资源描述
习题三1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表:X01231014113C3g2aa8C2g1-3/8羯2203180011122282.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表:工0123000C2gC22C435c；C工C43510C3c城_6C435c3CC12C435c；C工C4352P(0黑,2红,2白尸2241C2&/C735C3gC2gC2_6C435C3823C43503.设二维随机变量（X,Y）的联合分布函数为sinxsiny,0x,0y一F(x,y)=220,其他.求二维随机变量（X,Y）在长方形域0x-y-内的概率.463【解】如图P0 X兀八O_Y三公式（3.2）F（；，i） F（；，6） F（0，3）冗冗冗冗兀兀兀兀_兀_兀singsinsingsinsinOgsinsinOgsin434636-(31).4jx题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。4.设随机变量(X,Y)的分布密度f(x,y)Ae(3x4y),x0,y0,0,其他.求：(1)常数A;(2)随机变量(X,Y)的分布函数;(3)P0H1,0Y2.【解】(1)由f(x,y)dxdy0Ae-(3x4y)dxdyA1得A=12(2)由定义，有yxF(x,y)f(u,v)dudvyy12e(3u4v)dudv000,(1e3x)(1e4y)y0,x0,0,其他P0X1,0Y2P0X1,0Y212、012e(3x4y)dxdy(1e3)(1e8)0.9499.5.设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)k(6xy),0x2,2y4,0,其他.(1)确定常数k;(2)求PXv1,Y3;(3)求PXy0,0,其他.(2)P(YX)f(x,y)dxdy如图25e5ydxdyyxD0.2x0.2dx25eydy(5e5x5)dx000-1=e0.3679.7.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)(1e4x)(1e2y),x0,y0,0,其他.求（X,Y）的联合分布密度【解】f(x,y)F(x,y)xy8e(4x2y),x0,y0,0,其他.8.设二维随机变量X,Y）的概率密度为f(x,y)4.8y(2x),0x1,0yx,0,其他.求边缘概率密度【解】fX(x)f(x,y)dyx04.8y(2x)dy0,22.4x2(2x),0x1,0,其他.fY(y)f(x,y)dx1y4.8y(2x)dx0,2.4y(34yy2),0y1,0,其他.题9图题8图9.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为Vf (x, V)e,0xV，0,其他.求边缘概率密度【解】fX(x)f(x,y)dyx0,e ydyxe,x0,0,其他.fY(y)f(x,y)dx10.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)22cxy,xy1,0,其他.(1)试确定常数c;(2)求边缘概率密度【解】(1)f(x,y)dxdy如图f(x,y)dxdyD1dx-1x22,4/cxydyc1.2121c一.4f(x,y)dy1 212人2124、.2 xydyx(1x),1x1,x480,0,其他.fY(y)f(x,y)dx212x7；八.xydxy2,0y1,y420,0,其他.11.设随机变量(X,Y)的概率密度为f (x, y)1, |y x, 0 x 1,0,其他.求条件概率密度fYX(y|x),fxiY(x|y)题11图【解】fX(x)f(x,y)dyxx1cy2x,0x1,0,其他.1y1dx1y,1y0,fY(y)f(x, y)dx11dx1y,0y1,y0,其他.所以fYix(y|x)f(x,y)fx(x)12x0,|y|x1,其他.yx1,fxY(x|y)f(x,y)fY(y)1y；，yxi,iy0,其他.12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X,最大的号码为Y.(1)求X与Y的联合概率分布；(2)X与Y是否相互独立？【解】(1)X与Y的联合分布律如下表X345PX为1113c510223c510333C3106102011c51022C31031030011_2_C510110PYyi110310610,4666161,、(2)因PX1gPY3-PX1,Y3,101010010故X与丫不独立13.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为X258Y0.40.150.300.350.80.050.120.03(1)求关于X和关于Y的边缘分布;(2)X与Y是否相互独立？【解】(1)X和Y的边缘分布如下表7258PY=yi0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.2PXxi0.20.420.38(2)因PX2gPY0.40.20.80.160.15P(X2,Y0.4),故X与丫不独立.14.设X和Y是两个相互独立的随机变量,fY(y)=X在(01y/22e,0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为y0,其他.试求a有实根的概率.(1)求X和Y的联合概率密度；(2)设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,1,0x1,皿因fX(x)0,其他；fY(y)1ye220,y1,其他.故f(x,y)X,Y独立fx(x)gfY(y)1-e20,y/2x1,y其他.题14图0,、一2(2)方程a2XaY0有实根的条件是(2X)24Y0故从而方程有实根的概率为:x2w,PX2Yf(x,y)dxdy1dx0x21e02y/2dy1220.1445.