速度 v0= v汽初汽初v自自=0 6= 6 m/s末速度末速度 vt= v汽末汽末v自自=6 6= 0加速度加速度 a= a汽汽a自自=3 0= 3 m/s2 相距最远相距最远 x= = = 6 mvt2 v02 2a 6223解法四解法四 用图象求解用图象求解1）自行车和汽车的）自行车和汽车的v t 图象图象 如图如图v/（ms-1）v60t/sttV汽汽V自自由于图线与横坐标轴所包围的面积表由于图线与横坐标轴所包围的面积表示位移的大小，所以由图上可以看出示位移的大小，所以由图上可以看出在相遇之前，在在相遇之前，在t时刻两车速度相等时，时刻两车速度相等时， 自行车的位移（矩形面积）与汽车位移（三角形面积）自行车的位移（矩形面积）与汽车位移（三角形面积）之差（即斜线部分）达最大，所以之差（即斜线部分）达最大，所以t=v自自/a= 6 / 3=2 s2）由图可看出，在）由图可看出，在t时刻以后，由时刻以后，由v自自线与线与v汽汽线组成的三线组成的三角形面积与标有斜线的三角形面积相等时，两车的位移相角形面积与标有斜线的三角形面积相等时，两车的位移相等（即相遇）。所以由图得相遇时，等（即相遇）。所以由图得相遇时， t=2t=4 s v = 2v自自=12 m/s mtt662212621自自vvs 2什么时候汽车追上自行车，此时汽车的什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？速度是多少？ 解：汽车追上自行车时，解：汽车追上自行车时，二车位移相等（位移关系）二车位移相等（位移关系）则则 vt=at2/26t= at2/2， t=4 s v= at= 34=12 m/s 小结：分析相遇问题时，一定要分析所需满小结：分析相遇问题时，一定要分析所需满足的两个关系：足的两个关系： 1.找出两个物体的运动时间之间的关系找出两个物体的运动时间之间的关系;2.利用两个物体相遇时必须处于同一位置利用两个物体相遇时必须处于同一位置,找出两找出两个物体位移之间的关系个物体位移之间的关系 思考：若自行车超过汽车思考：若自行车超过汽车2s后，汽车才开始加速。那后，汽车才开始加速。那么，前面的么，前面的1、2两问如何？两问如何？ 追及和相遇问题的分析方法追及和相遇问题的分析方法: 1.1.根据对两个物体的运动过程的分析，画出运动过程的根据对两个物体的运动过程的分析，画出运动过程的示意图示意图2.2.根据追逐的两个物体的运动性质根据追逐的两个物体的运动性质, ,选择同一参照物选择同一参照物, ,列列出两个物体的位移方程，注意要将两物体运动时间的关出两个物体的位移方程，注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中系反映在方程中3.3.由运动示意图找出两个物体的位移间的关系方程，这由运动示意图找出两个物体的位移间的关系方程，这是是关键关键4.4.联立方程进行求解联立方程进行求解.追及问题中常用的临界条件追及问题中常用的临界条件: :速度小者追速度大者速度小者追速度大者, ,追上前两个物体速度相等时追上前两个物体速度相等时, ,有有最大距离最大距离; ;速度大者减速追赶速度小者速度大者减速追赶速度小者, ,追上前在两个物体速度追上前在两个物体速度相等时相等时, ,有最小距离有最小距离. .即必须在此之前追上即必须在此之前追上, ,否则就不能追否则就不能追上上. .例例2、一车从静止开始以、一车从静止开始以1m/s2的加速度前进，车后相距的加速度前进，车后相距x0为为25m处，某人同时开始以处，某人同时开始以6m/s的速度匀速追车，能的速度匀速追车，能否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。 解析：解析：依题意，人与车运动的依题意，人与车运动的时间相等时间相等，设为，设为t,当人追上车时，两者之间的当人追上车时，两者之间的位移关系位移关系为：为：x车车+x0= x人人即：即： at22 + x0= v人人t由此方程求解由此方程求解t，若有解，则可追上；，若有解，则可追上； 若无解，则不能追上。若无解，则不能追上。 代入数据并整理得：代入数据并整理得：t212t+50=0=b24ac=1224501=560所以，人追不上车。所以，人追不上车。x0v=6m/sa=1m/s2 在刚开始追车时，由于人的速度大于车的速度，因在刚开始追车时，由于人的速度大于车的速度，因此人车间的距离逐渐减小；当车速大于人的速度时，此人车间的距离逐渐减小；当车速大于人的速度时，人车间的距离逐渐增大。因此，人车间的距离逐渐增大。因此，当人车速度相等时，当人车速度相等时，两者间距离最小。两者间距离最小。at= v人人 t=6s在这段时间里，人、车的位移分别为：在这段时间里，人、车的位移分别为：x人人=v人人t=66=36mx车车=at2/2=162/2=18mx=x0+x车车x人人=25+1836=7m 例例3.3. 