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第二十九讲 弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积1.1.掌握：弧长公式、扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积公掌握：弧长公式、扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积公式；式；2.2.会：计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积，借助会：计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积，借助分割的方法和转化的思想求阴影部分的面积分割的方法和转化的思想求阴影部分的面积. .一、圆周长和弧长公式一、圆周长和弧长公式1.1.圆周长公式：圆周长公式：C=_(RC=_(R为圆的半径为圆的半径).).2.2.弧长公式：在半径为弧长公式：在半径为R R的圆中，的圆中，n n的圆心角所对的弧长的圆心角所对的弧长l的计算公式为的计算公式为l=_.=_.2R2Rn R180【即时应用【即时应用】1.1.圆心角为圆心角为6060，且半径为，且半径为3 3的扇形的弧长为的扇形的弧长为_._.2.2.半径为半径为6 6的圆中，长为的圆中，长为44的弧长所对的圆心角为的弧长所对的圆心角为_._.3.3.若若3030的圆心角所对的弧长为的圆心角所对的弧长为 ，则此圆的半径为，则此圆的半径为_._.120120329 9二、圆面积和扇形面积公式二、圆面积和扇形面积公式1.1.圆面积公式：圆面积公式：S=_(RS=_(R为圆的半径为圆的半径).).2.2.扇形面积公式：半径为扇形面积公式：半径为R R的圆中，的圆中，n n的圆心角与弧长的圆心角与弧长l所成所成的扇形面积为的扇形面积为S S扇形扇形=_;=_;S S扇形扇形=_.=_.RR2 22n R3601R2l【即时应用【即时应用】1.1.半径为半径为1010的圆中，圆心角为的圆中，圆心角为9090的扇形的面积等于的扇形的面积等于_._.2.2.某扇形的半径为某扇形的半径为12 cm,12 cm,弧长为弧长为6 cm6 cm，则此扇形的面积等于，则此扇形的面积等于_._.252536 cm36 cm2 2三、圆锥的侧面积、全面积计算公式三、圆锥的侧面积、全面积计算公式设圆锥的母线长为设圆锥的母线长为l, ,底面半径为底面半径为R,R,则有则有: :1.S1.S圆锥侧圆锥侧=_.=_.2.S2.S圆锥全圆锥全=_.=_.RRlRRl+R+R2 2【即时应用【即时应用】1.1.母线长为母线长为2 2，底面圆的半径为，底面圆的半径为1 1的圆锥的侧面积为的圆锥的侧面积为_._.2.2.已知圆锥的母线长为已知圆锥的母线长为3030，侧面展开后所得扇形的圆心角，侧面展开后所得扇形的圆心角为为120120，则该圆锥的底面半径为，则该圆锥的底面半径为 _._.3.3.一个圆锥的侧面展开图是半径为一个圆锥的侧面展开图是半径为1 1的半圆的半圆, ,则该圆锥的底则该圆锥的底面半径是面半径是_._.22101012【核心点拨【核心点拨】1.1.扇形面积公式扇形面积公式S S扇形扇形= = lR R与三角形面积公式十分类似，所以可与三角形面积公式十分类似，所以可以把扇形看成一个曲边三角形，把弧长以把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看作是底边，看作是底边，R R看成是看成是底边底边l上的高上的高. .2.2.圆锥和其侧面展开图圆锥和其侧面展开图( (扇形扇形) )之间的等量之间的等量关系：关系：(1)h(1)h2 2r r2 2l2 2. .(2) (2) 的长的长OO周长周长(3)S(3)S扇形扇形ABCABC= =r= =rl. .12BCn.180l2n360l弧长公式弧长公式中考指数：中考指数： 知识知识点睛点睛对于弧长公式对于弧长公式 可变形为：可变形为： 或或在三个量在三个量l，n n，R R中，若已知其中两个量，就可以求中，若已知其中两个量，就可以求出第三个量出第三个量. . 