(0)15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计)从同一分布，其概率密度为，并设X和Y相互独立，且服1000f(x)=x20,x1000,其他.求Z=X/Y的概率密度.【解】如图,Z的分布函数FZ（z）XPZzPX2当zwo时，Fz(z)0（2）当0Vz0|YX;(2)设M=maxX,Y,求PM0.题20图【解】因（X, Y）的联合概率密度为f (x, y)12222, x y R, tR0, 其他.(1) PY 0|Y X)PY 0,Y XPY Xf(x,y)dy0yxf(x,y)dyx冗R1d-z-rdr40TlR257tR14d2rdr4071P23/831/24(2) PM 0 Pmax(X,Y) 0 1Pmax( X,Y)0PX 0,Y 021.设平面区域D由曲线 在区域D上服从均匀分布，求(y=1/x及直线y=01 f (x, y)dx 0 y 0x=1,x=e2所围成,二维随机变量(X, Y)X, Y)关于X的边缘概率密度在 x=2处的值为多少?题21图2 e【解】区域D的面积为 S0Ux1 xln2. (X,Y)的联合密度函数为f(x,y)120,0其他.(X,Y)关于X的边缘密度函数为fX(x)1/x 1dy 0 20,2x其他.,1所以fX(2)-.4【解】因PY yjPX1x,Y yj,故 PY y1PXx1,YyPXx2,Yy1,从而 PX x1,Y y18 24Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处X,Y)联合分布律及关于X和22.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量(y1y2y3PX=xi=pix1x21/81/8PY=yj=pj1/612而X与丫独立，故PXxigPYyjPXxi,Yyi,1-1从而PXXi6PX%Yyj24.rr111即：PXx1/2464又PXX1PXX1,Y%PXX1,Yy2PXxhYys,rr111即一PXxYy3),4248,1从而PXx1,Yys-.一一13同理PY2-,PXx2,Yv2-283111又PYyj1,故PYy31.j1623一一3同理PXx2-.从而,、，、，、111PXx2,Yy3PYy3PXx/y3)-.3124故I.、y1y2y3PXxPix1124-811214X2-838-434PYyjpj-61213123.设某班车起点立上客人数X服从参数为NQ0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0p1),且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：(1)在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；(2)二维随机变量(X,Y)的概率分布.【解】(1)PYm|XnC：pm(1p)nm,0mn,n0,1,2,L.(2)PXn,YmPXngPYm|XnmmmnmenCnp(1p)g,nmn,n0,1,2,L.n!1224.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X，而Y的概率留度为f(y),0.30.7求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).【解】设F(y)是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为G(u)PXYu0.3PXYu|X10.7PXYu|X20.3PYu1|X10.7PYu2|X2由于X和Y独立，可见G(u)0.3PYu10.7PYu20.3F(u1)0.7F(u2).由此，得U的概率密度为g(u)G(u)0.3F(u1)0.7F(u2)0.3f(u1)0.7f(u2).25.25.设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，求PmaxX,YW1.解：因为随即变量服从0,3上的均匀分布，于是有1f(x) 30x3,0, x 0,x 3;1f(y) 3 0,因为X, 丫相互独立，所以1 f (x, y) 9, 0, x0 y 3, y 0,y 3.0 x 3,0 y 3,0,y 0,x 3,y 3.1推得PmaxX,Y1-.926.设二维随机变量(X,Y)的概率分布为X1011a00.200.1b0.2100.1c其中a,b,c为常数，且X的数学期望E(X)=02PYW0XW0=0.5,记Z=X+Y.求:(1) a,b,c的值；(2) Z的概率分布；(3) PX=Z.解(1)由概率分布的性质知,a+b+c +0.6=1即 a+b+c = 0.4.由 E(X)0.2 ,可得再由PY 0 X 0PXc 0.1.0,Y 0PX 0a b 0.1 0.5,0.5得解以上关于a, b,ac的三个方程得b 0.3.02b0.1,c0.1 .(2) Z的可能取值为2,1, 0, 1, 2PZ 2PX1,Y1 0.2PZ1PX1,Y0PX0,Y1 0.1 ，PZ 0 PX1,Y 1PX0,Y 0 PX1,Y1 0.3,PZ1PX1,Y 0PX 0,Y 10.3,P Z 2 PX1,Y 1 0.1,即Z的概率分布为Z21012P0.20.10.30.30.1PXZPY00.1b0.20.10.10.20.4.习题四1.设随机变量X的分布律为X1012P1/81/21/81/4求E(X),E(X2),E(2X+3).E(X)(1)(2)E(X2)(1)2108182；E(2X3)2E(X)02122212;15一一，442.已知【解】100个产品中有10个次品,2求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差设任取出的5个产品中的次品数为X,则X的分布律为X012345PC5C900.583C10c900.340C2C3C10C900.070C3C2C10c900.007C10c9o0C500C5C100C100C5C100C5C100C100C100故E(X)0.58300.34010.07020.007304050.501,5D(X)xE(X)2Pi0(00.501)20.583(10.501)20.340L(50.501)200.432.3 .