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例例1.在体育测试时，初三的一名高个子男生在体育测试时，初三的一名高个子男生推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数的图象的一部分（如图），如果这个男函数的图象的一部分（如图），如果这个男生的出手处生的出手处A点坐标为（点坐标为（0，2），铅球路线），铅球路线的最高处的最高处B的坐标为（的坐标为（6，5）。）。（1）求这个二次函数的解析式。）求这个二次函数的解析式。（2）该男生把铅球推出去多远？（精确到）该男生把铅球推出去多远？（精确到0.01米米)实际问题实际问题数学问题数学问题实际问题实际问题-求铅球所经过的路线。求铅球所经过的路线。典型例题典型例题解法解法1：（：（1）设抛物线的解析式为）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，根据题意可得：，根据题意可得： c=2 -b/2a =6 （4ac-b2）/4a =5 抛物线的解析式为抛物线的解析式为y=-1/12x2+x+2（2）当当y=0时，时，-1/12x2+x+2=0即即 x2-12x-24=0。再求出。再求出X的值。的值。a= -1/12b=1C=2已知：抛物线的顶点坐标（已知：抛物线的顶点坐标（6，5），并），并经过经过A（0，2）求：求：抛物线的解析式抛物线的解析式解法解法2：（：（1）抛物线的顶点为（抛物线的顶点为（6，5）可可设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为 y=a（x-6）2+5。抛物线经过点抛物线经过点A（0，2）2=a（0-6） 2 +5 a=- 1/12故抛物线的解析式为故抛物线的解析式为y=- 1/12（x-6）2+5 即即 y=-1/12x2+x+2（2）当）当y=0时，时，-1/12x2+x+2=0即即 x2-12x-24=0。再求出。再求出X的值。的值。 例例2 2、某商人如果将进货单价为、某商人如果将进货单价为8 8元元的商品按每件的商品按每件1010元出售，每天可销元出售，每天可销售售100100件，现在他采用提高出售价格，件，现在他采用提高出售价格，减少进货量的办法增加利润，已知减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价一元，其销售量将这种商品每涨价一元，其销售量将减少减少1010件，问他将出售价定为多少件，问他将出售价定为多少元时，才能使每天所获利润最大？元时，才能使每天所获利润最大？并且求出最大利润是多少？并且求出最大利润是多少？解：设利润为解：设利润为y y元，售价为元，售价为x x元，元，则每天可销售则每天可销售100-10(x-10)100-10(x-10)件，件，依题意得依题意得;y=(x-8)(100-10(x-10);y=(x-8)(100-10(x-10) 化简得化简得y= -10 xy= -10 x2 2-280 x -1600-280 x -1600 配方得配方得y= -10(x-14)y= -10(x-14)2 2 + 360+ 360 当当 (x-14)(x-14)2 2 =0 =0时，即时，即x=14x=14时，时，y y 有最大值是有最大值是360360答：当定价为答：当定价为1414元时，所获利润最大，最大利润是元时，所获利润最大，最大利润是360360元。元。 某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售,在对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上在对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上,对今对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测,提提供了两个方面的信息供了两个方面的信息,如图所示如图所示.请你根据图象提供的信息解答请你根据图象提供的信息解答:(1)在在3月份出售这种蔬菜月份出售这种蔬菜,每千克的收益是多少元每千克的收益是多少元?(收益收益=售价售价-成本成本)(2)哪个月出售这种蔬菜哪个月出售这种蔬菜,每千克的收益最大每千克的收益最大?说明理由说明理由.例例3 3135513每千克售价每千克售价(元元)月70甲135513月70乙每千克成本每千克成本(元元)643.05m4m2.5mo1.如图如图,一位篮球运动员在点一位篮球运动员在点A处跳起投处跳起投篮篮,球沿一条抛物线运行球沿一条抛物线运行,当球运行的水当球运行的水平距离为平距离为2.5米时米时,达到最大高度达到最大高度3.5米米,然后准确落入篮框然后准确落入篮框.