特别特别提醒提醒1.n1.n表示该圆弧所对的圆心角的度数，其本身无单位表示该圆弧所对的圆心角的度数，其本身无单位；2.2.在计算过程中，在计算过程中，l与与R R单位要统一单位要统一. . n R180，l180nRl180Rn，l【例【例1 1】(2012(2012广安中考广安中考) )如图，如图，RtRtABCABC的边的边BCBC位于直线位于直线l上，上，AC= AC= ，ACB=90ACB=90，A=30A=30，若，若RtRtABCABC由现在的位置向由现在的位置向右无滑动地翻转，当点右无滑动地翻转，当点A A第第3 3次落在直线次落在直线l上时，点上时，点A A所经过的路所经过的路线的长为线的长为_(_(结果用含结果用含的式子表示的式子表示).).3【思路点拨【思路点拨】分析点分析点A A第三次第三次落在直线落在直线l上时上时 所经过的路线所经过的路线 有两种有两种不同的不同的弧弧计算两种弧计算两种弧的长度及两的长度及两种弧的个数种弧的个数结结果果【自主解答【自主解答】AC= AC= ，ACB=90ACB=90，A=30A=30，AB=2AB=2，RtRtABCABC向右无滑动地翻转，当点向右无滑动地翻转，当点A A第第3 3次落在直线次落在直线l上时，点上时，点A A所经过的路线的长为：所经过的路线的长为：3 3个个 和和2 2个个之和；之和；当点当点A A第第3 3次落在直线次落在直线l上时，点上时，点A A所经过的路线的长所经过的路线的长为为答案：答案： 31202418039033180243 .43【对点训练【对点训练】1.(20111.(2011安徽中考安徽中考) )如图，如图，OO的半径是的半径是1 1，A A，B B，C C是圆周上是圆周上的三点，的三点，BAC=36BAC=36，则劣弧，则劣弧 的长是的长是( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)BC5253545【解析【解析】选选B.B.连接连接OBOB，OCOC，根据圆周角定理可知，根据圆周角定理可知BOC=72BOC=72，所以劣弧所以劣弧 的长为的长为BC7221.1805 2.(20122.(2012湛江中考湛江中考) )一个扇形的圆心角为一个扇形的圆心角为6060，它所对的弧，它所对的弧长为长为2 cm2 cm，则这个扇形的半径为，则这个扇形的半径为( )( )(A)6 cm (B)12 cm (C) cm (D) cm(A)6 cm (B)12 cm (C) cm (D) cm【解析解析】选选A.A.由扇形的圆心角为由扇形的圆心角为6060，它所对的弧长为，它所对的弧长为2 cm2 cm，即即n=60n=60，l=2,=2,根据弧长公式根据弧长公式 , ,得得 即即R=6 cm.R=6 cm.2 36n R180l60 R2,180 3.(20123.(2012珠海中考珠海中考) )如果一个扇形的半径是如果一个扇形的半径是1 1，弧长是，弧长是 , ,那那么此扇形的圆心角的大小为么此扇形的圆心角的大小为( )( )(A)30(A)30 (B)45 (B)45 (C)60 (C)60 (D)90 (D)90【解析【解析】选选C.C.根据弧长公式根据弧长公式 , ,可得可得 ，解得，解得n=60.n=60.3n r180ln13180扇形面积公式扇形面积公式中考指数：中考指数：知识知识点睛点睛1.1.已知半径已知半径R R，圆心角的度数，圆心角的度数n n，求扇形面积时，可选，求扇形面积时，可选用用 已知半径已知半径R R和弧长和弧长l，求扇形面积时，可，求扇形面积时，可选用选用2.2.在公式在公式 中，若已知中，若已知n n，R R，S S中的任意两个中的任意两个量，就可以求出第三个量量，就可以求出第三个量. . 特别特别提醒提醒公式公式 中，中，n n为为1 1的倍数，不带单位的倍数，不带单位. . 