3几何选讲平面几何中几个重要定理的证明

初等几何选讲复习资料三几何选讲平面几何中几个重要定理及证明、塞瓦定理1 .塞瓦定理及其证明定理：在 ABC内一点P,该点与 ABC的三个顶点相连所在的三条直线分别交 ABC 三边 AB、BC、CA于点D、E、F,且D、E、F三点均不是 ABC的顶点，则有ADBEDBEC证明：运用面积比可得CF彳1 FA .AD _ S adpS ADCDB S BDP S BDC根据等比定理有S ADP S ADC二 S ADC 一 S ADPS APCS BDP S BDC S BDC 一 S BDP所以二SAPe .同理可得匹二CF _ S. bpcDB S bpcEC S ApeFA S apb一 AD BE CF 三式相乘得DB 左云一1注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高” 还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”2. 塞瓦定理的逆定理及其证明定理：在厶ABC三边AB、BC、CA上各有一点 D、E、F,且D、E、F均不是 ABC的顶点，若DB BC CA = 1，那么直线CD、AE、BF三线共点.证明：设直线AE与直线BF交于点P,直线CP交AB于点D/,则据塞瓦定理有AD/ BE CFD/B EC FAAD BE CF = iDB EC FA所以有AD AD/DB D/B由于点D、D，都在线段AB上，所以点D与D/重合.即得D、E、F三点共线.注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证.梅涅劳斯定理3. 梅涅劳斯定理及其证明定理：一条直线与 ABC的三边AB、BC、CA所在直线分别交于点 D、E、F,且D、E、F均不是厶ABC的顶 点，则有AD 匹 CF =1DB EC FA .证明：如图，过点C作AB的平行线，交EF于点G.因为 CG / AB,所以CG CFAD FA因为 CG / AB,所以CG ECDBBE(2)由（1）宁（2）可得DB BEAD ECCFAD BEFA，即得 DB ECFA注：添加的辅助线CG是证明的关键“桥梁”，两次运用相似比 得出两个比例等式，再拆去“桥梁” （CG）使得命题顺利获证.4. 梅涅劳斯定理的逆定理及其证明定理：在厶ABC的边AB、BC上各有一点D、E,在边AC的延AD BE CF /长线上有一点f,若DB EC 7a二1，那么，D、E、F三点共线.证明：设直线EF交AB于点D/,则据梅涅劳斯定理有AD/D/BBEECCF.1FAAD BE CF 因为DB EC FA 1，所以有DBAD在线段AB上，所以点D与D/重合.即得D、E、F三点共线.注：证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙，注意分析其 相似后面的规律.三、托勒密定理ABMDABACBECD，即 AB CD 二 AC BE(2)5 .托勒密定理及其证明定理：凸四边形 ABCD是某圆的内接四边 形，则有AB- CD + BC- AD = AC BD .证明：设点M是对角线AC与BD的交点，在线段BD上找一点, 使得 DAE 二.BAM .因为 ADB 二 ACB，即 ADE 二 ACB，所以 ADE s ： ACB ,即得AD DE= 即 AD BC = AC DE( i)AC BC 即(由于 DAE 二 BAM ,所以 DAM 二 BAE , 即. DAC 二 BAE而.ABD 二.ACD，即.ABE 二.ACD，所以厶 ABE ACD .即得由(1) + (2)得AD BC AB CD AC DE AC 二BE .所以 AB- CD + BC- AD = AC- BD .注：巧妙构造三角形，运用三角形之间的相似推得结论.这里的构造具有特点，不容易想到，需要认真分析题目并不断尝试.6. 托勒密定理的逆定理及其证明定理：如果凸四边形 ABCD满足ABX CD + BCXAD = ACX BD ,那么A、B、C、D四点共圆.证法1 （同一法）：在凸四边形ABCD内取一点E ,使得 E A B二.D A,CEBA- DCA，贝卩:EAB s QAC .可得 ABX CD = BEXAC(1)AEADABAC(2)则由 DAE CAB 及(2)可得 DAEBEDs CAB .于是有ADK BC = DE/C(3)B、B/、A，四点共圆.延ACCB，A由(1) + (3)可得 ABX CD + BCKAD = ACK( BE + DE ).据条件可得 BD = BE + DE，贝卩点 E在线段 BD上.则由EBA 二 DCA,得 DBADCA，这说明 A、B、C、D 四点共圆.证法2 （构造转移法）延长DA到A/,延长DB到B/，使A、 长DC到C：使得B、C、B，四点共 圆.（如果能证明B &共线，则命 题获证）那么，据圆幕定理知 A、C、C、A四点也共圆.A，B， A，DB，C， C，D因此，ABBD ， BCBD 可得 A/B/ B/C/AB A/D BC C/D另一方面,ACACA/DCD欲证AB A/D BC C/DBDAC ADCD,即证BD即 BC CD C，D=(AC BD-AB CD)A/D .据条件有 AC BD - AB CD二AD BC ,所以需证BC CD CD 二 AD BC A/D即证CD CD二AD A/D ,这是显然的.所以，A/B/ B/C A/C/ ,即 B/、C，共线.所以 A/B/B 与 BB/C/ 互补.由于二 DAB , BBC，二 DCB ,所以 DAB与DCB互补，即A、B、C、D四点共圆.7. 