在平直公路上有两辆汽车在平直公路上有两辆汽车A、B平行同向行驶，平行同向行驶，A车以车以vA=4m/s 的速度做匀速直线运动，的速度做匀速直线运动，B车以车以vB=10m/s的速度做匀速直线运动，当的速度做匀速直线运动，当B车行驶到车行驶到A车车前前x=7m处时关闭发动机以处时关闭发动机以2m/s2的加速度做匀减速直的加速度做匀减速直线运动，则从此时开始线运动，则从此时开始A车经多长时间可追上车经多长时间可追上B车？车？ 分析：分析：画出运动的示意图如图所示：画出运动的示意图如图所示：vA= 4m/svB= 10m/s7m追上处追上处a= -2m/s2A A车追上车追上B B车可能有两种不同情况：车可能有两种不同情况：B B车停止前被追及和车停止前被追及和B B车停止后被追及。车停止后被追及。究竟是哪一种情况，应根据解答结果，由实际情况究竟是哪一种情况，应根据解答结果，由实际情况判断。判断。解答：解答：设经时间设经时间t 追上。依题意：追上。依题意： vBt + at2/2 + x = vAt 10t - t 2 + 7 = 4 t t=7s t=-1s(舍去舍去)B车刹车的时间车刹车的时间 t= vB / a =5s显然，显然，B车停止后车停止后A再追上再追上B。B车刹车的位移车刹车的位移 xB=vB2/2a=102/4=25m A车的总位移车的总位移 xA=xB+x=32m t =xA/vA=32/4=8s思考：思考：若将题中的若将题中的7m改为改为3m，结果如何？，结果如何？答：答：甲车停止前被追及甲车停止前被追及例例4.汽车正以汽车正以10m/s的速度在平直公路上做匀速直线运动的速度在平直公路上做匀速直线运动,突突然发现正前方然发现正前方10m处有一辆自行车以处有一辆自行车以4m/s的速度同方向做的速度同方向做匀速直线运动匀速直线运动,汽车立即关闭油门汽车立即关闭油门,做加速度为做加速度为6m/s2的匀减的匀减速运动速运动,问：问：（1）汽车能否撞上自行车）汽车能否撞上自行车?若汽车不能撞上自行车，汽车若汽车不能撞上自行车，汽车与自行车间的最近距离为多少？与自行车间的最近距离为多少？（2）汽车减速时，他们间距离至少多大不相撞？）汽车减速时，他们间距离至少多大不相撞？ 汽车在关闭油门减速后的一段时间内，其速度大于自行车汽车在关闭油门减速后的一段时间内，其速度大于自行车速度，因此，汽车和自行车之间的距离在不断的缩小，当速度，因此，汽车和自行车之间的距离在不断的缩小，当这距离缩小到零时，若汽车的速度减至与自行车相同，则这距离缩小到零时，若汽车的速度减至与自行车相同，则能满足汽车恰好不碰上自行车能满足汽车恰好不碰上自行车v汽汽= 10m/sv自自= 4m/s10m追上处追上处a= -6m/s2分析：分析：画出运动的示意图如图所示画出运动的示意图如图所示解：解：（1）汽车速度减到汽车速度减到4m/s时运动的时间时运动的时间和发生的位移分别为和发生的位移分别为t=(v自自- v汽汽)/a=（4-10）/(-6）s=1sx汽汽= （v自自2-v汽汽2）/2a=(16-100)/(-12)=7m这段时间内自行车发生的位移这段时间内自行车发生的位移x自自= v自自t=4m因为因为 x0+x自自x汽汽所以，汽车不能撞上自行车。所以，汽车不能撞上自行车。汽车与自行车间的最近距离为汽车与自行车间的最近距离为x=x0+x自自x汽汽=（10+47）m=7m（2）要使汽车与自行车不相撞）要使汽车与自行车不相撞 则汽车减速时它们之间的距离至少为则汽车减速时它们之间的距离至少为 x=x汽汽x自自=（7-4）m=3m分析追及和相遇问题时要注意：分析追及和相遇问题时要注意：1.一定要抓住一个条件两个关系一定要抓住一个条件两个关系（1）一个条件是两个物体）一个条件是两个物体速度相等速度相等时满足的临界条件时满足的临界条件，如两个物体的距离是最大还是最小，是否恰好追上，如两个物体的距离是最大还是最小，是否恰好追上等。等。（2）两个关系是）两个关系是时间时间关系和关系和位移位移关系关系时间关系指两物体是同时运动还是一前一后时间关系指两物体是同时运动还是一前一后位移关系指两物体同地运动还是一前一后，位移关系指两物体同地运动还是一前一后，通过画运通过画运动示意图找两物体间的位移关系是解题的关键。动示意图找两物体间的位移关系是解题的关键。2.若被追赶的物体做若被追赶的物体做匀减速运动匀减速运动，一定要注意，一定要注意，追上追上前该物体是否停止运动前该物体是否停止运动。3.仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中隐含条件，如题目中隐含条件，如“刚好刚好”、“恰巧恰巧”、“最多最多”、“至少至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。临界条件。
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