机械优化设计第六章

第六章 离散变量和随机变 量的最优化方法主要内容 6.1 引言引言 6.2 离散变量优化设计的基本概念离散变量优化设计的基本概念 6.3 离散变量优化设计的数学模型离散变量优化设计的数学模型 6.4 离散变量优化设计的最优解及收敛条件离散变量优化设计的最优解及收敛条件 6.5 随机变量优化设计的基本概念随机变量优化设计的基本概念 6.6 随机变量优化设计的数学模型随机变量优化设计的数学模型 6.7 随机变量概率约束问题的优化设计模型及最优解随机变量概率约束问题的优化设计模型及最优解6.1 6.1 引言引言一一. 变量类型：变量类型： 工程实际问题中不是单一的连续变量，经常是各种类型变量的混合。有： 连续变量 确定型 整型变量 离散变量 随机变量 不确定型 混合变量 所以需要相应的优化方法。 6.1 6.1 引言引言 （续）（续）H Hh hb b二二. 工程实际设计的需要：工程实际设计的需要： 例： 决定修建一条防洪堤坝。根据历年的水文资料，台风的年最大风速：)(13. 0)(2 . 0)/(12)/(80)/(,2maxmax22maxmaxMPaPmHHsmsmsmLNxxxx海浪对堤坝的压强：；与年最大风速成正比，海浪高度；方差，其中：均值即服从对数正态分布， 现在需要设计堤坝的截面尺寸 b 和 h，在保证不受灾害的概率不低于99.9%，堤坝不受冲压损坏的概率不低于 99.0% 的要求下，使投资最小。6.1 6.1 引言引言 （续（续2 2）三三. 传统方法的局限：传统方法的局限： 例，求离散问题的最优解，传统的方法是先用连续变量优化设计方法求连续变量的最优解，然后圆整到离散值上。 弊病：可能得不到可行最优解，或所得的解不是离散最优解。 x* X(1) X(2) X(3)左图中： x* 是连续变量最优点； x(1) 是圆整后最近的离散点，但不可行； x(2) 是最近的可行离散点，但不是离散最优点； x(3) 是离散最优点。x10 x26.2 6.2 离散变量优化设计离散变量优化设计 的基本概念的基本概念一一. 设计空间：设计空间：1、一维离散设计空间：、一维离散设计空间： 在 xi 坐标轴上有若干个相距一定间隔的离散点，组成的集合称为一维离散设计空间。iiiiijijijljniqqq：只有在均匀离散空间中，离散间隔：代表离散点个数；，离散点：, 2 , 1, 2 , 1,112、P 维离散设计空间：维离散设计空间： P 个离散设计变量组成 P 维离散设计空间。每个离散变量可取有限个数值，这些数值可用矩阵 Q 来表达。lpplppllqqqqqqqqq212222111211Q注：注：因为离散变量是有限个，所以离 散空间是有界的。 某个离散变量的取值不足 l 个，其余值可用预先规定的自然数补齐。pTpDRxxx,X21qij-1 qij qij+1 ii6.2 6.2 离散变量优化设计离散变量优化设计 的基本概念的基本概念( (续）续）3、N-P 维连续设计空间：维连续设计空间： N 个设计变量中有 P 个离散变量，此外有个N-P 连续变量。 N-P 维连续设计空间:pnTnppCRxxx,X214、N 维设计空间维设计空间： 其中：离散设计空间为： 连续设计空间为：nppnRRRpnTnppCRxxx,X21pTpDRxxx,X21若 Rp 为空集时，Rn 为全连续变量设计问题；若 Rp-n 为空集时，Rn 为全离散变量设计问题。6.2 6.2 离散变量优化设计离散变量优化设计 的基本概念的基本概念( (续续2 2）二二. 整型变量和连续变量的离散化：整型变量和连续变量的离散化： 是均匀离散 1、整型变量的离散： 整型变量可看作为是离散间隔恒定为 1 的离散变量。是离散变量的特例。2、连续变量的离散化： 有时为了提高优化设计计算效率，将连续变量转化为拟离散变量。 