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第46课时 数据的波动描述数据离散程度的特征量：极差、方差、标准差描述数据离散程度的特征量：极差、方差、标准差1.1.极差：一组数据中的极差：一组数据中的_数据与数据与_数据的数据的_；2.2.方差：有方差：有n n个数据个数据x x1 1,x,x2 2,x,xn n, ,各数据与它们的平均数的差的各数据与它们的平均数的差的平方分别是平方分别是 我们用它们的平均数，我们用它们的平均数，即用即用s s2 2= =来衡量这组数据的波动大小来衡量这组数据的波动大小. .3.3.标准差：方差的标准差：方差的_，即，即s=_.s=_.最大最大最小最小差差22212nxx) ,(xx) ,(xx) ,（22212n1(xx)(xx)(xx)n算术平方根算术平方根2s【核心点拨【核心点拨】数据离散程度与极差、方差的关系：极差反映数据的变化范围，数据离散程度与极差、方差的关系：极差反映数据的变化范围，方差反映数据波动的大小方差反映数据波动的大小. .一组数据的方差越大，数据的波动一组数据的方差越大，数据的波动越大，数据越不稳定或不整齐越大，数据越不稳定或不整齐. .【即时检验【即时检验】1.1.已知样本：已知样本：3 3，4 4，0 0，2 2，6 6，1 1，那么这个样本的极差是，那么这个样本的极差是_. .2.2.一组数据：一组数据：5 5，7 7，3 3，x x，6 6，4 4，若这组数据的平均数是，若这组数据的平均数是5 5，则这组数据的方差是则这组数据的方差是 , ,标准差是标准差是 . . 8 853153 极差、方差的概念及其计算极差、方差的概念及其计算【例【例1 1】（】（20112011芜湖中考芜湖中考) )某中学开展某中学开展“唱红歌唱红歌”比赛活动，比赛活动，九年级（九年级（1 1）、（）、（2 2）班根据初赛成绩，各选出）班根据初赛成绩，各选出5 5名选手参加复赛，名选手参加复赛，两个班各选出的两个班各选出的5 5名选手的复赛成绩（满分为名选手的复赛成绩（满分为100100分）如图所示分）如图所示. .(1)(1)根据图示填写下表；根据图示填写下表；(2)(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；成绩较好；(3)(3)计算两班复赛成绩的方差计算两班复赛成绩的方差. .（方差公式（方差公式: : ）班级班级平均数（分）平均数（分） 中位数（分）中位数（分）众数（分）众数（分）九（九（1 1）85858585九（九（2 2）8080222212n1s(xx)(xx)(xx)n【思路点拨【思路点拨】【自主解答【自主解答】（1 1）填表）填表: :分析统计图提取信息计算数据并填表依据统计量分析根据公式计算方差班级班级平均数（分）平均数（分） 中位数（分）中位数（分）众数（分）众数（分）九（九（1 1）8585九（九（2 2）8585100100（2 2）九年级（）九年级（1 1）班成绩好些）班成绩好些. .因为两个班级的平均数都相同，因为两个班级的平均数都相同，九年级（九年级（1 1）班的中位数高，所以在平均数相同的情况下中位数）班的中位数高，所以在平均数相同的情况下中位数高的九年级（高的九年级（1 1）班成绩好些）班成绩好些. .（3 3）九年级）九年级(1)(1)班班5 5名选手复赛成绩的方差名选手复赛成绩的方差九年级九年级(2)(2)班班5 5名选手复赛成绩的方差名选手复赛成绩的方差2222221758580858585858510085s70,522222227085100851008575858085s160.5【规律总结【规律总结】方差计算的方差计算的“两种类型两种类型”及计算步骤及计算步骤1.1.单纯的方差计算：单纯的方差计算：（1 1）计算数据的平均数；）计算数据的平均数；（2 2）代入方差公式计算）代入方差公式计算. .2.2.与统计图表有关的综合计算：与统计图表有关的综合计算：（1 1）认真分析题目信息；（）认真分析题目信息；（2 2）求平均数或其他相关量；）求平均数或其他相关量；（3 3）代入公式仔细计算）代入公式仔细计算. .【对点训练【对点训练】1.1.（20122012宁波中考）我市某一周每天的最高气温统计如下：宁波中考）我市某一周每天的最高气温统计如下：27,28,29,29,30,29,2827,28,29,29,30,29,28（单位：（单位：）. .则这组数据的极差与众数则这组数据的极差与众数分别是分别是( )( )（A A）2,28 2,28 （B B）3,29 3,29 （C C）2,27 2,27 （D D）3,283,28【解析【解析】选选B.B.极差为极差为30-27=330-27=3；在；在27,28,29,29,30,29,2827,28,29,29,30,29,28中出现中出现次数最多的数是次数最多的数是2929，因此，这组数据的极差是，因此，这组数据的极差是3 3，众数是，众数是29.29.2.2.