《复数代数形式的乘除运算》导学案

第3课时复数代数形式的乘除运算学号起JUt 耳标躺出ft=躁程学习目标1. 理解复数的代数形式的四则运算，并能用运算律进行复数的四则运算2. 能根据所给运算的形式选择恰当的方法进行复数的四则运算.知识体系梳理两个多项式可以进行乘除法运算 能像多项式一样进行乘除法运算吗?例如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd ;对于两个复数 a+bi,c+di(a,b,c,d 駅),问题1:结合多项式乘法运算的特点，说明复数乘法运算有哪些特点？(1) 复数的乘法与多项式的乘法类似，只是在运算过程中把i2换成，然后实部、虚部分别合并；(2) 两个复数的积仍是一个复数；(3) 复数的乘法与实数的乘法一样，满足交换律、结合律及分配律；(4) 在复数范围内，实数范围内正整数指数幂的运算律仍然成立.问题2:什么是共轭复数？一般地，当两个复数的时，这两个复数叫作互为共轭复数.问题3:怎样进行复数除法运算？复数的除法首先是写成分数的形式，再利用两个互为共轭复数的积是一个实数，将分母化为实数，从而化 成一个具体的复数.问题4:复数的四种基本运算法则(1) 加法:(a+bi)+(c+di)=;(2) 减法:(a+bi)-(c+di)=;(3) 乘法:(a+bi)(c+di)=;口十占i(4) 除法:(a+bi) *+di)= =(c+di 勿).妙誤H崎化冋 底代越础学习交济2 + 3i1.i是虚数单位，复数z= *二的虚部是().A.0B.-1C.1D.22. 复数z1=3+i,z2=1-i，则z=z1 Z2在复平面内的对应点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 已知复数z与(z+2)2-8i均是纯虚数，则z=.4. 设复数z满足i(z+1)=-3+2i(i为虚数单位),试求z的实部.跟童撮究与创新导学区不仪系讲I* A it牛性忙克难点探究SK-复数代数形式的乘法运算计算:(1)(1 -i)(1+i)+(-1+i);(2) (2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i;(3) (4-i5)(6+2i7)+(7 + i11)(4-3i)(4) (1-i)3.复数代数形式的除法运算计算:(1)(1 +2i)珥3-4i); I 一1；I fiz复数四则运算的综合应用3-:i已知|z|2+(z+ )i= (i为虚数单位),试求满足条件的 乙才笛址力吧儂*弄犠ft思维拓展应用Ck麼用-计算：(1)(1-i)2；1品12 - 2 (-+i)(+ i)(1+i).QU-计算：(l-4i)(l + i) + 2 + 4i(1)口十 /ji3 + 4ia - b若关于x的方程x2+(t2+3t+tx)i=o有纯虚数根，求实数t的值和该方程的根基础智能检测1.复数z=(i为虚数单位),则|z|等于().A.25 B.C.5 D.-2i2.i是虚数单位，则复数I+(1 +2i)2等于().A.-2-5iB.5-2iC.5+2iD.-2+5i3. 若复数z满足z(1 +i)=2,则复数z=.3 -4i1 - i4. 计算：；+(丨)2014.討样轻鼻特祝角寥jL吧金新视角拓展(2014年山东卷已知a,b9R,i是虚数单位 若a-i与2+bi互为共轭复数，则(a+bi)2=().A.5-4i B.5+4iC.3-4iD.3+4i考题变式(我来改编):总结评价与反思堪学区不堪不怎賂J* M科化為 哥直搖?ft字g从箕化直韋并菲ft学习体验分事第3课时复数代数形式的乘除运算知识体系梳理问题 i：(i)-1问题2:实部相等，虚部互为相反数问题 4：(1)( a+c)+(b+d)i(2)( a-c)+(b-d)iac + bd be - ad(ac-bd)+(ad+bc)i(4) + i基础学习交流2 十 11. BT z= =-i, 虚部为-1,故选 B.2. D z=zi z2=(3 + i)(1-i)=4-2i.f 4 -12 = Oj3. -2i 设 z=bi(bR),则(z+2)2-8i=(bi+2)2-8i=4-b2+(4b-8)i,依题意得 _ 解得 b=-2.所以z=-2i.4. 解:(法一 )T(z+1)=-3+2i,亠3十2iz=-1=-(-3i-2)-1=1 +3i,故z的实部是1.