方法：iijijiijijiiiliuiiliuiixxxxjxlxxxnppilxx，：其相邻两个拟离散点为，个拟离散点为：坐标轴上的第为欲取离散值的个数。的上、下界，为连续变量，其中：，2116.3 6.3 离散变量优化设计离散变量优化设计 的数学模型的数学模型 muxgtsRRRXxfRxxxXRxxxXxxxXupnpnpnTnppCpTp1DTn1, 2 , 10)(. .min,2122 nuRmuxgx, 2 , 10，可行域：注：设计空间有离散空间部分。 但约束面不离散，也不一定分布有离散点。 K-T 条件不再适用。D6.4 6.4 离散变量优化设计的离散变量优化设计的 最优解及收敛条件最优解及收敛条件一、离散单位邻域一、离散单位邻域 UN(x) 和坐标邻域和坐标邻域 UC(x) ： 。量）之间的拟离散间隔是拟离散变量（连续变间隔，是离散变量之间的离散，其中：，iiiiiiiiiiiiinppixxxpixxxxxUN, 2, 1, 2 , 1 的交点的交集。离散单位邻域的各坐标轴的平行线与是过为各坐标轴，xUNxxUCeniexUNxUCii, 2 , 1例，二维离散空间中， 离散单位邻域共 3n 个点， UN(x) = x,A,B,C,D,E,F,G,H； 离散坐标邻域共 2n+1 个点： UC(x) = x,B,D,E,G。 x B GD EA F C Hiiii0 x1x26.4 6.4 离散变量优化设计的离散变量优化设计的 最优解及收敛条件最优解及收敛条件 ( (续续) )二、离散最优解：二、离散最优解： 全局最优点。为离散变量优化设计的则数时，为定义在凸集上的凸函为凸集，当局部最优点。为离散变量优化设计的则恒有对于所有若*,*xxfxxfxfxUNxx三、收敛准则：三、收敛准则： 设当前搜索到的最好点为 x(k)，需要判断其是否收敛。在 x(k) 的单位邻域中查 3n 1 个点，若未查到比 x(k) 的目标函数值更小的点，则收敛，x* = x(k) 。DDD6.4 6.4 离散变量优化设计的最离散变量优化设计的最 优解及收敛条件优解及收敛条件 ( (续续2 2）四、四、 伪离散最优解和拟离散最优解：伪离散最优解和拟离散最优解：1、伪离散最优解：、伪离散最优解： 在判断x(k)是否收敛时，只在 x(k) 的坐标邻域中查点，所得到的最优点是伪离散最优点。 2、拟离散最优解：、拟离散最优解： 用以连续变量优化设计方法为基础的“拟离散法”、“离散惩罚函数法”等，先求得连续变量最优解（A点），再圆整到可行域内最近的离散点（C点）,是拟离散最优点。 B点才是离散最优点。6.5 6.5 随机变量优化设计随机变量优化设计 的基本概念的基本概念二、随机变量的概率特性（略）：二、随机变量的概率特性（略）：一、随机变量：一、随机变量： 随机现象的每一个表现，通称为随机事件。 随机事件可用数值表示，随着观察的重复，可获得一组不同的数值。 对随机现象作观察，测量的变化量称为随机变量。 例如，加工了3000根直径为 的轴。抽取测量了300根轴的直径，直径值的分布情况如图，在公差范围内的有297根轴。0492. 00558. 045d 加工直径为 d 的轴，是一个随机事件； 直径 d 为 随机变量； 加工3000根轴，是事件的总体； 测量300根轴的直径，是事件的样本空间。 合格 99% 是事件的概率。6.5 6.5 随机变量优化设计随机变量优化设计 的基本概念（续）的基本概念（续）三、随机参数：三、随机参数： 已知分布类型和分布参数（或特征参数），且相互独立的随机变量。 在优化过程中，随机参数的分布类型及分布参数是不随设计点的移动而变化的。 随机参数的向量表示如下：为事件的概率。，为事件的总体，为事件的样本空间为概率空间，），（其中：），（PPRPqTq,21TTTT6.5 6.5 随机变量优化设计随机变量优化设计 的基本概念（续的基本概念（续2 2）四、四、 随机设计变量：随机设计变量： 在优化过程中，随机变量的分布类型及分布参数（或特征参数）需要通过调整变化来求得最优解，而且是相互独立的随机变量，称为随机设计变量。 