2n RS,3601SR;2l2n RS3602n RS360【例【例2 2】(2011(2011龙东中考龙东中考) )已知扇形的圆心角为已知扇形的圆心角为6060，圆心，圆心角所对的弦长是角所对的弦长是2 cm2 cm，则此扇形的面积为，则此扇形的面积为_cm_cm2 2. .【思路点拨【思路点拨】已知条件已知条件 扇形半径扇形半径 根据面积公式求得结果根据面积公式求得结果【自主解答【自主解答】扇形的圆心角为扇形的圆心角为6060，圆心角所对的弦长为，圆心角所对的弦长为2 cm.2 cm.扇形的半径为扇形的半径为2 cm.2 cm.根据扇形面积公式得根据扇形面积公式得答案：答案：226022S(cm ).360323【对点训练【对点训练】4.(20124.(2012兰州中考兰州中考) )如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为此扇形称为“等边扇形等边扇形”，则半径为，则半径为2 2的的“等边扇形等边扇形”的面积的面积为为( )( )(A)(A) (B)1 (C)2 (D) (B)1 (C)2 (D)【解析【解析】选选C.“C.“等边扇形等边扇形”的面积为的面积为2311R2 22.22 l5.(20125.(2012黄石中考黄石中考) )如图所示，扇形如图所示，扇形AOBAOB的圆心角为的圆心角为120120，半，半径为径为2 2，则图中阴影部分的面积为，则图中阴影部分的面积为( )( ) 44434A3 B2 3 C D33323【解析【解析】选选A.A.作作OCABOCAB，AOB=120AOB=120,OAB=30,OAB=30. .OA=2,OA=2,OC=1,AC= ,OC=1,AC= ,即即AB=AB=阴影部分的面积为阴影部分的面积为32 3,21202142 3 13.36023 6.(20126.(2012烟台中考烟台中考) )如图，在如图，在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，A=30A=30，AB=2AB=2，将，将ABCABC绕顶点绕顶点A A顺时针方向旋转至顺时针方向旋转至ABCABC的位置，的位置，B B，A A，CC三点共线，则线段三点共线，则线段BCBC扫过的区域扫过的区域面积为面积为_._.【解析【解析】RtRtABCABC中，中，C=90C=90，BAC=30BAC=30，AB=2AB=2，BC= AB= BC= AB= 2=1,AC=22=1,AC=2 , ,BAB=150BAB=150, ,S S阴影阴影=AB=AB扫过的扇形面积扫过的扇形面积-AC-AC扫过的扇形面积扫过的扇形面积答案：答案：1212332221502150( 3)5.360360125127.(20117.(2011柳州中考柳州中考) )如图，如图，OO的半径为的半径为5 5，直径，直径ABCDABCD，以以B B为圆心，为圆心，BCBC长为半径作长为半径作 ，则，则 与与 围成的新月围成的新月形形ACED(ACED(阴影部分阴影部分) )的面积为的面积为_. _. CEDCADCED【解析【解析】根据图形可知：阴影部分的面积根据图形可知：阴影部分的面积= =半圆的面积半圆的面积+ +BCDBCD的面积的面积- -扇形扇形BCEDBCED的面积，即的面积，即 5 52 2+ + 10105-5-答案：答案：25251212290(5 2)25.360圆锥的侧面积圆锥的侧面积中考指数：中考指数：知知识识点点睛睛圆锥的侧面展开图是一个扇形，解决圆锥侧面展开图的圆锥的侧面展开图是一个扇形，解决圆锥侧面展开图的问题要将圆锥侧面展开图转化为扇形来解决，在转化过问题要将圆锥侧面展开图转化为扇形来解决，在转化过程中要注意展开前后相互对应的关系：扇形的弧长等于程中要注意展开前后相互对应的关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长；扇形的半径等于圆锥的母线长圆锥底面圆的周长；扇形的半径等于圆锥的母线长. . 