（20112011襄阳中考襄阳中考)2011)2011年春我市发生了严重干旱，市政府号年春我市发生了严重干旱，市政府号召居民节约用水，为了解居民用水情况，在某小区随机抽查了召居民节约用水，为了解居民用水情况，在某小区随机抽查了1010户家庭的月用水量，结果如下表：户家庭的月用水量，结果如下表：则关于这则关于这1010户家庭的月用水量，下列说法错误的是户家庭的月用水量，下列说法错误的是( )( )（A A）众数是）众数是6 6 （B B）极差是）极差是2 2 （C C）平均数是）平均数是6 6 （D D）方差是）方差是4 4月用水量（吨）月用水量（吨）5 56 67 7户数户数2 26 62 2【解析【解析】选选D.D.这这1010户家庭月用水量（吨）按照从小到大的顺序户家庭月用水量（吨）按照从小到大的顺序可以排列为可以排列为5 5，5 5，6 6，6 6，6 6，6 6，6 6，6 6，7 7，7.7.因为因为6 6出现了出现了6 6次，出现次数最多，所以这次，出现次数最多，所以这1010户家庭的月用水量的众数是户家庭的月用水量的众数是6 6，选项选项A A正确；月用水量最多为正确；月用水量最多为7 7吨，最少为吨，最少为5 5吨，吨，7 75 52 2，即这，即这1010户家庭的月用水量的极差是户家庭的月用水量的极差是2 2，选项，选项B B正确；经计算可知，这正确；经计算可知，这1010户家庭的月用水量平均数为户家庭的月用水量平均数为 选项选项C C也也正确，用排除法可知，选项正确，用排除法可知，选项D D错误，故选错误，故选D.D.5 26 672x610 ，3.(20123.(2012德阳中考德阳中考) )已知一组数据已知一组数据1010，8 8，9 9，x x，5 5的众数是的众数是8 8，那么这组数据的方差是，那么这组数据的方差是( )( )（A A）2.8 2.8 （B B） （C C）2 2 （D D）5 5【解析【解析】选选A.A.这组数据的众数是这组数据的众数是8 8，x=8.x=8.这组数据的平均这组数据的平均数是数是 根据方差公式计算根据方差公式计算s s2 2= = (10-8)(10-8)2 2+(8-8)+(8-8)2 2+(9-8)+(9-8)2 2+(8-8)+(8-8)2 2+(5-8)+(5-8)2 2=2.8.=2.8.143108985x85 ，15【技巧点拨【技巧点拨】平均数、方差与数据的四种变化规律平均数、方差与数据的四种变化规律设一组数据的平均数为设一组数据的平均数为 方差为方差为s s2 2. .1.1.当数据都增加当数据都增加a a时，平均数为时，平均数为 方差为方差为s s2 2; ;2.2.当数据都减少当数据都减少a a时，平均数为时，平均数为 方差为方差为s s2 2; ;3.3.当数据都扩大当数据都扩大a a倍时，平均数为倍时，平均数为 方差为方差为a a2 2s s2 2; ;4.4.当数据都缩小当数据都缩小 倍时，平均数为倍时，平均数为 方差为方差为x,xa ，xa ，ax，1a1xa，221s .a 极差、方差的应用极差、方差的应用【例【例2 2】（】（8 8分）（分）（20112011丽水中考丽水中考) )王大伯几年前承办了甲、王大伯几年前承办了甲、乙两片荒山，各栽乙两片荒山，各栽100100棵杨梅树，成活棵杨梅树，成活98%98%，现已挂果，经济效，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了了4 4棵树上的杨梅，每棵的产量如折线统计图所示棵树上的杨梅，每棵的产量如折线统计图所示. .（1 1）分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山）分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；杨梅的产量总和；（2 2）试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？）试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？【规范解答【规范解答】（1 1） （_）4 4=40(=40(千克千克) )，1 1分分 （_）4=40(4=40(千克千克) )，2 2分分总产量为总产量为4040100100_2 27 840(7 840(千克千克).).3 3分分x甲50+36+40+3450+36+40+34x乙36+40+48+3636+40+48+3698%98%（2 2）s s甲甲2 2 (50(5040)40)2 2(36(3640)40)2 2(40(4040)40)2 2(34(3440)40)2 2 38(38(千克千克2 2) )，5 5分分s s乙乙2 2 (36(3640)40)2 2(40(4040)40)2 2(48(4840)40)2 2(36(3640)40)2 2 24(24(千克千克2 2) )，7 7分分_ _，_山上的杨梅产量较稳定山上的杨梅产量较稳定. .8 8分分1414s s甲甲2 2s s乙乙2 2乙乙【自主归纳【自主归纳】方差的应用方差的应用方差是反映一组数据与其平均值方差是反映一组数据与其平均值_程度大小的指标，方差程度大小的指标，方差越小，说明这组数据越越小，说明这组数据越_. .