31二项式定理

江苏省2014届一轮复习数学试题选编26:二项式定理（教师版）填空题1 .二项式（x + y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是 .（用数字作答）【答案】答案105r r5-r = 22 33 5X4X3解析 Tr+i=Cx- y（r=0,1,2,3,4,5）,由题意知, 含 xy 的系数为 C3=“” =10.r = 33 x 2X1.（用数字作答）2.（2 ；）6的二项展开式中的常数项为【答案】-160【解析】（2 x-1 ）6的展开式项公式是JxTr 1二C；(2X)6(一 1 )xr =C626(-1)rx3由题意知T4 二 C：23(-1)3 760.-10,则10,解得3 -r =0, r =3 ,所以二项展开式中的常数项为1 63 .在(X-)的二项展开式中，常数项等于 .x【答案】解析展开式通项Tr=(-1)rC6x6x=(-1)rC6x6r,令6-2 r=0,得r=3,故常数项为- C； = -20 .4 . (2013上海高考数学 (文)设常数R .若i x2 a的二项展开式中x项的系数为I X丿a =.【答案】一2解：Tr 1 =C；(x2)5_u(a)r,2(5-r) r =7= r -1,x故 C；a = -10二 a = -2.5 . 若 C：+3C；+320?+32。：4+. + 3n_1=85,贝U n=【答案】4201322013a1a2a20136 .右(2x1)=a()+x+a?x +111+a2013X,则 a。+ 2+111+7 =.2 2 2【答 案】0 提示：在(2x -1)2013 = a0 ex a2x2 丨1丨 a2013x2013a20132 2013527 . （a+x）展开式中x的系数为10,贝U实数a的值为【答案】解析：（a x）5展开式中第k项为T5k = C；a5- kxk,令k = 2 , x2的系数为C；a3 =r a f8 .设常数a eR,若x?十一 的二项展开式中x7项的系数为-10,则玄=I X【答案】 解：Tri = C5 (x )()，2(5= 7 r =1,故 Ca = -10= a - -2.x523459 .右(2x1) =a +a1a2x +a3x +a4x +a5x ,贝y a。+a-31ak2 11+a(k 1)2丄)ak1(2k 1)3 3(k 1)2 -213k - 21 (2k 1)(3k-2)-3(k 1)2-2 13k2-7k-3 _33(k 1)2-23k-2- 3 3(k 1)2 -23k -2由 k 一 3可知，3k2 -7k -3 - 0即 11111a(k 1) a(k 1) 19(k 1) 2a(k 1)23综合可得，当n 2时, 丄+丄+4屮+丄沁an an* an 七an2317.已知(x + 1)n + q(x1) + a2(x1)2 +丨丨丨+ a.(x1)n(n N*).n求ao及Sn =7 ai ；i 二试比较Sn与(n -2)2n + 2n2的大小,并说明理由.nn【答案】令x=：1,则ao=2n,令X=2,则vai=3n ,所以Sx a=3n-2ni =0=1要比较Sn与(n-2)2n + 2n2的大小，只要比 较3n与(n - 1)2n + 2n2的大小.当 n =1 时，3n (n -1)2n + 2n2;当 n =2 或 3 时,3n ： (n - 1)2n + 2n2,当 n =4 或 5 时，3n (n -1)2n + 2n2,猜想：当n 4时，3n (n - 1)2n + 2n2.下面用数学归纳法证明： 由上述过程可知，当n =4时,结论成立 假设当n -k(k 4,k，N*)时结论成立，即3k (k -1)2k + 2k2,两边同乘以 3,得 3k+1 3(k -1)2k + 2k2=k2k+1 + 2(k + 1)2 +(k 3)2k + 4k24k2,而(k -3)2k + 4k2 _4k -2 =(k -3)2k + 4(k2 -k -2) + 6=(k -3)2k + 4(k -2)(k + 1) + 6 0,所以 3(k +1)-12+ 2(k + 1),即n = k +1时结论也成立.由可知,当n 4时,3n (n -1)2n + 2n2成立综上所述,当 n=1时,3n(n -1)2n+ 2n2;当 n =2 或 3 时，3n： (n- 1)2n+ 2n2;18当 n 4 时,3n (n -1)2n + 2n2已知函数 f(xc0x2nl-C；x2n- c2x2n (|cn(-1)rx2n川 cn(1)nxn,n N .当n 2时，求函数f (x)的极大值和极小值；是否存在等差数列可,使得aQ0azC； 111 a.二nf对一切n N都成立？并说明理由【答案】 f (x) =xncnxn c：xnc2xn，cn(1)rx2(1)nc： = xnA(x-1)n,f (x) =(n -1)xn(x -1)nxnA -n(x-1)2=xnN(x_1)n(n 1)(x-1) nx,n 1令 f (x) =0 得为=0,x2,x3 =1,2n -1因为n 2 ,所以人：:x2 : x3(：,0)0n -1(0, )x2n -1f (x)+0+无f(x)极值所以当X = n T时,y极大(n -1)n1 (-n)n2n 1-;当x =1时,2n 1(2 n -1)当n为偶数时f (x)的增减性如下表：y极小二0当n为奇数时f(x)的增减性如下表n -1,n T八(1,;)2n-1(2n -1,l)100+极大值极 小值x(-；0)0(0,n 1、2n -1)n _12n -1n -1(2n-1,1)1(1,：)f (x)+00+0+极极小 值无f (x)大极值值所以x=o时，y极大=0；当n 1x =时,(n -1)n 1n-(n)y极小一(2n-1)2nJ2n -1假设存在等差数列 a使a1C0 a2C： a3C2亠亠an1Cn = n -2nJ成立,由组合数的性质c -cn,把等式变为 an iCn anC； - anC； eC： = n 2nJ,两式相加，因为:an / 是等差数列，所以ai +an半=a2 * an = a3 + an)=川=気屮*ai ,故(ai ani)(C0 C D) C)二 n 2n,所以a1 an勺=n再分别令 n =1，n =2 ,得 ai - a2 =1 且 ai a3 =2 ,进一步可得满足题设的等差数列faj的通项公式为an = n-1(nN )19.已知 f (x)二(2-X)n,其中 n N*.3(1)若展开式中含X项的系数为14,求n的值；当x=3时,求证：f(x)必可表示成-sis-1 N )的形式.r r 8-r 236 n 【答案】解：(1)因为I-1二C82 x ,所以r=6,故x项的系数为Cn 2=14,解得n = 7(2)由二项式定理可知，(23)n =Cn02n(73 j +cn2nw3 j +c22n(后+c：20(岛)5设(2 + J3)n =x += Jx2 +73?,而若有(2 +T3)n+Vb , a, N*则(2 后)=需*：b a,bN*( a ,b) ( a - b) =(2,3)n (2n =1.令 a =s,sN*,则必有 b = s 1(2 ： 3)必可表示成s -1的形式,其中s N ”注：用数学归纳法证明的，证明正确的也给相应的分数120.已知 f(x) =(xk x)n ,且正整数 n 满足 C；二 C；,A 二0,1,2,|n.(1)求 n;若i, j A,是否存在j,当i_j时,cn乞Cnj恒成立若存在，求出最小的j,若不存在，试说明理由 kA,若f(x)的展开式有且只有6个无理项，求k.【答案】21解:由氓=可知”=呂3分行)存在.展开式中最大二项式系数满定条件，又展开式中最大二项式系数为蹲J=4冷18-r展开式通项为7；+严禺來产：斓念123S,检验得k=3或4时3-1是k的整数億的r有且只有三个.故k=3或416分