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2017年普通高等学校招生全国统一考试全国理科数学试题及答案解析一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分1,已知集合A(x,y)x2y21,B(x,y)yx,则A。B中元素的个数为A.3B,2C,1D.0【答案】B【解析】A表示圆x2y21上所有点的集合，B表示直线yx上所有点的集合，故A。B表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2,即ApB元素的个数为2,故选B.-20 -D. 2衣，故选C.2014年1月至20162.设复数z满足（1i）z2i,则|z口A.1B.C.&22【答案】C2i2i1i2i2【解析】由题，z三一一一i1,则z肝121i1i1i23.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了年12月期间月接待游客量单位：万人的数据，绘制了下面的折线图.月接待游客量(万人)452010111212*4567891011121上44567891011122014年2015年2016年根据该折线图，以下结论错误的选项是A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，故选A.4. (xA.【答案】【解析】53 3-y)(2x y)的展开式中xy的系数为B.C由二项式定理可得,原式展开中含x c22xy C532x5.已知双曲线2y- 1b2 12 x12A.2 y32 x8B1有公共焦点.2L 110B.C. 40D. 80x3y3的项为40x3y3,则x3y3的系数为40,故选C.0的一条渐近线方程为y去，且与椭圆C的方程为2C.52 x D .4双曲线的一条渐近线方程为y渔x,22又椭圆1221与双曲线有公共焦点，易知33,则b2c29由解得a2,b75,则双曲线C的方程为2E1,故选5B.兀6 .设函数f(x)cos(x-),则以下结论错误的选项是3A . f (x)的一个周期为2兀B. y f(x)的图像关于直线8兀一日x 对称3- -一 .TTC. f (x )的一个零点为x 6【答案】D【解析】函数f x cos x 的图象可由 3D. f (x)在(-,)单调递减2y cosx向左平移个单位得到，3.TT.、如图可知，f x在万，兀上先递减后递增，D选项错误，故选D.N的最小值为02的同一个球的球面上，则该圆柱的体积C.D.7 .执行右图的程序框图，为使输出S的值小于91,则输入的正整数A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】D【解析】程序运行过程如下表所示：SM初始状态01001第1次循环结束100102第2次循环结束9013此时S9091首次满足条件，程序需在t3时跳出循环,N2为满足条件的最小值，故选D.8 .已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为为212【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径3兀则圆枉体体积VMh一，故选B.49 .等差数列an的首项为1,公差不为0.假设a2,a3,a6成等比数列，则an前6项的和为A.24B.3【答案】AC. 3D. 8【解析】an为等差数列，且a2,a3,a6成等比数列，设公差为22则a3a2a6,即&2da1da15d又1,代入上式可得dx 1 x 1、2d0S624,故选A.22A2,且以线段A A2为直径10 .已知椭圆C:。与1ab0的左、右顶点分别为A,ab的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为A.【答案】【解析】6D 3B A以AA2为直径为圆与直线bx ay 2abC.0相切，圆心到直线距离等于半径,2ab2d22a.ab又a0,b。，则上式可化简为a23b22o222222c2bac,可得ax 2x a(e e )f (2 x) f(x),即x 1为f(x)的对称轴,由题意，f (x)有唯一零点，. f(x)的零点只能为x 1,ac,即-2一a3ec-6，故选Aa311.已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则aA.【答案】【解析】B.C.D. 1由条件，f(2 x)f (x) x2 2xa(ex 1 e x 1),得：22 x 1(2 x) 1、(2 x) 2(2 x) a(e e )21xx1、x4x442xa(ee)21111即f(1)121a(ee)0,一11解得a-.212.啰形ABCD匕ABAP AB AD ,则AD2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.假设的最大值为A.【答案】【解析】3A由题意，画出右图B.c.-5D.2设BD与（jC切于点E,连接CE.以A为原X,AD为轴正半轴，AB为轴正半轴建立直角坐标系，则C点坐标为（2,1）.|CD|1,|BC|2.BD1222.5BD切G）C于点E.CEBD.CE是RtABCD|EC|中斜边BD上的高.1_-|BC|CD|BD|PBDI的半径为2.5.-52SABCD22,555P在CJC上.P点的轨迹方程为设p点坐标（x，y。），的参数方程如下：(X2)2可以设出x02y1而aP5cos5-5sin5AP(3。)ABAD(0,1)(0,1)(y1)2p点坐标满足aD(2,0)1彳一X012两式相加得：5一cos5y。