设随机变量X的分布律为X101PP1P2P3且已知E(X)=0.1,E(X2)=0.9，求P1,P2,P3.【解】因P1P2P31,又E(X)(1)P0gP21gP3P3P0.1,_22_2_2_E(X)(1)gP10gP21gERP30.9由联立解得P0.4,P20.1,P30.5.E (X) =n,问从袋中任取1球为白4 .袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知球的概率是多少？【解】记A=从袋中任取1球为白球,则NP(A)全概率公式PA|Xk(fXkk0k1 N r ,Nk0kPX k1%gE(X)5 .设随机变量X的概率密度为x,0x1,f(x)=2x,1x2,0,其他.求E(X),D(X)【解】E(X)122xf(x)dxxdxx(2x)dxoix321.故6.设随机变量的数学期望.1_223E(X2)x2f(x)dxox3dx221D(X)E(X2)E(X)2-.6X,Y,Z相互独立，且E(X)=5,E(Y)221x(2x)dx=11,E(Z)=8,求下列随机变量(1) U=2X+3Y+1;(2) V=YZ4X.【解】(1)EUE(2X3Y1)2E(X)3E(Y)125311144.(2) EVEYZ4XEYZ4E(X)因丫2独立E(Y)gE(Z)4E(X)1184568.7.设随机变量X,Y相互独立，且E(X)=E(Y)=3,D(X)=12,D(Y)=16,求E(3X2Y),D(2X3Y).【解】(1)E(3X2Y)3E(X)2E(Y)33233.4 12 9 16 192.(2)D(2X3Y)22D(X)(3)2DY8.设随机变量(X,Y)的概率密度为f (x, V)k, 0 x 1,0 y x,0,其他.试确定常数k,并求E (XY).1 x【解】因 f(x, y)dxdy dx kdy1 一.一k 1 故 k=22，1xE(XY)xyf (x, y)dxdy xdx 02ydy0.25.9.设X, Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为2x,fX (x)=0,0x1, 甘心fY 口)其他；e(y5), y 5,0, 其他.求E(XY).【解】方法一：先求X与Y的均值12E(X)0xc2xdx-,3S(y5),令zy5-E(Y)yedy55由X与Y的独立性，得ezdz0zezdz516.E(XY)E(X)gE(Y)4.方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立,故联合密度为E(XY)10.设随机变量X,求(1)【解】(X)E(Y)2E(Y2)f(x,y)fx(x)gfY(y)2xe(y5),00,xyg2xe(y5)dxdyY的概率密度分别为2efX(x)=0,E(X+Y);(2)xfX(x)dx0e2xdx-22x0,0;(2Xxg2e2xdxyfY(y)dy0yg4e4ydyi,y5,其他,2x2dxg5ye(y4y4efY(y)=3Y2).xe2xo从而E(X0,-2xe0dx5)dy22,yfy(y)dy0yg4e4y.dy11Y)E(X)E(Y)-_22(2)E(2X3Y2)2E(X)3E(Y2)11.设随机变量x的概率密度为f(x)=k2x2cxe求(1)系数c;E(X);(3)【解】(1)由f(x)dx0cxek2x2dx(2)E(X)xf(x)d(x)2k20x2e&2dx0,0,0.)(X).-cr1得C2k2.2k2_2k2x2xg2kxedx冗2kE(X2)x2f(x)d(x)0x2g2k2xekx12.2人-64.30,0.故 D(X) E(X2) E(X)21/ic4冗22-.k2k4k12 .袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出(取出后不放回)，设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X,求E(X)和D(X).【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0,1,2,3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知，、9，PX00.750,PX3 2 9PX2- -0.041,PX12 11 10于是，得到X的概率分布表如下：133 9 0.204, 12 11_3 _2 J 912 11 10 90.005.X0123P0.7500.2040.0410.005由此可得E(X)00.75010.20420.04130.0050.301.2_22_2_2_E(X2)02750120.204220.041320.0050.413D(X)E(X2 一2(2)验证 S2=(Xi nX); n 1 i 1)E(X)20.413(0.301)20.322.13 .一工厂生产某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布，概率密度为f (x)1-e 4 0,x Qx 0.为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备,工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100元和200元1x/41/4PY100PX11-ex/4dxePY200PX11e1/4.故E(Y)100e1/4(200)(1e1/4)300e1/420033.64(元).14 .设X1,X2,，Xn是相互独立的随机变量，且有E(Xi)二丛D(Xi)=(T,i=1,2,n,记-1n-21n2XXi,S,S2=(XiX).ni1n1i1_2(1)验证E(X)=,D(X)=n(3)验证E(S2)=/【证】(1)E(X)1nE-Xini1nE(i1nXi)E(Xi)ni11一giunu.