资源描述
式式用用数数学学归归纳纳法法证证明明不不等等二二.纳纳法法证证明明不不等等式式归归进进一一步步讨讨论论如如何何用用数数学学下下面面我我们们结结合合具具体体例例题题.,:;,:.?, 512256128643216842281644936251694112nnnnnbnaba证证明明你你的的结结论论小小于于从从第第几几项项起起观观察察下下面面两两个个数数列列例例 .,.,的情形的情形步应证步应证第第猜想时猜想时用数学归纳法证明上述用数学归纳法证明上述即即项起项起从第从第由数列的前几项猜想由数列的前几项猜想分析分析515252 nnNnnbannn .,命题成立时有当证明522551 n .,kkkkn2522 即有时命题成立假设当 121122 kkkkn因为时当.kkkkk3222 2222kkk .1222 kk .,时命题成立即所以12112 knkk .,52212 nNnnn可知由?的理由中吗的理由中吗你能说出证明中每一步你能说出证明中每一步 .|sin|sin| Nnnn证明不等式证明不等式例例2.,对值不等式对值不等式用三角函数的性质及绝用三角函数的性质及绝应注意利应注意利在证明递推关系时在证明递推关系时又与绝对值有关又与绝对值有关的三角函数问题的三角函数问题这是一个涉及正整数这是一个涉及正整数分析分析n .,|sin|,式成立不等右边上式左边时当证明 11n . |sin|sin|,kkkkn 即有不等式成立时假设当12,时当1 kn |sincoscossin|sin|kkk 1|sincos|cossin|kk |sin|cos|cos|sin| kk|sin|sin| k|sin|sin| k . |sin|1 k.时不等式成立所以当1 kn .,均成立不等式对一切正整数可知由n21?的理由中吗的理由中吗你能说出证明中每一步你能说出证明中每一步 .,:nxxnxxxBernoullin 111013那么有那么有的自然数的自然数为大于为大于且且是实数是实数如果如果不等式不等式证明贝努利证明贝努利例例.,进行归纳进行归纳对对我们用数学归纳法只能我们用数学归纳法只能的自然数的自然数是大于是大于的任意实数的任意实数且不等于且不等于于于表示大表示大个字母个字母贝努利不等式中涉及两贝努利不等式中涉及两分析分析nnx101 .,不等式成立得由于时当证明xxxxxn2121102122 .,kxxkknk 1122即有时不等式成立假设当 kkxxxkn 11111,时当 kxx 1121kxkxx . xk11 .时不等式成立所以当1 kn .,贝努利不等式成立可知由21?的的理理由由中中吗吗你你能能说说出出证证明明中中每每一一步步 .,.,成立成立的正整数的正整数对一切不小于对一切不小于到不等式到不等式由贝努利不等式不难得由贝努利不等式不难得时时且且是实数是实数当当例如例如挥作用挥作用法证明不等式中可以发法证明不等式中可以发这在数值故计和放缩这在数值故计和放缩形式形式缩小为简单的缩小为简单的方方式把二项式的乘式把二项式的乘人们经常用贝努利不等人们经常用贝努利不等在数学研究中在数学研究中nxnxxxxxxnxxnn211110111 :,一般的形式一般的形式它们是贝努利不等式更它们是贝努利不等式更有类似不等式成立有类似不等式成立仍仍时时改为实数改为实数整数整数把贝努利不等式中的正把贝努利不等式中的正事实上事实上n .,11101 xxx有有时时或者或者并满足并满足是实数是实数当当 .,11110 xxx有有时时并且满足并且满足是实数是实数当当.,泛地应用泛地应用贝努利不等式可以被广贝努利不等式可以被广函数范围扩充到实数函数范围扩充到实数随着指数随着指数结果的证明结果的证明我们不在这里给出上述我们不在这里给出上述.,.,时命题成立时命题成立来证明来证明充分利用这样联系充分利用这样联系时命题之间的关系时命题之间的关系纳假设与纳假设与注意发现或设法创设归注意发现或设法创设归重要不等式重要不等式一些一些和和种方法种方法的各的各式式如前面学习的证明不等如前面学习的证明不等他条件及相关知识他条件及相关知识还要灵活利用问题的其还要灵活利用问题的其设设不仅要正确使用归纳假不仅要正确使用归纳假为完成这步证明为完成这步证明一步一步时命题成立这时命题成立这时命题成立推出时命题成立推出由由难点往往出现在难点往往出现在等式等式使用数学归纳法证明不使用数学归纳法证明不111 knknknkn .,:naaaaaaaaannnnn 21212114那么它们的和那么它们的和积积的乘的乘个正数个正数为正整数为正整数如果如果证明证明例例.,.,要要递递推推的的目目标标心心中中有有数数由由它它并并对对什什么么是是归归纳纳假假设设和和的的条条件件正正数数的的乘乘积积为为个个应应注注意意利利用用用用数数学学归归纳纳法法证证明明它它时时简简洁洁和和谐谐它它的的形形式式的的不不等等式式这这是是与与正正整整数数密密切切相相关关分分析析1n .,命题成立有时当证明1111 an .,kaaaaaakknkn 212112则个正数的乘积即若命题成立时当假设.,111121121 kkkkaaaaaaaakkn足条件满个正数已知时当.,.,命题成立其和为是则它们都都相等个正数若这111121 kaaaakkk.,).(,.,11111121121121 aaaaaaaaakkkk不妨设矛盾否则与的数也有小于的数则其中必有大于不全相等个正数若这.,kaaaaaaaaaakaakkkk 13211321211归纳假设可以得到由的乘积是个正数样就得到这看着一个数我们把乘积为利用归纳假设. 11321 kaaaaakk要证的目标是.,用用讨论的作讨论的作回味这样回味这样面的证明面的证明请结合下请结合下.就得到则 .,.,时命题成立当就是说这于是目标得证即得由110111121212121 knaaaaaaaa .,成立那么它们的和的乘积个正数如果对一切正整数可知由naaaaaaaaannnnn 212121121,12121 aaaa若有可以发现对比 .,它它们们起起了了什什么么作作用用了了哪哪些些式式子子变变形形证证出出递递推推关关系系做做为为了了利利用用归归纳纳假假设设以以及及体体会会其其中中的的证证明明过过程程回回顾顾例例探探究究41 ?),(,均均值值不不等等式式吗吗个个正正数数的的你你能能得得出出是是正正数数个个正正数数考考虑虑的的结结论论利利用用例例naaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnn 212121221142
展开阅读全文