(法二)令 z=a+bi(a、bR), 由 i(z+1)=-3+2i,得 i(a+1)+bi=-3+2i, -b+(a+1)i=-3+2i,-a+ =2,. a=.故z的实部是1. 重点难点探究探究一:【解析】(1)(1 -i)(1+i)+(-1 + i)=1-i2-1+i=1 + i.(2) (2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i=(-2 + 10i + i-5i2)(3-4i)+2i=(-2 + 11i+5)(3-4i)+2i=(3+11i)(3 -4i) + 2i=(9-12i + 33i-44i2)+2i =53+21i+2i=53+23i.(3) (4-i5)(6+2i7)+(7 + i11)(4-3i)=(4 -i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)=(24-8i-6 i+2i2)+(28-21i-4i +3i2)=47 -39i.(4) (1 -i)3=13-3 X12Xi+3X1 2-i3=1-3i-3-(-i)=-2-2i.【小结】三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算与实数的运算顺序一样，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简捷，如平方差公式、立方差公式、完全平方公式等.1 + 2i探究二：【解析】(1)(1 +2i)说3-4i)=(J 十 2i)(3 + 4i) -5 + 10i=：d；： ； 】= 匚1 21 + 31(1 +0 + I3 - 1 - 31(1 -i) -I3(2)(法一)原式=(法二)原式=(1 + 0-(l-i)(l + D2 + (l + i)(l-0 + (1-1)2 (i + i) + (i-i)(i + i)-(i-04i原式=C+ i)22+叮-弘丁1 3 1 +個l祸1=(-+ i)2-I =-：- i+i- 1【小结】进行复数的运算，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式要知道其结果，这样可方便计11 + i 1 - ia+b算,简化运算过程，比如=-i,(1 +i)2=2i,(1 -i)2=-2ij 1 =ij=-i,a+bi=i(b-ai), 一 =i,等等.运算方法要灵活，有时要巧妙运用相应实数系中的乘法公式，比如第(2)题中的解法一.探究三：【解析】原方程化简为|z|2+(z+ )i = 1-i,设z=x+y i(x,y駅),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i,原方程的解为I $ z=- ： i.【小结】对于此类复数方程我们一般是设岀复数的代数形式 用复数四则运算将其整理，然后利用复数相等的充要条件来求解 思维拓展应用应用一 ：(1)(1 -i)2=1-2i+i 2=-2i.z=x+y i(x,y取)，然后将其代入给定方程，利(2)(- ：+ i)(+ i)(1+i)週1=(-+ ：i)(1+i)回=(-：)+( J -4i)(l + 0 + 2 + 4i 1 + 4 - 3i + 2 + 4i应用二：(1)3 + 4i3 + 4i?十 i (J 十 DM -申)21.十 4 + 3i - 28i十歯=匸十 =.25-2Si= =1-i.a + bi a - bi i(b - ai) - l(al + b) H _ tri+b + cri = b_ 皿 + b + ai =i_i=o应用三：设x=ai(aR且a勿)是方程x2+(t2+3t+tx)i=0的一个纯虚根，将其代入方程可得(ai)2+(F+3t+tai)i=0, -a2-at+(t2+3t)i=0,由复数相等的充要条件可得-fi3 - at = 0,_t? + 3t = 0.=3.故t=-3,方程的两个根为0或3i.基础智能检测3-411. C z=-4-3i,所以 |z|=5.2i2i(l -i)2. D I+(1+2i)2=+4i-3=5i-2.22(1 - i)3.1-i 沪1知=(1+颈1-0=1.-j (斗十3i)4.解:原式=I+(-i)2014=-i-1.全新视角拓展D先由共轭复数的条件求出 a,b的值，再求(a+bi)2的值.由题意知 a-i=2-bi, a=,b=1, (a+bi)2=(2 + i)2=3+4i.