离散离散稳定稳定【对点训练【对点训练】4.(20114.(2011德州中考德州中考) )某赛季甲、乙两名篮球运动员某赛季甲、乙两名篮球运动员1212场比赛得场比赛得分情况用图表示如下：分情况用图表示如下：对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是是( )( )（A A）甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差）甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差（B B）甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数）甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数（C C）甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数）甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数（D D）甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定）甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定【解析【解析】选选D.D.由统计图可知甲运动员得分的极差大于乙运动员由统计图可知甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，得分的极差，A A正确正确; ;甲运动员在甲运动员在6 6、7 7场的成绩比乙运动员的高，场的成绩比乙运动员的高，因而中位数也高，故因而中位数也高，故B B也正确；由图易知甲运动员的总成绩要比也正确；由图易知甲运动员的总成绩要比乙运动员的高，则得分平均数也高，故乙运动员的高，则得分平均数也高，故C C也正确；由图可以看出也正确；由图可以看出表示甲运动员成绩的折线没有乙运动员的平缓，因而乙运动员表示甲运动员成绩的折线没有乙运动员的平缓，因而乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定，故的成绩比甲运动员的成绩稳定，故D D错误错误. .5.5.（20122012盐城中考）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试盐城中考）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试, ,每每人人1010次射击的平均成绩恰好都是次射击的平均成绩恰好都是9.49.4环环, ,方差分别是方差分别是s s甲甲2 2=0.90,=0.90,s s乙乙2 2=1.22,s=1.22,s丙丙2 2=0.43,s=0.43,s丁丁2 2=1.68.=1.68.在本次射击测试中在本次射击测试中, ,成绩最稳成绩最稳定的是定的是( )( )（A A）甲）甲 （B B）乙）乙 （C C）丙）丙 （D D）丁）丁【解析【解析】选选C.C.成绩的稳定性取决于方差的大小，方差越小越稳定，成绩的稳定性取决于方差的大小，方差越小越稳定，选选C.C.【特别提醒【特别提醒】极差与方差应用的两点注意极差与方差应用的两点注意1.1.当多组数据的平均数相同或接近时，一般用极差或方差来判当多组数据的平均数相同或接近时，一般用极差或方差来判定其稳定程度；定其稳定程度；2.2.注意数形结合思想的应用，方差的计算较为繁琐，数据的稳注意数形结合思想的应用，方差的计算较为繁琐，数据的稳定程度也可以通过图象，根据其波动幅度的大小来判断定程度也可以通过图象，根据其波动幅度的大小来判断. . 【易错误区【易错误区】忽视统计量的综合分析忽视统计量的综合分析【例】（【例】（20112011雅安中考雅安中考) )某初中数学老师要从甲乙两位学生某初中数学老师要从甲乙两位学生中选一名参加数学竞赛，甲乙两人前中选一名参加数学竞赛，甲乙两人前5 5学期的数学成绩如下表学期的数学成绩如下表: :第一学第一学期期第二学第二学期期第三学第三学期期第四学第四学期期第五学第五学期期甲甲75758080858590909595乙乙95958787888880807575（1 1）分别求出甲乙二人前五学期的数学平均成绩）分别求出甲乙二人前五学期的数学平均成绩; ;（2 2）在图中分别画出甲、乙前五学期数学成绩折线图）在图中分别画出甲、乙前五学期数学成绩折线图. .