特特别别提提醒醒公式公式 和和S=S=r rl中的中的l不要混淆，前者表示弧长，不要混淆，前者表示弧长，后者表示圆锥的母线长后者表示圆锥的母线长. . n R180l【例【例3 3】(2012(2012成都中考成都中考) ) 一个几何体由圆锥和圆柱组成，一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则该几何体的全面积其尺寸如图所示，则该几何体的全面积( (即表面积即表面积) )为为_( (结果保留结果保留).).【思路点拨【思路点拨】该几何体的表面积分三部分该几何体的表面积分三部分 由圆锥的高和底面半径求母线由圆锥的高和底面半径求母线 计算圆锥侧面积计算圆锥侧面积 计算圆柱侧面积计算圆柱侧面积 计算圆柱的底面积计算圆柱的底面积 求和求和【自主解答【自主解答】由图可见圆锥的底面直径是由图可见圆锥的底面直径是8 8，所以半径是，所以半径是4 4，因，因为圆锥的高是为圆锥的高是3 3，根据勾股定理可得圆锥的母线长为，根据勾股定理可得圆锥的母线长为5 5，根据圆，根据圆锥侧面积的计算公式可得其侧面积为锥侧面积的计算公式可得其侧面积为 885=205=20；圆柱；圆柱的侧面积为的侧面积为884=324=32；圆柱的底面积为；圆柱的底面积为4 42 2=16.=16.所以，所以，全面积为全面积为20+32+16=68.20+32+16=68.答案：答案：68 68 12【对点训练【对点训练】8.(20128.(2012无锡中考无锡中考) )已知圆锥的底面半径为已知圆锥的底面半径为3 cm3 cm，母线长为，母线长为5 cm5 cm，则圆锥的侧面积是，则圆锥的侧面积是( )( )(A)20 cm(A)20 cm2 2 (B)20 cm (B)20 cm2 2(C)15 cm(C)15 cm2 2 (D)15 cm (D)15 cm2 2【解析解析】选选D.D.圆锥的侧面积为圆锥的侧面积为 223 35=15(cm5=15(cm2 2).).129.(20119.(2011恩施中考恩施中考) )一个几何体的三视图如图所示，根据图中一个几何体的三视图如图所示，根据图中的相关数据求得该几何体的侧面积为的相关数据求得该几何体的侧面积为( )( )(A)(A) (B)2 (C)3 (D)4 (B)2 (C)3 (D)4【解析【解析】选选B.B.由三视图可知，这个几何体为圆锥，如图，由三视图可知，这个几何体为圆锥，如图，所以这个圆锥的侧面积为所以这个圆锥的侧面积为RLRL 2 22.2.2221322210.(201210.(2012衢州中考衢州中考) )用圆心角为用圆心角为120120，半径为，半径为6 cm6 cm的扇形的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽纸片卷成一个圆锥形无底纸帽( (如图所示如图所示) )，则这个纸帽的高，则这个纸帽的高是是( )( )(A) cm (B) cm (C) cm (D)4 cm(A) cm (B) cm (C) cm (D)4 cm23 24 2【解析【解析】选选C.C.设底面圆的半径为设底面圆的半径为r r，2r= 2r= ，解得：，解得：r=2.r=2.又因为又因为( (圆锥的高圆锥的高) )2 2+(+(圆锥的底面圆的半径圆锥的底面圆的半径) )2 2=(=(圆锥的母圆锥的母线线) )2 2，所以，所以h h2 2+2+22 2=6=62 2，解得，解得h= .h= .故选故选C.C.12061804 211.(201111.(2011宜宾中考宜宾中考) )一个圆锥形零件的母线长为一个圆锥形零件的母线长为4 4，底面半径，底面半径为为1 1，则这个圆锥形零件的全面积是，则这个圆锥形零件的全面积是_._.【解析【解析】圆锥的侧面积是圆锥的侧面积是 4 4221=41=4，底面积，底面积= =1 12 2=，所以这个圆锥形零件的全面积是，所以这个圆锥形零件的全面积是4+=5.4+=5.