《-整式乘除与因式分解》知识点归纳汇总

- 整式乘除与因式分解知识点归纳汇总作者：日期：2八年级上册 整式乘除与因式分解知识点总结主讲：王老师整式乘除与因式分解知识点归纳总结一、幂的运算：1、同底数幂的乘法法则： a m a na m n （ m, n 都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如： (a b) 2 (a b) 3(a b)52、幂的乘方法则： (a m )na mn （ m, n 都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。如： ( 35 ) 2310幂的乘方法则可以逆用：即 a mn(a m ) n(a n ) m如： 46(4 2 ) 3(43 ) 23、积的乘方法则：(ab) na nb n （ n 是正整数）。积的乘方，等于各因数乘方的积。如：（2x 3 y 2 z)5 =( 2)5(x3 )5( y 2 ) 5z532x15 y10z54、同底数幂的除法法则： a mana m n （ a0, m, n 都是正整数，且 mn)同底数幂相除，底数不变，指数相减。如： (ab) 4( ab)(ab )3a 3b 35、零指数；a 01，即任何不等于零的数的零次方等于 1。二、单项式、多项式的乘法运算：6、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。如：2x 2 y 3 z3xy。7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即 m(a b c) ma mb mc (m, a, b, c 都 是 单 项 式 )。 如 ：2x(2x 3y) 3y(x y) =。8、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积- 1 -八年级上册 整式乘除与因式分解知识点总结主讲：王老师相加。9、平方差公式： (ab)( ab)a 2b 2 注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。 如： (xyz)(x yz) =10、完全平方公式：( a b) 2a 22abb2完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾 2 倍中间放，符号和前一个样。公式的变形使用：（ 1）a 2b2(ab) 22ab(ab) 22 ab ；(ab) 2(ab)24ab(ab) 2 (ab ) 2( ab )2( ab) 2 ( a b) 2(ab) 2；（2）三项式的完全平方公式： (abc)2a 2b2c22ab 2ac2bc11、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。如：7a2 b4 m49a 2 b12、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即： ( ambmcm)mammbmmcmmabc三、因式分解的常用方法1、提公因式法（1）会找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分：系数一各项系数的最大公约数；字母各项含有的相同字母；指数相同字母的最低次数；（2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项（3）注意点：提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；- 2 -八年级上册 整式乘除与因式分解知识点总结主讲：王老师如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“”号，使括号内的第一项的系数是正的2、公式法运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：22平方差公式：ab （ab）（ab）完全平方公式：a22abb2（ab）2a22abb2（ab）23、十字相乘法 .（一）二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式x2( pq) xpq( xp)( xq) 进行分解。特点：（ 1）二次项系数是 1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例 1. 已知 0 a 5，且 a 为整数，若 2x23xa 能用十字相乘法分解因式，求符合条件的 a .解析：凡是能十字相乘的二次三项式 ax2+bx+c，都要求b24ac0 而且是一个完全平方数。于是98a 为完全平方数， a1例 2、分解因式： x 25x6分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于 6=2 3=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有23 的分解适合，即 2+3=5。12解： x25x 6 = x2( 2 3) x 2 313= ( x 2)( x 3)1 2+13=5用此方法进行分解的关键： 将常数项分解成两个因数的积， 且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例 3、分解因式： x 27x6解：原式 = x 2(1)( 6)x( 1)( 6)1-1= ( x 1)( x6)1-6（-1）+（-6）= -7练习 1、分解因式 (1) x 214 x 24(2) a 215a 36(3) x 24x 5- 3 -八年级上册 整式乘除与因式分解知识点总结主讲：王老师（二）二次项系数不为1 的二次三项式 ax 2bxc条件：（ 1） aa1a2a1c1（2） cc1c2a2c2（3） ba1c2a2 c1b a1c2a2 c1分解结果： ax 2bxc = (a1 xc1 )( a2 x c2 )例 4、分解因式： 3x 2 11x 10分析：1-23-5（ -6）+（-5）= -11解： 3x211x10 = (x2)(3x5)练习 3、分解因式：（ 1） 5x27x 6（2） 3x 27x 2（三）二次项系数为1 的齐次多项式例 5、分解因式： a 2 8ab 128b2分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于 a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)= -8b解： a28ab128b2 = a28b( 16b) a8b(16b)= (a 8b)(a 16b)练习 4、分解因式 (1) x 23xy2y 2(2) m26mn8n2(3) a 2ab6b2（四）二次项系数不为1 的齐次多项式例 9、 2x 27xy6 y2例 10、 x 2 y 23xy21-2y把 xy 看作一个整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3解：原式 = (x2 y)(2x3 y)解：原式 = ( xy1)( xy2)- 4 -八年级上册 整式乘除与因式分解知识点总结主讲：王老师练习 9、分解因式：（ 1）15x 27xy4 y2（2） a 2 x 26ax8综合练习 5、（ 1） 8x67x 31（ ）12 x211xy 15 y 22（3） ( x y) 23( x y) 10（ ） (a b) 24a 4b 34（5） x2 y 25x 2 y 6x 2（ ） m24mn 4n 23m 6n 26（7） x24xy 4 y 22x 4y 3（ ） 5(a b)223( a 2b2 ) 10( a b)283 、在数学学习过程中，学会利用整体思考问题的数学思想方法和实际运用意识。如：对于任意自然数 n，(n 7) 2 (n 5) 2 都能被动 24 整除。1若 2am 2 n b7a5b n 2m2 的运算结果是 3a5 b7 ，则 mn 的值是（）A -2B2C-3D32若 a 为整数，则 a 2a 一定能被（）整除A 2B3C4D53若 x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则 m 的值等于 ()A.3B.-5C.7.D.7 或-14如图，矩形花园 ABCD 中，AB= a ，AD= b ，花园中建有一条矩形道路 LMQP 及一条平行四边形道路 RSTK，若 LM=RS= c ，则花园中可绿化部分的面积为（）A bcabacb2- 5 -八年级上册 整式乘除与因式分解知识点总结主讲：王老师B a 2abbcacC abbcacc2D b2bca 2ab5分解因式： a21b 22ab_.6下表为杨辉三角系数表的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如 a b n （ n 为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出 a b n 展开式中所缺的系数。a b a b a bab222abb2a33a 2b3ab2b 3a3则 ab 4a 4_ a3 b_ a2 b 2_ ab3b47. 3x(7-x)=18-x(3x-15)；8.(x+3)(x-7)+8(x+5)(x-1).9. x m3, xn2 ，求 x3 m 2n 、 x 3m 2n 的值- 6 -八年级上册 整式乘除与因式分解知识点总结主讲：王老师10探索题：( x1)( x1） x 21( x 1)( x 2x 1) x31( x1)( x3x2x 1) x41( x 1)( x 4x3x2x 1) x51试求 262524232221的值判断 2 200822007220062221的值的个位数是几？- 7 -