随机变量的向量表示方法如下：nTnRPxxxX，,21五、分布类型及其参数的确定：五、分布类型及其参数的确定： 方法 一： 由试验或观察，测量得到随机变量的相关数据，作出样本的直方图，然后选择分布类型，进行假设检验和分布参数的估计。T6.5 6.5 随机变量优化设计的随机变量优化设计的 基本概念（续基本概念（续3 3） 方法二方法二：根据样品试验、同类事件的数据或以往积累的经验，先推断一种分布类型，再调整分布参数或特征值。 一般认为：加工误差服从正态分布；寿命服从指数分布或威布尔分布；合金钢的强度极限服从对数正态分布。 若已知离差系数 cx ，则可根据 直接在优化过程中迭代均值，通过调整均值和离差系数求得最优解。xxxc 若 xi 服从正态分布，一般容差xixi3可取小值。为设计变量的最大和最和其中minmaxminmax6/iiiixixxxx同样可直接在优化过程中迭代均值，通过调整均值和容差求得最优解。6.6 6.6 随机变量优化设计随机变量优化设计 的数学模型的数学模型一、随机设计特性：一、随机设计特性： 当设计特性或技术指标表示为随机设计变量和随机参数的函数时，称为随机设计特性。二、二、 目标函数：目标函数：由随机设计特性定义优化准则函数。,. 4,.max. 3,.0. 2,.0. 121021212121xfVarwxfEwxfPxxxfVarxfVarptxxxfExfEptqnqn例：组合型概率型方差型均值型注：注：工程问题的优化设计中，根据工程实际情况选择目标函数的类型。6.6 6.6 随机变量优化设计随机变量优化设计 的数学模型（续）的数学模型（续）三、三、 约束函数：约束函数：uuuxgPxgE0,.20,.1概率型均值型四、随机型优化设计数学模型：四、随机型优化设计数学模型：qnuqnnTnRPxmuxgtsRPxxfRPxxxX，, 2 , 10,. .,.min,21说明：说明： min. 和 s.t. 只能从概率空间的意义来理解； 采用不同的样本组，最优点 x*()是不同的； 模型的类型有很多种，最有实际意义的是概率约束型。TTT6.7 6.7 随机变量概率约束问题随机变量概率约束问题 的优化设计模型及最优解的优化设计模型及最优解一、概率约束问题的优化设计模型：一、概率约束问题的优化设计模型：。时，目标函数是均值型，时，目标函数是方差型加权因子，当；，预先给定的概率值合；以均值表示设计点的集，00,1 , 0, 2 , 10,. .,.min21211wwwwXPxmuxgPtsxfVarxfEwRXxuuuun来表示。或约束条件可用不是很重要的0,0,xgxgEuuT6.7 6.7 随机变量概率约束问题的随机变量概率约束问题的 优化设计模型及最优解（续）优化设计模型及最优解（续）二、概率约束模型的最优解：二、概率约束模型的最优解：1、最优解：、最优解： 在概率空间（，T，P）内，存在一个用均值表示的设计点 x* ，x* = x* X Da，使不等式 E f (x*,) E f (x,)对于某个邻域 N(x) 内的所有 x 都成立，则称 x* 为概率约束问题的最优点， E f (x*,)为最优均值。三、概率约束模型的几何解释概率约束模型的几何解释1、概率约束的几何解释： p gu (x,)0 -u = 0 是概率约束超曲面。 p gu (x,)0 0.5 = 0 相当于E gu (x,)=0，即 gu (x,)0 的连续变量空间中的约束超曲面。6.7 6.7 随机变量概率约束问题的随机变量概率约束问题的 优化设计模型及最优解（续优化设计模型及最优解（续2 2）2、随机设计变量的模体： 概率约束的可行域： muxgPkxkxxNuuxxaxx, 2 , 10,0，D3、概率约束模型的最优解的几何解释：