(1)建立如图所示的直角坐建立如图所示的直角坐标系标系,求抛物线所对应的求抛物线所对应的函数解析式函数解析式(2)若该运动员身高若该运动员身高1.8米米,这次跳投时这次跳投时,球在他头顶上球在他头顶上方方0.25米处出手米处出手,他跳离地他跳离地面多高面多高?例例4 4Axy例例5、（2000贵阳）贵阳）如图，二次函数如图，二次函数y=-mx2+4m的顶点坐标为（的顶点坐标为（0，2），矩形），矩形ABCD的顶点的顶点B、C在在x轴上，轴上，A、D在抛在抛物线上，矩形物线上，矩形ABCD在抛物线与在抛物线与x轴所围成的图形内。轴所围成的图形内。（1 1）求二次函数的解析式；求二次函数的解析式；CABDxOy（2 2）设点设点A A的坐标为的坐标为（x x,y,y），试求矩形试求矩形ABCDABCD的周长的周长p p关关于自变量于自变量x x的函数解析式，的函数解析式，CABDxOyCABDxOy（3 3）是否存在这样的矩形是否存在这样的矩形ABCDABCD，使它的周长使它的周长为为9 9？试证明你的结论。试证明你的结论。（3）由题意知：-x2+4|x|+4=9。当x0时，-x2+4x+4=9，方程无实根。当x0，-x2-4x+4=9，方程无实根。即矩形ABCD的周长P不可能为9。利用图象解一元二次方程利用图象解一元二次方程x2-2x-1=0时时,我们我们采用的一种方法是采用的一种方法是:在直角坐标系中画出抛物在直角坐标系中画出抛物线线y=x2和直线和直线y=2x+1,两图象交点的横坐标两图象交点的横坐标就是该方程的解就是该方程的解.(1)请再给出一种利用图象求方程请再给出一种利用图象求方程x2-2x-1=0的解的方法的解的方法.(2)请判断方程请判断方程 的解的个数的解的个数,并并说明求解方法说明求解方法.0212xx（1 1）猜想猜想d d1 1与与d d2 2的大小关系，并证明；的大小关系，并证明；（2 2）若直线）若直线PFPF交抛物线于另一个点交抛物线于另一个点Q Q（异于点（异于点P P），）， 试判断以试判断以PQPQ为直径的圆与为直径的圆与x x轴的位置关系，并说明理由；轴的位置关系，并说明理由；例例7 7：已知如图，：已知如图，P P是抛物线是抛物线 上的上的任意任意一点，记点一点，记点P P到到x x轴的距离为轴的距离为d d1 1，点点P P到点到点F F（0 0，2 2）的距离为）的距离为d d2 2。1412xyCP10987654321-6-4-2246810y=14x21FOc?10?9?8?7?6?5?4?3?2?1?-6?-4?-2?2?4?6?8?10 y= 1 4 x 2 +1 N M Q C F O PN解：（解：（1）d1与与d2是相等的。是相等的。设设P点的横坐标是点的横坐标是x=m, 则它的纵坐标是则它的纵坐标是y= m2+1,14点点P到到x轴的距离轴的距离d1= m2+1,14又又 P到到y轴的距离是轴的距离是m,过过P点作点作y轴的垂线轴的垂线 PN,得得RtPNF,且且N点的坐标是（点的坐标是（0,m)由勾股定理易得由勾股定理易得PF=m2 + ( m2+1-2)2 = m2+11414d1=d2,猜想正确。猜想正确。(m,m2+1)41?10?9?8?7?6?5?4?3?2?1?-6?-4?-2?2?4?6?8?10 y= 1 4 x 2 +1 N M Q C F O P（1 1）猜想）猜想d d1 1与与d d2 2的大小关系，并证明；的大小关系，并证明；（2 2）若直线）若直线PFPF交抛物线于另一个点交抛物线于另一个点Q Q（异于点（异于点P P），）， 试判断以试判断以PQPQ为直径的圆与为直径的圆与x x轴的位置关系，并说明理由；轴的位置关系，并说明理由；2 2：已知如图，：已知如图，P P是抛物线是抛物线 上的任意一点，记点上的任意一点，记点P P到到x x轴的距离为轴的距离为d d1 1，点点P P到点到点F F（0 0，2 2）的距离为）的距离为d d2 2。1412xyMNDC CMN= = =PC+QD2PF+QF2PQ2以以PQ为直径的圆与为直径的圆与x轴相切。轴相切。分析：判别直线和圆的位置关系的主要方法是分析：判别直线和圆的位置关系的主要方法是 dr d=r dr解：（解：（3）设线段）设线段PQ的中点为的中点为M，M为圆的圆心 分别过点分别过点M、Q作作 x轴的垂线轴的垂线MN，QD， 则四边形则四边形PCDQ是梯形，且是梯形，且MN是它的中位线是它的中位线 ，2QDPCMN又又 PC+QD=PF+QF=PQ PC+QD=PF+QF=PQ
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