（3 3）如果你是老师，你认为该选哪位学生参加数学竞赛？请简）如果你是老师，你认为该选哪位学生参加数学竞赛？请简要说明理由要说明理由. .【错误解答【错误解答】（1 1）甲的前五学期的数学平均成绩为）甲的前五学期的数学平均成绩为 8585，乙的前五学期的数学平均成绩乙的前五学期的数学平均成绩= =85;= =85;（2 2） 7580859095595878880755（3 3）甲同学成绩的方差为：）甲同学成绩的方差为：s s甲甲2 2 (75-85)(75-85)2 2+(80-85)+(80-85)2 2+(85-85)+(85-85)2 2+(90-85)+(90-85)2 2+(95-85)+(95-85)2 2=50=50s s乙乙2 2 (95-85)(95-85)2 2+(87-85)+(87-85)2 2+(88-85)+(88-85)2 2+(80-85)+(80-85)2 2+(75-85)+(75-85)2 2=47.6,=47.6,ss甲甲2 2ss乙乙2 2. .应选乙同学参加竞赛应选乙同学参加竞赛. .1515【纠错空间【纠错空间】1.1.找错：通过分析错误解答过程，可知第找错：通过分析错误解答过程，可知第_步出现了错误；步出现了错误；2.2.错因：错因：_. .3.3.纠错：纠错：_. .忽视了实际问题的情景，对数据的变化趋势没有理忽视了实际问题的情景，对数据的变化趋势没有理清，单纯从方差的角度去考虑问题清，单纯从方差的角度去考虑问题从折线统计图可以看出，甲、乙两位同学的成绩走从折线统计图可以看出，甲、乙两位同学的成绩走势为甲同学的成绩稳步上升，乙同学的成绩呈下降趋势，所势为甲同学的成绩稳步上升，乙同学的成绩呈下降趋势，所以应该选甲同学参加竞赛以应该选甲同学参加竞赛【即时训练【即时训练】（20102010德州中考）某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培德州中考）某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽训现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取取8 8次，记录如下：次，记录如下：(1)(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；请你计算这两组数据的平均数、中位数；(2)(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由 甲甲95958282888881819393797984847878乙乙83839292808095959090808085857575【解析【解析】(1) (1) (95+82+88+81+93+79+84+78)=85(95+82+88+81+93+79+84+78)=85， (83+92+80+95+90+80+85+75)=85(83+92+80+95+90+80+85+75)=85这两组数据的平均数都是这两组数据的平均数都是8585这两组数据的中位数分别为这两组数据的中位数分别为8383，8484(2)(2)派甲参赛比较合适理由如下：由派甲参赛比较合适理由如下：由(1)(1)知知 （78-8578-85）2 2+ +（79-8579-85）2 2+ +（81-8581-85）2 2+ +（82-8582-85）2 2+ +（84-8584-85）2 2+(88-85)+(88-85)2 2+ +（93-8593-85）2 2+ +（95-8595-85）2 2=35.5.=35.5. （75-8575-85）2 2+ +（80-8580-85）2 2+ +（80-8580-85）2 2+ +（83-8583-85）2 2+ +（85-8585-85）2 2+ +（90-8590-85）2 2+ +（92-8592-85）2 2+ +（95-8595-85）2 2=41.=41.1x8甲1x8乙xx甲乙，21s8甲21s8乙 s s甲甲2 2sPP1 1，派乙参赛比较合适派乙参赛比较合适xx甲乙，13P8，241P82【状元心得【状元心得】应用统计量预测的两点关注应用统计量预测的两点关注1.1.全面考虑：综合考虑各个统计量，不要只针对单一的统计量全面考虑：综合考虑各个统计量，不要只针对单一的统计量就进行判断；就进行判断；2.2.针对实际：要认真分析题意，根据实际问题的要求选用合适针对实际：要认真分析题意，根据实际问题的要求选用合适的统计量进行合理科学的评判，做到有理有据的统计量进行合理科学的评判，做到有理有据. .
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