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19.4 综合与实践综合与实践 多边形的镶嵌多边形的镶嵌好漂亮的地板好漂亮的地板! !这是怎么铺这是怎么铺设的设的? ?一点空隙也没有一点空隙也没有. . 课题学习课题学习 镶嵌镶嵌用一些不重叠摆放的多边形把平面的用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，这叫做一部分完全覆盖，这叫做平面镶嵌平面镶嵌。镶嵌也叫镶嵌也叫密铺密铺。注意：注意：各种图形拼接后要既各种图形拼接后要既无缝隙无缝隙，又又不重叠不重叠定义：定义：仅用仅用一种一种正多边形镶嵌，哪几种正多正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面区域？边形能镶嵌成一个平面区域？探究探究 （一）（一）正三角形的平面镶嵌正三角形的平面镶嵌6060606060606 6个正三角形可以镶嵌个正三角形可以镶嵌用用边长相同边长相同的正方形能否镶嵌？的正方形能否镶嵌？用用边长相等边长相等的正方形可以镶嵌的正方形可以镶嵌正方形的平面镶嵌正方形的平面镶嵌904 4个正方形可以镶嵌个正方形可以镶嵌正六边形的平面镶嵌正六边形的平面镶嵌120 120 120 3 3个正六边形个正六边形可以镶嵌可以镶嵌1231+2+3=?1+2+3=?用边长相同的用边长相同的正五边形正五边形能否镶嵌？能否镶嵌？思考：思考：为什么边长相等的为什么边长相等的正五边形正五边形不能不能镶嵌，而边长相等的镶嵌，而边长相等的正六边形正六边形能能镶嵌？镶嵌？要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，需使得一个平面区域，需使得拼接点拼接点处处的的所有内角之和等于所有内角之和等于360还有还有其它其它正多边形能镶嵌吗？正多边形能镶嵌吗？ 图形图形一个顶点周一个顶点周围正多边形围正多边形的个数的个数 能能能能能能正三角形正三角形正方形正方形正五边形正五边形正六边形正六边形643不能不能能否平能否平面镶嵌面镶嵌90一个内一个内角度数角度数10860120还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？ 要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是边形的一个内角的倍数是否是360，在正多边形里，在正多边形里，正三角形的每个内角都是正三角形的每个内角都是60，正四边形的每个内角，正四边形的每个内角都是都是90，正六边形的每个内角都是，正六边形的每个内角都是120，这三种，这三种多边形的一个内角的倍数都是多边形的一个内角的倍数都是360，而其他的正多边，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是形的每个内角的倍数都不是360，所以说：在正多边，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶嵌而其他的正多边形不可镶嵌 正多边形可以镶嵌的条件：正多边形可以镶嵌的条件：每个内角都能被每个内角都能被360360o o 整除。整除。 用用两种两种正多边形镶嵌，哪些能镶嵌正多边形镶嵌，哪些能镶嵌成一个平面区域成一个平面区域? ?探究（二）探究（二）3 3个个正三角形正三角形+2+2个个正方形正方形2 2个个正三角形正三角形+2+2个个正六边形正六边形4 4个个正三角形正三角形+1+1个个正六边形正六边形1 1个个正方形正方形+2+2个个正八边形正八边形2 2个个正五边形正五边形+1+1个个正十边形正十边形1 1个个正三角形正三角形+2+2个个正十二边形正十二边形收获收获当拼接点处的当拼接点处的所有角之和所有角之和是是360360 时，时，就能拼成一个平面图形。就能拼成一个平面图形。思考：思考：1、能否用、能否用1块正三角形，块正三角形，2块正方形，块正方形，1块正六边形（边长相同）铺满地面？块正六边形（边长相同）铺满地面？2、用正三角形和正六边形作平面镶嵌，、用正三角形和正六边形作平面镶嵌，在一个顶点周围，正三角形与正六边形在一个顶点周围，正三角形与正六边形各需要多少个？各需要多少个？分析：作平面镶嵌则需满足在一个顶点处各内角和等于分析：作平面镶嵌则需满足在一个顶点处各内角和等于360解：设在一个顶点处有解：设在一个顶点处有m个正三角形的角，个正三角形的角，有有n个正六边形的角，则个正六边形的角，则: 60m+120n=360即：即：m+2n=6所以：当所以：当m=2时，时，n=2；当；当m=4时，时，n=1。答：需正三角形答：需正三角形2个，正六边形个，正六边形2个或正三角形个或正三角形4个，正六边形个，正六边形1个。个。探究（三）探究（三）仅用同一种形状、大小完全相同的仅用同一种形状、大小完全相同的多边形能进行平面镶嵌吗？多边形能进行平面镶嵌吗？结论：结论： 形状、大小完全相同的任意形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成平面图形。三角形能镶嵌成平面图形。 通过探究我发现：通过探究我发现：1.1.任意形状、大小相同的三角形都任意形状、大小相同的三角形都_镶嵌镶嵌, ,2.2.在每个拼接点处有在每个拼接点处有_个角，而这个角，而这_个角的和恰好是这个个角的和恰好是这个三角形的内角和的三角形的内角和的_倍，也就是它们的和为倍，也就是它们的和为_._.可以可以六六六六两两360o结论：结论： 形状、大小相同的任意四边形形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图形。能镶嵌成平面图形。通过探究我发现：通过探究我发现：1.1.任意形状大小相同的四边形任意形状大小相同的四边形_镶嵌镶嵌. .2.2.在每个拼接点处有在每个拼接点处有_个角，而这个角，而这_个个角的和恰好是这个四边形的四个内角之角的和恰好是这个四边形的四个内角之_,_,也就是它们的和为也就是它们的和为_. _. 可以可以四四四四和和360360上面我们讨论的一般三角形和四上面我们讨论的一般三角形和四边形都可以平面镶嵌，因为三角边形都可以平面镶嵌，因为三角形的内角和是形的内角和是180，四边形内，四边形内角和是角和是360它们的内角和是整它们的内角和是整数倍都是数倍都是360，那么其它的一，那么其它的一般多边形能进行镶嵌吗？般多边形能进行镶嵌吗？例如：在五边形中，内角和例如：在五边形中，内角和540，已经超过，已经超过360，即每一个内角拼接在一起时有重叠部分，即每一个内角拼接在一起时有重叠部分，不符合平面镶嵌的含义。当边数越大时，内角不符合平面镶嵌的含义。当边数越大时，内角和也越大，更不符合要求，因此边数大于和也越大，更不符合要求，因此边数大于4的一的一般多边形不可以平面镶嵌。般多边形不可以平面镶嵌。小结：小结： 要用图形不留空隙、不重叠地要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，需使得镶嵌一个平面区域，需使得拼接点拼接点处处的所有角之和等于的所有角之和等于360。结论结论1： 可以用同一种正多边形镶嵌的图形只有可以用同一种正多边形镶嵌的图形只有正三角形，正四边形，正六边形正三角形，正四边形，正六边形.结论结论2: 用一种用一种形状、大小完全相同的三角形、四边形形状、大小完全相同的三角形、四边形也能也能进行平面镶嵌进行平面镶嵌
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