(2,0).(2,)2V5sin52sin(（其中275sin 52, 5、)55一cos5当且仅当-2k兀kZ时,2取得最大值3.、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分xy0,13.假设x,y满足约束条件xy2W05(Jz3x4y的最小值为y0,【答案】1【解析】由题，画出可行域如图：目标函数为z3x4y,则直线y3x.纵截距越大，值越小.44由图可知：在A1,1处取最小值，故431411.14.设等比数列anaa2a %显然q 1 , 方得1 q3a4 a1qx 1,x500时，易知一定小于的情况.综上所述：当n300时，取到最大值为520.19.12分工如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形,AB.BD.1证明：平面ACD平面ABC;2过AC的平面交BD于点E，假设平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分.求二面角D.AE.C的余弦值.【解析】（WAC中点为O,连接BO,DO；AABC为等边三角形.BOACABBCABBCBDBDABDCBD.ABDDBC ACD是直角三角形.ABD二 CBD ,ADCD,即ACD为等腰直角三角形,为直角又O为底边AC中点DO令ABACa,则ABAC易得：od，a,OB222OD|OB|BDBC|BDa3aa2由勾股定理的逆定理可得DOB一2即ODODODOBACOBAC|OBOODAC平面ABCOB平面ABC又.OD平面ADC由面面垂直的判定定理可得平面ABC平面ADC平面ABC由题意可知VDACEVBACE即B,D到平面ACE的距离相等即E为BD中点，以。为原点，OA为轴正方向,OD为轴正方向，设|ACob为轴正方向，建立空间直角坐标系,则O0,0,0Aa,0,02a0,0,-2B0,-3a,023a0,a,_44易得：AEa3a,一a,一244设平面AED的法向量为n1平面AEC的法向量为电AEn1则TT0,解得n20,1,船0假设二面角DAEC为，易知为锐角,则cosn220.12分已知抛物线段AB为直径的圆.1证明：坐标原点2设圆M过点P2C:y_2x,过点2,0的直线交C于AO在圆M上;4,2，求直线与圆M的方程.B两点，圆M是以线【解析】显然,设l:x当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意.联立:my2y2xmyA(X1,y),B(x2,y2),得y22my40,2216恒大于，%X1X2 Vik(X 4)(X2 4) (y2)(V22) 0V22m,ViV2(mVi2)(mV22)/2(m1)ViV22m(ViV2)4,214(m1)2m(2m)4.oAoB,即o在圆m假设圆m过点p,则tPbPo(mV12)(mv22)(%2)(y22)0,2(m1)y1y2(2m2)(y1y2)801化间付2mm10解得m万或1当mq时，l:2xy40圆心为Q(%,y0),y。yy2-2半径r |OQ |12y085160 圆心为 Q(x0,yc),则圆M:(x-)2(y-)242当m1时，l:xy2y0产1,xy023,半径r|OQ|,3彳则圆M:(x3)2(y1)21021.12分已知函数f(x)x1alnx.1假设f(x)0,求的值；2设m为整数，且对于任意正整数，(1+)(1号)(1-21n)(m,求m的最小值.【解析】f(x)x1alnx,x0则f(x)1a一，且f(1)0xx当af(1)0满足题意综上所述a1.当a1时f(x)x1Inx0即Inxwx1则有ln(x1)wx当且仅当x0时等号成立ln(11,一*-k-,kN2k1万面：ln(1)ln(12.ln(1112.22即(12)(11122)”1王)院。市) 2).(1 R-n)21351另一万面：(1)(12当n3时，(11)(1*1-mN,(1-)(121-m的最小值为.22.选修4-4：坐标系与参数方程10分在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为t,kt,t为参数，直线l的参数方程为m,mm为参数，设与l的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.12k写出C的普通方程：以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l:(cossin)M为与C的交点，求M的极径.【解析】将参数方程转化为一般方程11: ykx112: yxk消可得:即P的轨迹方程为2y2x将参数方程转化为一般方程I3：xy联立曲线解得3.22J2cos解得sin即M的极半径是23.选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)|x1求不等式f(x)2假设不等式f(x)10分|x|.的解集；xxm的解集非空，求m的取值范围.3,xW1【解析】fx|x1|x21可等价为fx2x1,1x2.由fx1可得:3,x2当x1,解得*1;当x2时，fx31恒成立.综上，fx1的解集为x|x1.不等式fxx2xm等价为fxx2xm,令gxfxx2x,则gxm解集非空只需要gxmaxm.2xx3,xW1一2而gxx3x1,1x2.2xx3,x2当x2时，gxg222231.max.,5,5综上，gx一，故m-.max4452(u)sin(5尸35sin,cos
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