(2)D(X)Xi1D(n、一一，、1X)Xi之间相互独立-2gniDXi1n(Xi1X)2(Xi22X2XXi)X：2nX2XXi1故S2n1(Xi因E(XJ同理因E(X)从而E(s2)15.对随机变量nXi2i12nX).u,D(XJu,D(X)nXi212E(Xi2)1,rngnaX和Y,已知计算：Cov(3X2Y+1【解】Cov(3X2Y1,X2nX2XgnX2_2，故E(Xi)2-2一,故E(X)n2nX)D(XJnE(Xi22nX_2(EXi)2nE(X)u2)(X)X+4Y=23).22Xi2)nE(X)22unD(Y)=3Cov(X,Y)=1,4Y3)3D(X)10Cov(X,Y)8D(Y)3210(1)8328(因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0，其余类似).16.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,V)121,x冗0,y21,其他.试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的【解】设D(x,y)|x2y21.E(X)xf(x,y)dxdy1一xdxdy九x2y2112Tt1=rcosgdrd0.九00同理E(Y)=0.而Cov(X,Y)xE(x)cyE(Y)f(x,y)dxdyTtx2y2xydxdy127t12rsincosrdrd由此得xy0,故X与Y不相关.1x212下面讨论独立性，当x|w时，fX(x)14一dy-V1x2.1J1x冗冗当|y| w时,1y21fY(y)2dxYy1门冗显然fx(x)gfY(y)f(x,y).故X和Y不是相互独立的.Y及XY的17.设随机变量(X,Y)的分布律为X10111/81/81/801/801/811/81/81/8验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素，X与丫显然不独立，由联合分布律易求得X,分布律，其分布律如下表X101P323888Y101P323888XY101P242888由期望定义易得E(X)=E(Y)=E(XY)=0.从而E(XY尸E(X)E(Y),再由相关系数性质知体y=0,即X与Y的相关系数为0,从而X和Y是不相关的.一331又PX1gPY1PX1,Y1888从而X与Y不是相互独立的.18.设二维随机变量(X,Y)在以(0,0),(0,1),(1,0)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov(X,Y),仅丫.1 _【解】如图，Sd=，故(X,Y)的概率密度为2题18图一、2,(x,y)D,f(x，y)0,其他.11X1E(X)xf(x,y)dxdydxxg2dy一d003_11xo1E(X1同理 E(Y) -, D(Y) .18)x2f(x,y)dxdydx2x2dyd00622111从而D(X)E(X2)E(X)26318E(XY)Dxyf(x,y)dxdy2xydxdyD1dx02xydy112所以Cov(X,Y)E(XY)E(X)gE(Y)112136从而XYCov(X,Y)7D(X)g/D(YJ1_36_18A19.设(X,Y)的概率密度为1一,sin(xy),f(x,y)=20,其他.求协方差Cov(XY）和相关系数【解】E（X）3.“2V2xf(x,y)dxdy0dx0xg1sin(xy)dy_2E(X)兀2dx022J.0Xg2sin(x2TTy)dy-782.从而D(X)E(X2)E(X)22花162.同理花E(Y)尸2.兀/2E(XY)dxCov(X,Y)E(XY)E(X)gE(Y)16兀/2xysin(xy)dxdy1,Cov(X,Y)XY.D(X)g,D(Y)2冗1620.已知二维随机变量（X,Y）的协方差矩阵为系数.【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.4)28九16271287t321，试求Z1=X42丫和Z2=2XY的相关从而D(Z1)D(X2Y)D(X)4D(Y)4Cov(X,Y)1444113,D(Z2)D(2XY)4D(X)D(Y)4Cov(X,Y)414414,Cov(乙，Z2)Cov(X2Y,2XY)2Cov(X,X)4Cov(Y,X)Cov(X,Y)2Cov(Y,Y)2D(X)5Cov(X,Y)2D(Y)2151245.故ZZCov(Z1，Z2)_5_5/n.12.D0)gD(Z2).13.42621.对于两个随机变量V,W,若E(V2),E(W2)存在，证明：E(VW)2天(V2)E(W2).这一不等式称为柯西许瓦兹(CouchySchwarz)不等式.【证】令g(t)EVtW2,tR.显然0g(t)E(VtW)2EV22tVWt2W2EV22tgEVWt2gEW2,tR.可见此关于t的二次式非负，故其判别式Ap222即02E(VW)4E(W)gE(V)4E(VW)2E(V2)gE(W2).故E(VW)2E(V2)gE(W2).22.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数F1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y).【解】设Y表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间XE(?),E(X)=5.依题意Y=min(X,2).对于y2,(y)=P(Xy)=1.对于0可2,当xRO时，在(0,x)内无故障的概率分布为y/5PXa=1e9所以F(y)=P丫或=Pmin(X,2)y=PX可=1e（资料素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）(2)fx(x)i
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