答案：答案：5512【创新命题【创新命题】整体思想在求阴影部分面积中的应用整体思想在求阴影部分面积中的应用【例】【例】(2011(2011安顺中考安顺中考) )如图，在如图，在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，CA=CB=4CA=CB=4，分别以，分别以A A，B B，C C为圆心，以为圆心，以 ACAC为半径画弧，三条为半径画弧，三条弧与边弧与边ABAB所围成的阴影部分的面积是所围成的阴影部分的面积是_._.【解题导引【解题导引】阴影部分的面积阴影部分的面积= =三角形的面积三个扇形面积之三角形的面积三个扇形面积之和和. .12【规范解答【规范解答】因为因为CA=4CA=4，所以，所以 AC=2AC=2，在，在ABCABC中，中，C+A+B=180C+A+B=180，因此，分别以，因此，分别以A A，B B，C C为圆心，以为圆心，以 ACAC为半径画弧得到的三个扇形的面积和恰好是一个半径为为半径画弧得到的三个扇形的面积和恰好是一个半径为2 2的半的半圆的面积，其面积为圆的面积，其面积为 2 22 2=2=2，因为，因为RtRtABCABC的面积为的面积为 ACACBC= BC= 4 44=84=8，因此，阴影部分的面积是，因此，阴影部分的面积是8-2.8-2.答案：答案：8-28-21212121212【名师点评【名师点评】通过对整体思想在求阴影部分面积中的应用的分析通过对整体思想在求阴影部分面积中的应用的分析和总结，我们可以得到以下该类型题目的创新点拨和解题启示：和总结，我们可以得到以下该类型题目的创新点拨和解题启示：创创新新点点拨拨1.1.所求阴影部分不是规则图形，无法利用相应的面积所求阴影部分不是规则图形，无法利用相应的面积公式直接求解；公式直接求解；2.2.所求阴影部分包括几个小部分，而这几个小部分可所求阴影部分包括几个小部分，而这几个小部分可以组合成一个规则的图形，然后可以利用相应的公式以组合成一个规则的图形，然后可以利用相应的公式求解求解. . 解解题题启启示示当所求阴影部分的面积为几个小阴影部分面积之和且当所求阴影部分的面积为几个小阴影部分面积之和且每一块阴影部分的面积又无法直接求出时，可以把几每一块阴影部分的面积又无法直接求出时，可以把几个小阴影部分的面积之和看作一个整体，从而直接求个小阴影部分的面积之和看作一个整体，从而直接求出出. . 1.(20121.(2012临沂中考临沂中考) )如图，如图，ABAB是是OO的直径，点的直径，点E E为为BCBC的中点，的中点，AB=4AB=4，BED=120BED=120，则图中阴影部分的面积之和为，则图中阴影部分的面积之和为( )( )(A)1 (B) (C) (D)(A)1 (B) (C) (D)3232 3【解析【解析】选选C.C.连接连接AEAE，OEOE，ODOD，ABAB是直径，是直径，AEB=90AEB=90. .又又BED=120BED=120，AED=30AED=30，AOD=2AED=60AOD=2AED=60. .OA=OD,OA=OD,AODAOD是等边三角形，是等边三角形，A=60A=60. .点点E E为为BCBC的中点，的中点，AEB=90AEB=90，AB=ACAB=AC，ABCABC是等边三角形是等边三角形, ,EDCEDC是等边三角形，边长是是等边三角形，边长是2. 2. BOE=EOD=60BOE=EOD=60， 和弦和弦BEBE围成的部分的面积围成的部分的面积= = 和弦和弦DEDE围成的部分的面积围成的部分的面积. .阴影部分的面积阴影部分的面积= =故选故选C.C.BEDE2EDC3S23.42.(20122.(2012凉山州中考凉山州中考) )如图，小正方形构成的网格中，半径如图，小正方形构成的网格中，半径为为1 1的的OO在格点上，则图中阴影部分两个小扇形的面积之和在格点上，则图中阴影部分两个小扇形的面积之和为为_(_(结果保留结果保留).).【解析【解析】如图，设如图，设AA，BB的度数分别为的度数分别为n n1 1和和n n2 2，答案：答案：12121 n1 nSnn90.3603603603604 阴影4
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