托勒密定理的推广及其证明定理：如果凸四边形ABCD的四个顶点不在同一个圆上，那么就有ABXCD + BCXAD ACXBD证明：如图，在凸四边形ABCD内取一点E,使得 n EAB = z DAC , 乂 EBA=厶 DCA，则EAB s DAC .AEABAD AC(2)ADK BC = DEXAC(3)则由 DAE二CAB及(2)可得 DAE sCAB .于是由(1) + (3)可得 ABX CD + BCKAD = ACK( BE + DE )因为A、B、C、D四点不共圆，据托勒密定理的逆定理可知ABX CD + BCKAD = ACK BD所以BE + DE = BD ,即得点E不在线段BD上，则据三角形的性质有 BE + DE BD .所以 ABX CD + BCXAD ACX BD .四、西姆松定理8. 西姆松定理及其证明定理：从上ABC外接圆上任意一点P向BC、CA、AB或其延长 线引垂线，垂足分别为 D、E、F,则D、E、F三点共线.证明：如图示，连接PC,连接EF交BC于点D/，连接PD/.因为 PE-AE, PF - AF ,所以 A、F、 P、E四点共圆，可得 FAE = FEP.因为A、B、P、C四点共圆，所以BAC 二 BCP,即 FAE 二 BCP.所以， FEP 二.BCP，即.D/EP二.D/CP,可得C、D P、E四点共圆.所以， CD/P + CEP = 18C。而 CEP = 9C,所以 CD/P = 9C, 即 PD，_ BC.由于过点P作BC的垂线，垂足只有一个，所以点 D与D，重合, 即得D、E、F三点共线.注：（1）采用同一法证明可以变被动为主动， 以便充分地调用题 设条件.但需注意运用同一法证明时的唯一性.（2）反复运用四点共圆的性质是解决此题的关键，要掌握好四 点共圆的运用手法.五、欧拉定理9. 欧拉定理及其证明定理：设 ABC的重心、外心、垂心分别用字母G、0、H表示.则有G、0、H三 点共线（欧拉线），且满足0H二30G .证明（向量法）：连B0并延长交圆0 于点D。连接CD、AD、HC,设E为边BC的中点，连接0E和0C.则0H 二 0A AH因为 CD丄BC, AH丄BC,所以 AH / CD .同理CH / DA . 所以，AHCD为平行四边形.TTTTTT从而得 AH 二 DC .而 DC 二 20E，所以 AH 二 20E .T 1TT、TT因为 OE = 了 0B+ OC，所以 AH = OB+ OC2 i丿由得：OH =0A OB 0C另一方面，OG =0A AG =0A 2GF = OA GB GC .而 GB 二 GO OB ,GC 二 GO OC，所以T TOA+OB+OC1OG =0A 2GO OC OB二 OG -3由得：OH =30G .结论得证.注：（1）运用向量法证明几何问题也是一种常用方法，而且有其 独特之处，注意掌握向量对几何问题的表现手法;（2）此题也可用纯几何法给予证明.又证（几何法）：连接OH, AE，两 线段相交于点G/;连B0并延长交圆0 于点D;连接CD、AD、HC,设E为 边BC的中点，连接0E和0C,如图.因为 CD丄BC,AH丄BC,所以 AH / CD .同理 CH / DA .所以，AHCD为平行四边形.可得 AH = CD .而 CD = 20E，所以 AH = 20E .因为 AH / CD, CD / 0E,所以AH / 0E.可得 AHG/sEOG/.所以AH AG HG/2OE GE GO 1 AG 2由GE二1，及重心性质可知点 G，就是二ABC的重心，即G与点G重合.所以，G、O、H三点共线，且满足OH二3OG .六、蝴蝶定理接FF DF QU、DQ/.据圆的性质和图形的对称性可知:MF/Q/ = MFP, F/Q/M = FPM ;且 FF/ / AB , PM = MQ/.因为C、D、Fl F四点共圆，所以CDF/ + CFF/ = 180,而由 FF/ / AB 可得.Q/PF + CFF/ = 180，所以CDF/ 二 Q/PF,即 MDF/ 二 Q/PF.又因为 Q/PF = PQ/F/，即 Q/PF = MQ/F/.所以有MDF/ = MQU.这说明Q/、D、F、M四点共圆，即得.MFd = Q/DM .因为 MFd = MFP ,所以 MFP = Q/DM .而 MFP = EDM ,所以.EDM二.Q/DM .这说明点Q与点Q，重合，即得PM = MQ .x = m1 y + n 1, x = m2y + n 2;直线CD、EF的方程分别为y = ki x ，y = k2 x .则经过C、D、E、F四点的曲线系方程为(y -k1 x )(y 2 x)+ - (x -m1 y -n1)(x -m2 y -n2)=0.整理得2 2(+k1k2)x +(1+ m1m2)y -(k1+k2) (m1+m2)xy(n什 n2)x+ (n im2+n2mi)y+ nin 2=0.由于C、D、E、F四点在一个圆上，说明上面方程表示的是一个圆，所以必须+ ki k2 = 1 +mi m2 工 0,且(ki+k2)+ (mi+m2)=0.若 =0，则kik2=1, ki+k2=0，这是不可能的，故 半0;又y轴是弦AB的垂直平分线，则圆心应落在y轴上，故有，(小 +巳)=0,从而得ni +乜=0.这说明直线DE、CF在x轴上的截距互为相反数，即得PM = MQ .注：利用曲线系方程解题是坐标法的一大特点， 它可以较好地解 决直线与曲线混杂在一起的问题.如本题，四条直线方程一经组合就 魔术般地变成了圆方程，问题瞬息间得以解决，真是奇妙.运用它解 题，不拘泥于小处，能够从整体上去考虑问题.另外，待定系数法在其中扮演了非常重要的角色， 需注意掌握其 用法.